2024届北师大长春附属学校高二数学第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2024届北师大长春附属学校高二数学第二学期期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕着C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D，设CP=x，△CPD的面积为f（x）．求f（x）的最大值（）．A．B．2C．3 D．2．若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）A．2 B． C． D．3．设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{﹣4，﹣3，1}，则A∩B＝（）A．{1，﹣3} B．{1，﹣4} C．{3} D．{1}4．在满分为15分的中招信息技术考试中，初三学生的分数，若某班共有54名学生，则这个班的学生该科考试中13分以上的人数大约为（）（附：）A．6 B．7 C．9 D．105．函数在处的切线方程是()A． B． C． D．6．已知双曲线的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx﹣ay＝0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（）A． B．2 C． D．57．甲乙丙丁四名学生报名参加四项体育比赛，每人只报一项，记事件“四名同学所报比赛各不相同”，事件“甲同学单独报一项比赛”，则()A． B． C． D．8．在极坐标系中，点关于极点的对称点为A． B． C． D．9．设命题，则为（）A． B．C． D．10．用数学归纳法证明“”,从“到”左端需增乘的代数式为()A． B． C． D．11．用数学归纳法证明：“”，由到时，等式左边需要添加的项是（）A． B．C． D．12．甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以，，表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确的是（）A．事件与事件不相互独立 B．、、是两两互斥的事件C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数，对任意，恒有，则的最小值为________.14．在的二项式中，常数项等于_______（结果用数值表示）.15．直线与抛物线围成的封闭图形的面积等于___________.16．用反证法证明命题“如果，那么”时，应假设__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标平面内，直线l过点P(1，1)，且倾斜角α＝.以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设直线l与圆C交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．18．（12分）在中，角的对边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的面积的最大值．19．（12分）从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动．设所选3人中女生人数为，求的数学期望.20．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的方程为.（1）求圆的直角坐标方程和的普通方程；（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求.21．（12分）已知圆心为的圆，满足下列条件：圆心位于轴正半轴上，与直线相切，且被轴截得的弦长为，圆的面积小于13.（1）求圆的标准方程：（2）设过点的直线与圆交于不同的两点，，以，为邻边作平行四边形.是否存在这样的直线，使得直线与恰好平行？如果存在，求出的方程：如果不存在，请说明理由.22．（10分）在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.点为曲线上的动点，求点到直线距离的最大

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】试题分析：利用三角形的构成条件，建立不等式，可求x的取值范围；三角形的周长是一个定值8，故其面积可用海伦公式表示出来，再利用基本不等式，即可求f（x）的最大值．解：（1）由题意，DC=2，CP=x，DP=6-x，根据三角形的构成条件可得x+6-x＞2,2+6-x＞x,2+x＞6-x，解得2＜x＜4；三角形的周长是一个定值8，故其面积可用海伦公式表示出来，即f（x）=当且仅当4-x=-2+x，即x=3时，f（x）的最大值为,故选A.考点：函数类型点评：本题考查根据实际问题选择函数类型，本题中求函数解析式用到了海伦公式，2、A【解题分析】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．3、D【解题分析】

利用集合的交集的运算，即可求解．【题目详解】由题意，集合，所以，故选D．【题目点拨】本题主要考查了集合交集的运算，其中解答中熟记集合的交集运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4、C【解题分析】

分析：现利用正态分布的意义和原则结合正态分布曲线的对称性，计算大于的概率，即可求解得到其人数．详解：因为其中数学考试成绩服从正态分布，因为，即根据正态分布图象的对称性，可得，所以这个班级中数学考试成绩在分以上的人数大约为人，故选C．点睛：本题主要考查了随机变量的概率分布中正态分布的意义和应用，其中熟记正态分布图象的对称性是解答的关键，着重考查了转化与化归思想方法的应用，属于基础题．5、A【解题分析】

求导函数，切点切线的斜率，求出切点的坐标，即可得到切线方程．【题目详解】求曲线y＝exlnx导函数，可得f′（x）＝exlnx∴f′（1）＝e，∵f（1）＝0，∴切点（1，0）．∴函数f（x）＝exlnx在点（1，f（1））处的切线方程是：y﹣0＝e（x﹣1），即y＝e（x﹣1）故选：A．【题目点拨】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基本知识的考查．6、C【解题分析】

设P为直线与的交点，则OP为的中位线，求得到渐近线的距离为b，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值．【题目详解】，直线是线段的垂直平分线，可得到渐近线的距离为，且，，，可得，即为，即，可得．故选C．【题目点拨】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．7、D【解题分析】

求出，根据条件概率公式即可得解.【题目详解】由题：，.故选：D【题目点拨】此题考查求条件概率，关键在于准确求出AB的概率和B的概率，根据条件概率公式计算求解.8、C【解题分析】分析：在极坐标系中，关于极点的对称点为详解：∵关于极点的对称点为，

∴关于极点的对称点为．

故选：C．点睛：本题考查一个点关于极点的对称点的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标性质的合理运用．9、D【解题分析】分析：根据全称命题的否定解答.详解：由全称命题的否定得为：，故答案为D.点睛：（1）本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)全称命题：,全称命题的否定（）：.10、B【解题分析】

分别求出时左端的表达式，和时左端的表达式，比较可得“从到”左端需增乘的代数式.【题目详解】由题意知，当时，有，当时，等式的左边为，所以左边要增乘的代数式为.故选：.【题目点拨】本题主要考查的是归纳推理，需要结合数学归纳法进行求解，熟知数学归纳法的步骤，最关键的是从到，考查学生仔细观察的能力，是中档题.11、D【解题分析】

写出时，左边最后一项，时，左边最后一项，由此即可得到结论【题目详解】解：∵时，左边最后一项为，时，左边最后一项为，∴从到，等式左边需要添加的项为一项为故选：D．【题目点拨】本题考查数学归纳法的概念，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．12、D【解题分析】分析：由题意，，是两两互斥事件，条件概率公式求出，，对照选项即可求出答案.详解：由题意，，是两两互斥事件，,,,,而.所以D不正确.故选：D.点睛：本题考查相互独立事件，解题的关键是理解题设中的各个事件，且熟练掌握相互独立事件的概率简洁公式，条件概率的求法，本题较复杂，正确理解事件的内蕴是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】∵，∴，∴当时，单调递减；当时，单调递增。∴当时，有最大值，且。又，∴。由题意得等价于。∴的最小值为。答案：14、140【解题分析】

写出二项展开式的通项，由的指数为0求得r值，则答案可求．【题目详解】由得由6-3r=0，得r=1．

∴常数项等于,故答案为140.【题目点拨】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．15、【解题分析】直线与抛物线的交点坐标为，据此可得：直线与抛物线围成的封闭图形的面积等于:.16、【解题分析】

由反证法的定义得应假设：【题目详解】由反证法的定义得应假设：故答案为：【题目点拨】本题主要考查反证法的证明过程，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）x2＋y2－4y＝0.（2）2【解题分析】试题分析：（1）根据将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程（2）设直线参数方程，与圆方程联立，根据参数几何意义以及韦达定理得|PA|·|PB|＝|t1t2|＝2.试题解析：(1)∵ρ＝4sinθ，∴ρ2＝4ρsinθ，则x2＋y2－4y＝0，即圆C的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0.(2)由题意，得直线l的参数方程为(t为参数)．将该方程代入圆C的方程x2＋y2－4y＝0，得＋－4＝0，即t2＝2，∴t1＝，t2＝－.即|PA|·|PB|＝|t1t2|＝2.18、（1）；（2）【解题分析】

（1）利用正弦定理将边化角和诱导公式可化简边角关系式，求得，根据可求得结果；（2）利用余弦定理得到，利用基本不等式可求得，代入三角形面积公式即可求得面积的最大值.【题目详解】（1）由正弦定理可得：即：，即（2）由余弦定理可知：又（当且仅当时取等号）即的最大值为：【题目点拨】本题考查解三角形的相关知识，涉及到利用正弦定理化简边角关系式、余弦定理的应用、三角形面积最值的求解等知识；化简边角关系式的关键是能够根据边齐次的特点，利用正弦定理将边角关系式转化为三角恒等变换的化简问题.19、【解题分析】

的可能值为，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.【题目详解】的可能值为，则；；.故分布列为：故.【题目点拨】本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.20、（1）；；（2）【解题分析】

（1）的普通方程消参，圆的直角坐标方程利用公式化简。（2）联立方程利用韦达定理解出，，再带入即可。【题目详解】(1)(2)将代入得，点都在点下方。【题目点拨】极坐标与直角坐标方程互化公式涉及弦长一般利用参数t的几何意义解题，属于基础题21、(1).(2)不存在这样的直线.【解题分析】

试题分析：（I）用待定系数法即可求得圆C的标准方程；（Ⅱ）首先考虑斜率不存在的情况.当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2).l与圆C相交于不同的两点，那么Δ>0.由题设及韦达定理可得k与x1、x2之间关系式，进而求出k的值.若k的值满足Δ>0，则存在；若k的值不满足Δ>0，则不存在.试题解析：（I）设圆C：(x-a)2+y2=R2(a>0)，由题意知解得a=1或a=，又∵S=πR2<13，∴a=1，∴圆C的标准方程为：(x-1)2+y2=1．（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又∵l与圆C相交于不同的两点，联立消去y得：(1+k2)x2+(6k-2)x+