四川省2024届数学高二第二学期期末经典试题含解析

四川省2024届数学高二第二学期期末经典试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列命题错误的是（）A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B．若为假命题，则均为假命题C．对于命题：，使得，则：，均有D．“”是“”的充分不必要条件2．以下四个命题中，真命题的是（）A．B．“对任意的”的否定是“存在”C．，函数都不是偶函数D．中，“”是“”的充要条件3．若集合,则实数的取值范围是()A． B．C． D．4．如图所示是一个几何体的三视图，则其表面积为（）A． B．C． D．5．用数学归纳法证明：时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（）A． B． C． D．16．设有一个回归方程为y=2-2.5x,则变量x增加一个单位时（）A．y平均增加2.5个单位 B．y平均增加2个单位C．y平均减少2.5个单位 D．y平均减少2个单位7．设，则“”是“”的()A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件8．已知空间向量，且，则（）A． B． C． D．9．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标为（）A． B． C． D．10．已知函数，若且对任意的恒成立，则的最大值是（）A．2 B．3 C．4 D．511．定义在上的奇函数满足，且在上单调递增，则下列结论中正确的是（）A.B.C.D.12．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为A．100 B．200 C．300 D．400二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面直角坐标系中，若直线与椭圆在第一象限内交于点，且以为直径的圆恰好经过右焦点，则椭圆的离心率是______.14．已知△ABC中，角A，B，C成等差数列，且△ABC的面积为2＋，则AC边长的最小值是________.15．曲线在点处的切线方程为________．16．将三项式展开，当时，得到以下等式：……观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数.若在的展开式中，项的系数为75，则实数a的值为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）若，解关于的不等式.18．（12分）如图，在四棱锥中，为矩形，是以为直角的等腰直角三角形，平面⊥平面．(1)证明：平面⊥平面；(2)为直线的中点，且，求二面角的余弦值.19．（12分）已知三点，，，曲线上任意一点满足．（1）求的方程；（2）动点在曲线上，是曲线在处的切线．问：是否存在定点使得与都相交，交点分别为，且与的面积之比为常数？若存在，求的值；若不存在，说明理由．20．（12分）在直角坐标系中，圆的方程为．（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）,与交于两点，，求的斜率．21．（12分）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直．EF//AC，AB=,CE=EF=1（Ⅰ）求证：AF//平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE;22．（10分）《厉害了，我的国》这部电影记录：到2017年底，我国高铁营运里程达2.5万公里，位居世界第一位，超过第二名至第十名的总和，约占世界高铁总量的三分之二.如图是我国2009年至2017年高铁营运里程（单位：万公里）的折线图.根据这9年的高铁营运里程，甲、乙两位同学分别选择了与时间变量的两个回归模型①：；②.（1）求，（精确到0.01）；（2）乙求得模型②的回归方程为，你认为哪个模型的拟合效果更好？并说明理由.附：参考公式：，，.参考数据：1.3976.942850.220.093.72

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

由原命题与逆否命题的关系即可判断A；由复合命题的真值表即可判断B;由特称命题的否定是全称命题即可判断C；根据充分必要条件的定义即可判断D；．【题目详解】A．命题：“若p则q”的逆否命题为：“若￢q则￢p”，故A正确；B．若p∧q为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故B错．C．由含有一个量词的命题的否定形式得，命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，故C正确；D．由x2﹣3x+2＞0解得，x＞2或x＜1，故x＞2可推出x2﹣3x+2＞0，但x2﹣3x+2＞0推不出x＞2，故“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，即D正确故选：B．【题目点拨】本题考查简易逻辑的基础知识：四种命题及关系，充分必要条件的定义，复合命题的真假和含有一个量词的命题的否定，这里要区别否命题的形式，本题是一道基础题．2、D【解题分析】

解：A．若sinx＝tanx，则sinx＝tanx，∵x∈（0，π），∴sinx≠0，则1，即cosx＝1，∵x∈（0，π），∴cosx＝1不成立，故∃x∈（0，π），使sinx＝tanx错误，故A错误，B．“对任意的x∈R，x2+x+1＞0”的否定是“存在x0∈R，x02+x0+1≤0”，故B错误，C．当θ时，f（x）＝sin（2x+θ）＝sin（2x）＝cos2x为偶函数，故C错误，D．在△ABC中，C，则A+B，则由sinA+sinB＝sin（B）+sin（A）＝cosB+cosA，则必要性成立；∵sinA+sinB＝cosA+cosB，∴sinA﹣cosA＝cosB﹣sinB，两边平方得sin2A﹣2sinAcosA+cos2A＝sin2B﹣2sinBcosB+cos2B，∴1﹣2sinAcosA＝1﹣2sinBcosB，∴sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＝π﹣2B，即A＝B或A+B，当A＝B时，sinA+sinB＝cosA+cosB等价为2sinA＝2cosA，∴tanA＝1，即A＝B，此时C，综上恒有C，即充分性成立，综上△ABC中，“sinA+sinB＝cosA+cosB”是“C”的充要条件，故D正确，故选D．考点：全称命题的否定，充要条件等3、D【解题分析】

本题需要考虑两种情况，，通过二次函数性质以及即集合性质来确定实数的取值范围。【题目详解】设当时，，满足题意当时，时二次函数因为所以恒大于0，即所以，解得。【题目点拨】本题考察的是集合和带有未知数的函数的综合题，需要对未知数进行分类讨论。4、A【解题分析】

根据三视图可得对应的三棱锥，逐个计算其侧面积和底面积可得其表面积.【题目详解】将三视图复原后得到的几何体即为如图所示的三棱锥，其中是棱长为4的正方体的顶点，为正方体的底面中心，注意到所以，，，因此该三棱锥的表面积等于.故选A.【题目点拨】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．5、A【解题分析】

先求出n=k+1时左边最后的一项，再求左边增加的项数.【题目详解】n=k+1时左边最后的一项为，n=k时左边最后一项为，所以左边增加的项数为.故选：A【题目点拨】本题主要考查数学归纳法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.6、C【解题分析】试题分析：根据题意，对于回归方程为，当增加一个单位时，则的平均变化为，故可知平均减少个单位，故选C.考点：线性回归方程的应用.7、A【解题分析】

利用不等式的性质和充分必要条件的定义进行求解；【题目详解】∵可得或，

∴由“”能推出“”，但由“”推不出“”，

∴“”是“”的充分非必要条件，

故选A.【题目点拨】本题主要考查不等式的基本性质和充分必要条件，属于基础题.8、C【解题分析】

根据空间向量的数量积等于0，列出方程，即可求解.【题目详解】由空间向量，又由，即，解得，故选C.【题目点拨】本题主要考查了空间向量中垂直关系的应用，其中解答中根据，利用向量的数量积等于0，列出方程即可求解，着重考查了推理与运算能力.9、A【解题分析】由圆，化为，∴，化为，∴圆心为，半径r=．∵tanα=，取极角，∴圆的圆心的极坐标为．故选A．10、B【解题分析】分析：问题转化为对任意恒成立，求正整数的值．设函数，求其导函数，得到其导函数的零点位于内，且知此零点为函数的最小值点，经求解知，从而得到0，则正整数的最大值可求．．详解：因为，所以对任意恒成立，

即问题转化为对任意恒成立．

令，则令，则，

所以函数在上单调递增．

因为

所以方程在上存在唯一实根，且满足．

当时，，

即，当时，，即，

所以函数在上单调递减，

在上单调递增．

所以所以

因为），

故整数的最大值是3，

故选：B．点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调区间，考查了数学转化思想，解答此题的关键是，如何求解函数的最小值，属难题．11、D【解题分析】试题分析：由可得：，所以函数的周期，又因为是定义在R上的奇函数，所以，又在上单调递增，所以当时，，因此，，所以。考点：函数的性质。12、B【解题分析】

试题分析：设没有发芽的种子数为，则，，所以考点：二项分布【方法点睛】一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X～B（n，p）），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E（X）＝np）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、.【解题分析】

由题意可得轴，求得的坐标，由在直线上，结合离心率公式，解方程可得所求值．【题目详解】解：以为直径的圆恰好经过右焦点，可得轴，令，可得，不妨设，由在直线上，可得，即为，由可得，解得（负的舍去）.故答案为:.【题目点拨】本题考查椭圆的方程和性质，考查了圆的性质.本题的关键是由圆过焦点得出点的坐标.求离心率的做题思路是，根据题意求出或者列出一个关于的方程，由椭圆或双曲线的的关系，进而求解离心率.14、【解题分析】

分析：由已知及等差数列的性质可得，结合三角形内角和定理可求的值，利用三角形面积公式可得，利用余弦定理及基本不等式可解得边的最小值.详解：成等差数列，，又，由，得，，因为，，解得，的最小值为，故答案为.点睛：本题主要考查了等差数列的性质、三角形内角和定理、三角形面积公式、余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化与划归思想，属于中档题.15、【解题分析】

求出函数的导数，可得切线的斜率，运用斜截式方程可得切线的方程．【题目详解】曲线y＝（1﹣3a）ex在点（1，1），可得：1＝1﹣3a，解得a＝1，函数f（x）＝ex的导数为f′（x）＝ex，可得图象在点（1，1）处的切线斜率为1，则图象在点（1，1）处的切线方程为y＝x+1，即为x﹣y+1＝1．故答案为：x﹣y+1＝1．【题目点拨】本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和运用斜截式方程是解题的关键，属于基础题．16、2【解题分析】试题分析：根据题意可知的展开式为，所以的展开式中项是由两部分构成的，即，所以，解得：。考点：二项式定理及其应用。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、见解析【解题分析】

本题是含有参数的解不等式，可以先将不等式转化为的形式，再通过分类讨论参数得出解．【题目详解】时，且；时，等价于因为，所以，所以不等式可化简为当时，或．当时，，或综上所述，时，且；0时或时，或}【题目点拨】在解含有参数的不等式的时候，一定要注意参数的取值范围并进行分类讨论．18、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解题分析】

（Ⅰ）由为矩形，得，再由面面垂直的性质可得平面，则，结合，由线面垂直的判定可得平面，进一步得到平面平面；（Ⅱ）取中点O，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值，再由平方关系求得二面角的正弦值．【题目详解】（Ⅰ）证明：为矩形，，平面平面，平面平面，平面，则，又，，平面，而平面，平面平面；（Ⅱ）取中点O，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，由，是以为直角的等腰直角三角形，得：，．设平面的一个法向量为，由，取，得；设平面的一个法向量为，由，取，得.．∴二面角的正弦值为．【题目点拨】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．19、（1）；（2）存在，.【解题分析】分析：（1）先求出、的坐标，由此求得||和的值，两式相等，化简可得所求；（2）根据直线PA，PB的方程以及曲线C在点Q（x0，y0）（﹣2＜x0＜2）处的切线方程，D、E两点的横坐标，可得S△PDE和S△QAB的比值，从而求得参数值.详解：（1）依题意可得，，由已知得，化简得曲线C的方程：

,（2）假设存在点满足条件，则直线的方程是，直线的方程是，曲线C在点Q处的切线l的方程为:,它与y轴的交点为，由于，因此①当时，

，存在，使得，即l与直线平行，故当时与题意不符②当时，，所以l与直线一定相交，分别联立方程组，解得的横坐标分别是则，又，有，又于是对任意，要使与的面积之比是常数，只需t满足，解得，此时与的面积之比为2，故存在，使与的面积之比是常数2.点睛：本题主要考查抛物线的标准方程的应用，利用导数求曲线上某点的切线方程，求得F点的坐标，D、E两点的横坐标，是解题的关键，属于中档题．利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的