黑龙江省五校联考2024届数学高二第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

黑龙江省五校联考2024届数学高二第二学期期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．用数学归纳法证明时，由时的假设到证明时，等式左边应添加的式子是（）A． B．C． D．2．已知随机变量服从正态分布，若，则()A． B． C． D．3．已知各项不为的等差数列，满足，数列是等比数列，且，则（）A． B． C． D．4．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是（）A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量C．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量{1，取出白球；0，取出红球}D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量5．复数（）A． B． C． D．6．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243B．252C．261D．2797．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且满足，则的离心率满足（）A． B． C． D．8．已知高为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，若二面角的正切值为4，则（）A． B． C． D．9．已知，其中、是实数，是虚数单位，则复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．对变量x,y有观测数据(xi,yiA．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关11．如图，矩形的四个顶点依次为，，记线段、以及的图象围成的区域（图中阴影部分）为，若向矩形内任意投一点，则点落在区域内的概率为()A． B．C． D．12．若函数，函数有3个零点，则k的取值范围是()A．（0，1） B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列是等差数列，是等比数列，数列的前项和为.若，则数列的通项公式为_________.14．已知函数，，，当时，的值域为_____；15．函数的单调递增区间是．16．已知函数，若，则实数的取值范围__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知复数，是的共轭复数，且为纯虚数，在复平面内所对应的点在第二象限，求.18．（12分）中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在1565岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：年龄支持“延迟退休”的人数155152817（1）由以上统计数据填列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；45岁以下45岁以上总计支持不支持总计（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率.②记抽到45岁以上的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.19．（12分）（1）解不等式：.（2）己知均为正数.求证：20．（12分）今年4月23日我市正式宣布实施“3+1+2”的高考新方案，“3”是指必考的语文、数学、外语三门学科，“1”是指在物理和历史中必选一科，“2”是指在化学、生物、政治、地理四科中任选两科．为了解我校高一学生在物理和历史中的选科意愿情况，进行了一次模拟选科.已知我校高一参与物理和历史选科的有1800名学生，其中男生1000人，女生800人.按分层抽样的方法从中抽取了36个样本，统计知其中有17个男生选物理，6个女生选历史．（I）根据所抽取的样本数据，填写答题卷中的列联表.并根据统计量判断能否有的把握认为选择物理还是历史与性别有关？（II）在样本里选历史的人中任选4人，记选出4人中男生有人，女生有人，求随机变量的分布列和数学期望．（的计算公式见下），临界值表：21．（12分）已知函数，数列的前项和为，且满足．（1）求的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】因为当时，等式的左边是，所以当时，等式的左边是，多增加了，应选答案B．点睛：解答本题的关键是搞清楚当时，等式的左边的结构形式，当时，等式的左边的结构形式是，最终确定添加的项是什么，使得问题获解．2、D【解题分析】

随机变量服从正态分布,则,利用概率和为1得到答案.【题目详解】随机变量X服从正态分布,

,

答案为D.【题目点拨】本题考查了正态分布,利用正态分布的对称性是解决问题的关键.3、B【解题分析】根据等差数列的性质得：，变为：，解得（舍去），所以，因为数列是等比数列，所以，故选B.4、A【解题分析】

两点分布又叫分布，所有的实验结果有两个，，，满足定义，不满足.【题目详解】两点分布又叫分布，所有的实验结果有两个，，，满足定义，而，抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量，则的所有可能的结果有6种，不是两点分布．故选：．【题目点拨】本题考查了两点分布的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．5、C【解题分析】分析：直接利用复数的除法运算得解.详解：由题得，故答案为：C.点睛：本题主要考查复数的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本运算能力.6、B【解题分析】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有9×10×10=900，组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648，因此组成有重复数字的三位数共有900－648=1．7、D【解题分析】分析：联立圆与渐近线方程，求得M的坐标，由，得点在双曲线右支上，代入双曲线方程化简即可求．详解：由，得，即，由，，即由，化简得，即，故选D.点睛：本题考查双曲线的简单几何性质，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．8、D【解题分析】

过作平面于，为中点，连接.证明面角的平面角为,计算得到,通过勾股定理计算得到答案.【题目详解】如图：正三棱锥，过作平面于，为中点，连接.易知：为中点二面角的平面角为正切值为4在中，根据勾股定理：故答案选D【题目点拨】本题考查了三棱锥的外接球，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9、D【解题分析】

由得，根据复数相等求出的值，从而可得复数的共轭复数，得到答案.【题目详解】由有，其中、是实数.所以，解得，所以则复数的共轭复数为，则在复平面内对应的点为.所以复数的共轭复数对应的点位于第四象限.故选：D【题目点拨】本题考查复数的运算和根据复数相等求参数，考查复数的概念，属于基础题.10、C【解题分析】试题分析：由散点图1可知，点从左上方到右下方分布，故变量x与y负相关；由散点图2可知，点从左下方到右上方分布，故变量u与v正相关，故选C考点：本题考查了散点图的运用点评：熟练运用随机变量的正负相关的概念是解决此类问题的关键，属基础题11、D【解题分析】分析：利用定积分的几何意义求出阴影部分的面积，由几何概型的概率公式，即可得结果.详解：阴影部分的面积是，矩形的面积是，点落在区域内的概率，故选D.点睛：本题主要考查定积分的几何意义以及几何概型概率公式，属于中档题.一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、曲线以及直线之间的曲边梯形面积的代数和，其中在轴上方的面积等于该区间上的积分值，在轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.12、A【解题分析】

画出的图像，有3个零点等价于有3个交点。【题目详解】有3个零点等价于有3个交点记则过原点作的切线，有3个零点等价于有3个交点记则过原点作的切线，设切点为则切线方程为：，又切线过原点，即，将，，代入解得，所以切线斜率所以【题目点拨】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查了函数零点个数的问题，属于中档题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

先设数列的前项和为，先令，得出求出的值，再令，得出，结合的值和的通项的结构得出数列的通项公式。【题目详解】设数列的前项和为，则.当时，，，；当时，.也适合上式，.由于数列是等差数列，则是关于的一次函数，且数列是等比数列，，可设，则，，因此，。故答案为：。【题目点拨】本题考查利用前项和公式求数列的通项，一般利用作差法求解，即，在计算时要对是否满足通项进行检验，考查计算能力，属于中等题。14、.【解题分析】

首先根据题设条件，计算，由结合可求得，由可求得，进而可求得的解析式，由分段函数的性质即可求解.【题目详解】，且，当，则，解得，当，则，解得，，函数在上单调递减，在上单调递增，，故的值域为.故答案为：【题目点拨】本题是一道考查不等式的题目，考查了分段函数的值域，解题的关键是化简解析式，属于基础题.15、【解题分析】试题分析：因为，所以单调递增区间是考点：导数应用16、【解题分析】

设，再求函数的奇偶性和单调性，再利用函数的奇偶性和单调性解不等式得解.【题目详解】设，因为，所以函数是奇函数，其函数的图像为函数在R上单调递增，由题得，所以,所以,所以，所以.故答案为：【题目点拨】本题主要考查函数的单调性和奇偶性及其应用，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解题分析】

设，根据题意列出关于的方程组求解，再结合所对应的点在第二象限，即可求出【题目详解】设，则，∴又，.∴，联立，解得又在第二象限，∴，即∴故答案为【题目点拨】本题考查了复数的相关定义，设出复数的表示形式，根据题意列出方程组即可，本题较为基础，注意计算。18、(1)列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”有差异.(2)①.②分布列见解析，.【解题分析】

分析：（1）根据频率分布直方图得到45岁以下与45岁以上的人数，由此可得列联表，求得后在结合临界值表可得结论．（2）①结合条件概率的计算方法求解；②由题意可得的可能取值为0,1,2，分别求出对应的概率后可得分布列和期望．详解：（1）由频率分布直方图知45岁以下与45岁以上各50人，故可得列联表如下：45岁以下45岁以上总计支持354580不支持15520总计5050100由列联表可得，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异．（2）①从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人．设“抽到1人是45岁以下”为事件A，“抽到的另一人是45岁以上”为事件B，则,∴,即抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率为．②从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人．由题意得的可能取值为0,1,2.，，.故随机变量的分布列为：012所以.19、（1）；（2）证明见解析【解题分析】

（1）分别在、、三个范围内去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得结果；（2）将所证结论变为证明，利用基本不等式可证得结论.【题目详解】（1）当时，，解得：当时，，无解当时，，解得：不等式的解集为：（2）均为正数要证，只需证：即证：，，三式相加可得：（当且仅当时取等号）成立【题目点拨】本题考查绝对值不等式的求解、利用基本不等式证明不等关系的问题，考查分类讨论的思想、分析法证明不等式和基本不等式的应用，属于常考题型.20、（I）没有90%的把握认为选择物理还是历史与性别有关；（II）见解析【解题分析】

（I）由条件知，按分层抽样法抽取的36个样本数据中有个男生，16个女生，根据题意列出列联表，求得的值，即可得到结论．（II）由（I）知在样本里选历史的有9人.其中男生3人，女生6人，求得可能的取值有，进而求得相应的概率，列出随机变量的分布列，利用公式求解期望．【题目详解】（I）由条件知，按分层抽样法抽取的36个样本数据中有个男生，16个女生，结合题目数据可得列联表：男生女生合计选物理17320选历史10616合计279得而，所以没有90%的把握认为选择物理还是历史与性别有关.（II）由（I）知在样本里选历史的有9人.其中男生3人，女生6人．所以可能的取值有.且，；，，所以的分布列为：20所以的期望.【题目点拨】本题主要考查了独立性检验的应用，以及离散型随机变量的分布列与期望的计算，其中解答中认真审题，准确得出随机变量的取值，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．21、（1）（2）猜想．见解析【解题分析】

（1）先求得的值，然后根据已知条件求得，由此求得的值.（2）由（1）猜想数列的通项公式为，然后利用数学归纳法进行证明.【题目详解】（1）由，即，①所以，由①得，②，得．当时，；当时，；当时，．（2）由（1）猜想．下面用数学归纳法证明：①当时，由（1）可知猜想成立；②假设时猜想成立，即，此时，当时，，整理得，所以当时猜想成立．综上所述，对任意成立．【题目点拨】本小题主要考查根据递推关系式求数列某些项的值，考查数学归纳法求数列的通项公式，属于中档题.22、（1）；（2）