吉林省长春市“BEST合作体”2024届数学高二下期末联考试题含解析

吉林省长春市“BEST合作体”2024届数学高二下期末联考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．二项式(ax-36)3(a>0)的展开式的第二项的系数为A．3B．73C．3或73D．32．已知，，，（e为自然对数的底）则a，b，c的大小关系为（）A． B．C． D．3．已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（）A． B．C． D．4．已知双曲线方程为，它的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．5．已知，，，若>恒成立，则实数m的取值范围是A．或 B．或C． D．6．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A． B． C． D．7．已知函数f（x）＝2x－1，（a∈R），若对任意x1∈[1，＋∞），总存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知命题p：∃x0>0，使得(A．∀x≤0，总有(x+2)ex≥1 B．C．∀x>0，总有(x+2)ex≥1 D．9．设实数满足约束条件，则的最大值为()A． B．1 C．6 D．910．若a>b>c,ac<0，则下列不等式一定成立的是A．ab>0 B．bc<0 C．ab>ac D．b(a-c)>011．一个袋子中有4个红球，2个白球，若从中任取2个球，则这2个球中有白球的概率是A． B． C． D．12．设函数的极小值为，则下列判断正确的是A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在正三棱锥中，，，记二面角，的平面角依次为，，则______．14．设函数，.若，且的最小值为-1，则实数的值为__________．15．若的展开式中，奇数项的系数之和为-121，则n=___________。16．已知函数fx=x⋅lnx，且0<x1<x2，给出下列命题：①fx1-f三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设且，函数.（1）当时，求曲线在处切线的斜率；（2）求函数的极值点．18．（12分）已知二项式的展开式中各项的系数和为.（1）求；（2）求展开式中的常数项．19．（12分）将一枚六个面的编号为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后掷两次，记第一次出的点数为，第二次出的点数为，且已知关于、的方程组.（1）求此方程组有解的概率；（2）若记此方程组的解为，求且的概率.20．（12分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为，过点的直线的参数方程为（为参数）.（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线交于、两点，求的值，并求定点到，两点的距离之积.21．（12分）如图，已知单位圆上有四点，，，，其中，分别设的面积为和.（1）用表示和；（2）求的最大值及取最大值时的值．22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的方程为.（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）若，圆与直线交于两点，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】试题分析：∵展开式的第二项的系数为-32，∴C31a2(-当a=1时，-2a考点：二项式定理、积分的运算.2、A【解题分析】

根据条件即可得出，a＝log2e，b＝ln2，c＝log23，容易得出log23＞log2e＞1，ln2＜1，从而得出a，b，c的大小关系．【题目详解】∵；∴；∵log23＞log2e＞log22＝1，ln2＜lne＝1；∴c＞a＞b．故选：A．【题目点拨】本题考查指数式和对数式的互化，对数的换底公式，考查了利用对数函数的单调性比较大小的问题，属于基础题．3、C【解题分析】

根据零点存在性定理，可得，然后比较大小，利用函数的单调性，可得结果.【题目详解】由题意可知函数在上单调递增，，，∴函数的零点，又函数的零点，，故选：C【题目点拨】本题考查零点存在性定理以及利用函数的单调性比较式子大小，难点在于判断的范围，属基础题.4、A【解题分析】方法一：双曲线的渐近线方程为，则，圆的方程，圆心为，所以，化简可得，则离心率.方法二：因为焦点到渐近线的距离为，则有平行线的对应成比例可得知，即则离心率为.选A.5、C【解题分析】分析：用“1”的替换先解的最小值，再解的取值范围。详解：，所以的解集为，故选C点睛：已知二元一次方程，求二元一次分式结构的最值，用“1”的替换是均值不等式的应用，构造出的模型，再验证条件。6、D【解题分析】

先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【题目详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，，又，分别为、中点，，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即，故选D．解法二:设，分别为中点，，且，为边长为2的等边三角形，又中余弦定理，作于，，为中点，，，，，又，两两垂直，，，，故选D.【题目点拨】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．7、C【解题分析】

对a分a=0,a＜0和a＞0讨论，a＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a的取值范围.【题目详解】当a=0时，函数f（x）＝2x－1的值域为[1,+∞），函数的值域为[0,++∞），满足题意.当a＜0时，y=的值域为（2a,+∞）,y=的值域为[a+2,-a+2],因为a+2-2a=2-a>0,所以a+2＞2a,所以此时函数g(x)的值域为（2a,+∞）,由题得2a＜1，即a＜，即a＜0.当a＞0时，y=的值域为（2a,+∞）,y=的值域为[-a+2,a+2],当a≥时，-a+2≤2a,由题得.当0＜a＜时，-a+2＞2a，由题得2a＜1，所以a＜.所以0＜a＜.综合得a的范围为a＜或1≤a≤2，故选C.【题目点拨】本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8、C【解题分析】

原命题为特称命题，则其否定为全称命题，即可得到答案【题目详解】∵命题p：∃x0∴¬p：∀x>0，总有(x+2)故选C【题目点拨】本题主要考查的是命题及其关系，命题的否定是对命题结论的否定，属于基础题．9、D【解题分析】

作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图像求得结果【题目详解】解：画出实数满足约束条件表示的可行域，由得，则表示直线在轴上的截距，截距越大，越大，作出目标函数对应的直线由图可知将直线向上平移，经过点时，直线的截距最大，由，得点的坐标为所以的最大值为故选：D【题目点拨】此题考查画不等式组表示的平面区域，考查数形结合求函数的最值.10、C【解题分析】

取特殊值a=1,b=0,c=-1进行验证即可。【题目详解】取a=1,b=0,c=-1代入，排除A、B、D，故选：C。【题目点拨】本题考查不等式的基本性质，不等式的基本性质、特殊值法是两种常用方法，但在利用特殊值法时取特殊值时要全面。11、B【解题分析】

先计算从中任取2个球的基本事件总数，然后计算这2个球中有白球包含的基本事件个数，由此能求出这2个球中有白球的概率．【题目详解】解：一个袋子中有4个红球，2个白球，将4红球编号为1，2，3，4；2个白球编号为5，1．从中任取2个球，基本事件为：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，1}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，1}，{3，4}，{3，5}，{3，1}，{4，5}，{4，1}，{5，1}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“两个球中有白球”这一事件，则A包含的基本事件有：{1，5}，{1，1}，{2，5}，{2，1}，{3，5}，{3，1}，{4，5}，{4，1}，{5，1}共9个，这2个球中有白球的概率是．故选B．【题目点拨】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12、D【解题分析】

对函数求导，利用求得极值点，再检验是否为极小值点，从而求得极小值的范围.【题目详解】令，得，检验：当时，，当时，，所以的极小值点为，所以的极小值为，又．∵，∴，∴．选D.【题目点拨】本题考查利用导数判断单调性和极值的关系，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】

作平面ABC，连接CO延长交AB于点D，连接可得D为AB的中点，，于是二面角的平面角为作，垂足为E点，连接BE，根据≌，可得可得为的平面角，利用余弦定理即可得出．【题目详解】如图所示，作平面ABC，连接CO延长交AB于点D，连接PD．则D为AB的中点，，．二面角的平面角为．，，，．．作，垂足为E点，连接BE，≌，．为的平面角，．．在中，．．故答案为1．【题目点拨】本题主要考查了正三棱锥的性质、正三角形的性质、余弦定理、勾股定理、二面角、三角形全等，属于难题．14、2【解题分析】分析：先表示函数，再利用导数求函数最小值，最后根据的最小值为-1得实数的值.详解：因为，设，则所以因为，所以当时，；当时，；即当时，.点睛：两函数关系问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式或方程，从而求出参数的取值范围或值.15、5【解题分析】

令和，作和即可得到奇数项的系数和，从而构造出方程解得结果.【题目详解】令得：令得：奇数项的系数和为：，解得：本题正确结果：【题目点拨】本题考查二项式系数的性质应用问题，关键是采用赋值的方式快速得到系数和.16、②③【解题分析】

根据每一个问题构造相应的函数，利用导数研究函数的单调性，进而判断命题正误.【题目详解】∵f当0<x<1e时，f'(x)<0，当x>1e时，f'(x)>0，①令g(x)=f(x)-x=xlnx-x，则g'(x)=ln∴g(x)在(1,+∞)单调递增，当x2>x∴f(x2)-②令g(x)=f(x)x=lnx∵0<x1<x2③当lnx>-1时，则x>1e，∴f(x)在(∴x1f(∴x④令h(x)=f(x)+x=xlnx+x，则∴x∈(0,1e2)时，h'设x1,x2∈(0,∴x【题目点拨】证明函数不等式问题，经常与函数性质中的单调性有关.解决问题的关键在于构造什么样函数？三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1).(2)见解析.【解题分析】试题分析：（1）由已知中函数，根据a=2，我们易求出f（3）及f′（3）的值，代入即可得到切线的斜率k=f′（3）．（2）由已知我们易求出函数的导函数，令导函数值为0，我们则求出导函数的零点，根据m＞0，我们可将函数的定义域分成若干个区间，分别在每个区间上讨论导函数的符号，即可得到函数函数f（x）的极值点．试题解析：(1)由已知得x>0.当a＝2时，f′(x)＝x－3＋，f′(3)＝，所以曲线y＝f(x)在(3，f(3))处切线的斜率为.(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋＝＝.由f′(x)＝0，得x＝1或x＝a.①当0<a<1时，当x∈(0，a)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(a,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．此时x＝a时f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点．②当a>1时，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(1，a)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．此时x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．综上，当0<a<1时，x＝a是f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点；当a>1时，x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于中档题.求函数极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.18、（1）8；（2）.【解题分析】

⑴观察可知，展开式中各项系数的和为，即，解出得到的值⑵利用二次展开式中的第项，即通项公式，将第一问的代入，并整理，令的次数为，解出，得到答案【题目详解】（1）由题意，得，即＝256，解得n＝8.（2）该二项展开式中的第项为Tr＋1＝，令＝0，得r＝2，此时，常数项为＝28.【题目点拨】本题主要考的是利用赋值法解决展开式的系数和问题，考查了利用二次展开式的通项公式解决二次展开式的特定项问题。19、（1）；（2）.【解题分析】

（1）先根据方程组有解得关系，再确定取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果；（2）先求方程组解，再根据解的情况得关系，进而确定取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果.【题目详解】（1）因为方程组有解，所以而有这三种情况，所以所求概率为；（2）因为且，所以因此即有种情况，所以所求概率为；【题目点拨】本题考查古典概型概率以及二元一次方程组的解，考查综合分析求解能力，属中档题.20、（Ⅰ）直线的普通方程，曲线的直角坐标方程为；（Ⅱ）.【解题分析】