北京市石景山区第九中学2024届高二数学第二学期期末综合测试试题含解析

北京市石景山区第九中学2024届高二数学第二学期期末综合测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若点为圆C：的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为（）A． B． C． D．2．在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，浙江大学1名，并且清华大学和北京大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）A．36种 B．24种 C．22种 D．20种3．已知，，，则的大小关系是（）A． B． C． D．4．已知是等比数列的前n项和，且是与的等差中项，则（）A．成等差数列 B．成等差数列C．成等差数列 D．成等差数列5．已知复数z满足，则复数等于()A． B． C． D．i6．已知函数的图像在点处的切线方程是，若，则（）A． B． C． D．7．在用反证法证明“已知，且，则中至少有一个大于1”时，假设应为（）A．中至多有一个大于1 B．全都小于1C．中至少有两个大于1 D．均不大于18．设函数，则的图象大致为（）A． B．C． D．9．已知随机变量的分布如下表所示，则等于（）A．0 B．－0.2 C．－1 D．－0.310．若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为A． B． C． D．11．已知，，，则（）A． B． C． D．12．已知命题：①函数的值域是；②为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点向右平移个单位长度；③当或时，幂函数的图象都是一条直线；④已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是.其中正确的命题个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．过点(，)且与极轴平行的直线的极坐标方程是_______．14．在棱长均为的正三棱柱中，________.15．在极坐标系中，已知到直线：，的距离为2，则实数的值为__________．16．如图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成．若,，则正实数a的取值范围是_________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．分数[50,59)[60,69)[70,79)[80,89)[90,100]甲班频数56441乙班频数13655（1）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断“成绩优良与教学方式是否有关”?甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核．在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为，求的分布列及数学期望．附：．临界值表18．（12分）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求证:.19．（12分）某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚秒.A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°.（1）求A、C两地的距离；（2）求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)20．（12分）已知圆C的圆心在x轴上，且经过两点，．（1）求圆C的方程；（2）若点P在圆C上，求点P到直线的距离的最小值．21．（12分）如图，在四边形中，，，四边形为矩形，且平面，.（1）求证：平面；（2）点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.22．（10分）若，(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求证：；(Ⅲ)在(Ⅱ)中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

根据题意，先求出直线PC的斜率，根据MN与PC垂直求出MN的斜率，由点斜式，即可求出结果.【题目详解】由题意知，圆心的坐标为，则，由于MN与PC垂直，故MN的斜率，故弦MN所在的直线方程为，即.故选A【题目点拨】本题主要考查求弦所在直线方程，熟记直线的点斜式方程即可，属于常考题型.2、B【解题分析】根据题意，分2种情况讨论：①、第一类三个男生每个大学各推荐一人，两名女生分别推荐北京大学和清华大学，共有=12种推荐方法；②、将三个男生分成两组分别推荐北京大学和清华大学，其余2个女生从剩下的2个大学中选，共有=12种推荐方法；故共有12+12=24种推荐方法，故选B．3、C【解题分析】，故答案选4、B【解题分析】

由于是与的等差中项，得到，分，两种情况讨论，用等比数列的前n项和公式代入，得到，即，故得解.【题目详解】由于是与的等差中项，故由于等比数列，若：，矛盾；若：，即成等差数列故选：B【题目点拨】本题考查了等差、等比数列综合，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.5、D【解题分析】

把给出的等式通过复数的乘除运算化简后,直接利用共轭复数的定义即可得解.【题目详解】,,.故选:D.【题目点拨】本题考查了复数的代数形式的乘除运算,考查共扼复数,是基础题.6、C【解题分析】

根据切线方程计算，，再计算的导数，将2代入得到答案.【题目详解】函数的图像在点处的切线方程是故答案选C【题目点拨】本题考查了切线方程，求函数的导数，意在考查学生的计算能力.7、D【解题分析】

直接利用反证法的定义得到答案.【题目详解】中至少有一个大于1的反面为均不大于1，故假设应为：均不大于1.故选：.【题目点拨】本题考查了反证法，意在考查学生对于反证法的理解.8、A【解题分析】

根据可知函数为奇函数，根据奇函数性质，排除；根据时，的符号可排除，从而得到结果.【题目详解】，为上的奇函数，图象关于原点对称，且，可排除，；又，当时，，当时，，可排除，知正确.故选：.【题目点拨】本题考查函数图象的辨析问题，解决此类问题通常采用排除法来进行求解，排除依据通常为：奇偶性、特殊值符号和单调性.9、B【解题分析】

先根据题目条件求出值，再由离散型随机变量的期望公式得到答案。【题目详解】由题可得得，则由离散型随机变量的期望公式得故选B【题目点拨】本题考查离散型随机变量的分布列和期望公式，属于一般题。10、B【解题分析】由题意知：，所以，故，令得所有项系数之和为.11、D【解题分析】

根据指数和对数函数的单调性可确定临界值，从而得到大小关系.【题目详解】；；且本题正确选项：【题目点拨】本题考查利用指数和对数函数的单调性比较大小的问题，属于基础题.12、C【解题分析】

：①根据指数函数的单调性进行判断；②根据三角函数的图形关系进行判断；③根据幂函数的定义和性质进行判断；④根据函数与方程的关系，利用数形结合进行判断.【题目详解】①因为是增函数，所以当时，函数的值域是，故①正确；②函数图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图像，故②错误；③当时，直线挖去一个点，当时，幂函数的图形是一条直线，故③错误；④作出的图像如图所示：所以在上递减，在上递增，在上递减，又因为在上有两个，在上有一个，不妨设，则，即，则的范围即为的范围，由，得，则有，即的范围是，所以④正确；所以正确的命题有2个，故选C.【题目点拨】该题考查的是有关真命题的个数问题，在结题的过程中，涉及到的知识点有指数函数的单调性，函数图像的平移变换，零指数幂的条件以及数形结合思想的应用，灵活掌握基础知识是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

先根据公式，，求出点的直角坐标，根据题意得出直线的斜率为0，用点斜式表示出方程，再化为极坐标方程．【题目详解】由，，可得点的直角坐标为∵直线与极轴平行

∴在直角坐标系下直线的斜率为0

∴直线直角坐标方程为y=1

∴直线的极坐标方程是

故答案为．【题目点拨】本题考查了简单曲线的极坐标方程，解答的关键是利用基本公式，，注意转化思想，属于基础题．14、【解题分析】

首先画出正三棱柱，求出边长和，最后求面积.【题目详解】因为是正三棱柱，并且棱长都为1，是腰长为，底边长为1的等腰三角形，所以底边的高，.故答案为【题目点拨】本题考查几何体中几何量的求法，意在考查空间想象能力，属于基础题型.15、1【解题分析】分析：可化为，利用点到直线：，的距离为2，求出m的值.详解：可化为，点到直线：，的距离为2，，又，.故答案为：1.点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．16、【解题分析】试题分析：由已知可得且，若，则，解得，所以实数的取值范围是.考点：函数图象的应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的图象及其应用，其中解答中涉及函数的图象及其简答的性质，全称命题、函数的恒成立问题等知识点的综合考查，其中解答中根据已知条件和函数的图象，列出相应的不等式组是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，属于中档试题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）在犯错概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.（2）见解析【解题分析】

(1)根据数据对应填写，再根据卡方公式求，最后对照参考数据作判断，（2）先根据分层抽样得成绩不优良的人数，再确定随机变量取法，利用组合数求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求期望.【题目详解】解：（1）根据2×2列联表中的数据，得的观测值为，在犯错概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.(2)由表可知在8人中成绩不优良的人数为，则的可能取值为0,1,2,1．；；；．的分布列为：所以．【题目点拨】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.18、（1）在，上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析.【解题分析】

(1)先对求导，通过导函数与0的大小比较即可得到单调区间.(2),从而利用（1）中相关结论求出的极值点证明不等式.【题目详解】（1），．，函数在，上单调递增，在上单调递减．（2）证明：．由（1）知在，上单调递增，在上单调递减，且时，，且时，，在时取得最小值，即，故.【题目点拨】本题主要考查利用导函数求解函数增减区间，利用导函数证明不等式，意在考查学生的分析能力，转化能力及逻辑推理能力，难度中等.19、(1)420m;(2)140.【解题分析】分析：（1）设，由题意已知两边及一角用余弦定理，列出关于的方程式求解．（2）在直角三角形中，，由（1）解出，可得的值．详解：（1）由题意，设AC＝x，则BC＝x－340＝x－40.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝BA2＋AC2－2BAACcos∠BAC，即(x－40)2＝10000＋x2－100x，解得x＝420.∴A、C两地间的距离为420m.（2）在Rt△ACH中，AC＝420，∠CAH＝30°，所以CH＝ACtan∠CAH＝140.答:该仪器的垂直弹射高度CH为140米．点睛：正弦定理，余弦定理，直角三角形的正切值，我们要灵活应用，千万不要只纠结于正余弦定理，直角三角形中的几何性质也可以应用进来．20、（1）（2）【解题分析】

（1）设圆心在轴上的方程是，代入两点求圆的方程；（2）利用数形结合可得最短距离是圆心到直线的距离-半径.【题目详解】解：（1）由于圆C的圆心在x轴上，故可设圆心为，半径为，又过点，，故解得故圆C的方程．（2）由于圆C的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，又点P在圆C上，故点P到直线的距离的最小值为．【题目点拨】本题考查了圆的方程以及圆有关的最值问题，属于简单题型，当直线和圆相离时，圆上的点到直线的最短距离是圆心到直线的距离-半