江苏省泰兴市三中2024届数学高二第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

江苏省泰兴市三中2024届数学高二第二学期期末学业质量监测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是A．3 B．4 C． D．2．在等差数列中，，则（）A．45 B．75 C．180 D．3603．已知关于的方程，，若对任意的，该方程总存在唯一的实数解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知是周期为4的偶函数，当时，则（）A．0 B．1 C．2 D．35．若能被整除，则的值可能为（）A． B． C．x="5,n=4" D．6．已知与之间的一组数据：01231357则与的线性回归方程必过A． B． C． D．7．同学聚会上，某同学从《爱你一万年》，《十年》，《父亲》，《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未选取的概率为（）A．B．C．D．8．在等差数列中，且，则的最大值等于(）A．3 B．4 C．6 D．99．魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为：若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为A．16 B． C． D．10．某小区有1000户居民，各户每月的用电量近似服从正态分布，则用电量在320度以上的居民户数估计约为（）（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.）A．17 B．23 C．34 D．4611．已知定义域为的奇函数，当时，满足，则（）A． B． C． D．12．设函数，若实数分别是的零点，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在回归分析中，分析残差能够帮助我们解决的问题是：_____________________.(写出一条即可)14．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在前人的基础上写了一部划时代的著作《圆锥曲线论》，该书给出了当时数学家们所研究的六大轨迹问题，其中之一便是“到两个定点的距离之比等于不为1的常数的轨迹是圆”，简称“阿氏圆”．用解析几何方法解决“到两个定点，的距离之比为的动点轨迹方程是：”，则该“阿氏圆”的圆心坐标是______，半径是_____．15．已知的展开式中项的系数是-35，则________.16．已知是椭圆的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于两点，且，，则椭圆的离心率为________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：(1)如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？(2)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？(3)如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？18．（12分）选修4-5：不等式选讲已知函数的最大值为.（1）求的值；（2）若，，求的最大值.19．（12分）已知函数为常数，且)有极大值，求的值．20．（12分）如图，直三棱柱中，，，，为的中点，点为线段上的一点.（1）若，求证：；（2）若，异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值.21．（12分）如图，在正四棱锥中，为底面的中心，已知，点为棱上一点，以为基底，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；（2）设二面角的平面角为，且，试判断点的位置．22．（10分）设命题函数在是减函数；命题，都有成立．（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

解析：考察均值不等式，整理得即，又，2、C【解题分析】

由，利用等差数列的性质求出，再利用等差数列的性质可得结果.【题目详解】由，得到，则．故选C.【题目点拨】本题主要考查等差数列性质的应用，属于基础题.解与等差数列有关的问题时，要注意应用等差数列的性质：若，则.3、B【解题分析】由成立，得，设，，则则时，，函数单调递减；时，，函数单调递增；且，使得对于任意，对任意的，方程存在唯一的解，则，即，即，所以，所以实数得取值范围是，故选B．点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解得中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值和函数与方程等知识点的综合应用，试题有一定的难度，属于难题，解答中把方程存在唯一的解转化为函数的最值问题是解答的关键．4、D【解题分析】

利用函数的周期性，化简所求函数值的自变量为已知函数的定义域中，代入求解即可．【题目详解】f（x）是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时f（x）=，则f（2014）+f（2015）=f（2012+2）+f（2016﹣1）=f（2）+f（﹣1）=log22+1+12=1．故选：D．【题目点拨】本题考查分段函数的应用，函数的周期性以及函数值的求法，考查计算能力．5、C【解题分析】

所以当时，能被整除，选C.6、B【解题分析】

先求出x的平均值，y的平均值，回归直线方程一定过样本的中心点（，），代入可得答案．【题目详解】解：回归直线方程一定过样本的中心点（，），，∴样本中心点是（1.5，4），则y与x的线性回归方程y＝bx+a必过点（1.5，4），故选B．【题目点拨】本题考查平均值的计算方法，回归直线的性质：回归直线方程一定过样本的中心点（，）．7、B【解题分析】,所以选B.8、B【解题分析】

先由等差数列的求和公式，得到，再由基本不等式，即可求出结果.【题目详解】因为在等差数列中，所以，即，又，所以，当且仅当时，的最大值为4.故选B。【题目点拨】本题主要考查基本不等式求积的最大值，熟记等差数列的求和公式以及基本不等式即可，属于常考题型.9、C【解题分析】

由已知求出正方体内切球的体积，再由已知体积比求得“牟合方盖”的体积．【题目详解】正方体的棱长为2，则其内切球的半径，正方体的内切球的体积，又由已知，．故选C．【题目点拨】本题考查球的体积的求法，理解题意是关键，是基础题．10、B【解题分析】分析：先求用电量在320度以上的概率，再求用电量在320度以上的居民户数.详解：由题得所以，所以，所以求用电量在320度以上的居民户数为1000×0.023=23.故答案为B.点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)对于正态分布曲线的概率的计算，不要死记硬背，要结合其图像分析求解.11、D【解题分析】分析：通过计算前几项，可得n=3，4，…，2018，数列以3为周期的数列，计算可得所求和．详解：定义域为R的奇函数f（x），可得f（﹣x）=﹣f（x），当x＞0时，满足，可得x＞时，f（x）=f（x﹣3），则f（1）=﹣log25，f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）=log25，f（3）=f（0）=0，f（4）=f（1）=﹣log25，f（5）=f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）=log25，f（6）=f（3）=f（0）=0，f（7）=f（4）=f（1）=﹣log25，f（8）=f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）=log25，…f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）=﹣log25+log25+（0﹣log25+log25）×672=0，故选：D．点睛：归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.12、A【解题分析】由题意得，函数在各自的定义域上分别为增函数，∵，又实数分别是的零点∴，∴，故．选A．点睛：解答本题时，先根据所给的函数的解析式判断单调性，然后利用判断零点所在的范围，然后根据函数的单调性求得的取值范围，其中借助0将与联系在一起是关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、寻找异常点，考查相应的样本数据是否有错【解题分析】

分析残差是回归诊断的一部分，可以帮助我们发现样本数据中的错误，分析模型选择是否合适．【题目详解】分析残差能够帮助我们解决的问题是：寻找异常点，考查相应的样本数据是否有错；故答案为：寻找异常点，考查相应的样本数据是否有错．【题目点拨】本题考查线性回归方程中残差的作用，是基础题．14、2【解题分析】

将圆化为标准方程即可求得结果.【题目详解】由得：圆心坐标为：，半径为：本题正确结果：；【题目点拨】本题考查根据圆的方程求解圆心和半径的问题，属于基础题.15、1【解题分析】

试题分析：∵，∴．又展开式中的系数是－35，可得，∴m=1．∴．在①，令x=1，m=1时，由①可得，即考点：二项式系数的性质16、【解题分析】

连接,设,利用椭圆性质,得到长度,分别在△和中利用余弦定理,得到c的长度，根据离心率的定义计算得到答案.【题目详解】设，则，，由，得，，在△中，，又在中，，得故离心率【题目点拨】本题考察了离心率的计算,涉及到椭圆的性质,正余弦定理,综合性强,属于难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）30；（2）91种；（3）120种.【解题分析】

试题分析：（1）根据题意，分别计算“从5名男生中选出2人”和“从4名女生中选出2人”的选法数目，由分步计数原理计算可得答案；

（2）用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“甲乙都没有入选”的选法数目，即可得答案；

（3）用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“只有男生”和“只有女生”的选法数目，即可得答案．试题解析：(1)；(2)方法1：(间接法)在9人选4人的选法中，把男甲和女乙都不在内的去掉，就得到符合条件的选法数为：(种)；方法2：(直接法)甲在内乙不在内有种，乙在内甲不在内有种，甲、乙都在内有种，所以男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内的选法共有：(种).(3)方法1：(间接法)在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数为：(种)；方法2：(直接法)分别按含男1，2，3人分类，得到符合条件的选法总数为：(种).点睛：（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．18、（1）2（2）2【解题分析】

试题分析：（1）根据绝对值定义，将函数化为分段函数形式，分别求各段最大值，最后取各段最大值的最大者为的值；（2）利用基本不等式得，即得的最大值.试题解析：（1）由于当时，，当时，，当时，所以.（2）由已知,有，因为(当时取等号)，(当时取等号)，所以，即，故的最大值为2.19、【解题分析】

求导，解出导数方程的两根，讨论导数在这两个点左右两边导数的符号，确定极大值点，再将极大值点代入函数解析式，可求出实数的值．【题目详解】，则，令，得，，，，列表如下：极大值极小值所以，函数在处取得极大值，即，解得．【题目点拨】本题考查利用导数求函数的极值，基本步骤如下：（1）求函数的定义域；（2）求导；（3）求极值点并判断导数在极值点附近的符号，确定极值点的属性；（4）将极值点代入函数解析式可求出极值．20、（1）证明见解析；（2）【解题分析】

(1)根据三棱柱是直三棱柱的特征，又，可作中点，连接DM,通过线面垂直证明平面，可推出，又，可证(2)通过作图，分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角体系，先通过几何法求出长度，分别表示出线面角各点对应的坐标，再用向量公式算出直线与平面所成角的正弦值【题目详解】证明：（1）取中点，连接，，有，因为，所以，又因为三棱柱为直三棱柱，所以平面平面，又因为平面平面，所以平面，又因为平面，所以又因为，，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，所以.（2）设，如图以为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角体系，由（1）可知，，所以，故，，，，，对平面，，，所以其法向量可表示为.又，所以直线与平面成角的正弦值.【题目点拨】证线线垂直一般是通过线面垂直进行证明，本题其实还可以采用射影逆定理进行证明，通过证明与斜线垂直即，推出与射影垂直，，不妨一试；对于像本题中第二问不太好确定线面关系而又发觉立体图形比较规整的，比如说正方体、长方体、正三棱锥，直棱柱等，都可直接考虑建立空间直角坐标系来进行求解21、（1）；（2）点位于棱的三等分点处.【解题分析】

先由题意，得到，，，的坐标，以及向量，的坐标；（1）根据题中条件，得到，求出平面的一个法向量