2024届浙江台州中学高二数学第二学期期末考试试题含解析

2024届浙江台州中学高二数学第二学期期末考试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数在点处的导数是（）．A．0 B．1 C．2 D．32．的值为（）A． B． C． D．3．已知双曲线的离心率为，则m=A．4 B．2 C． D．14．已知n元均值不等式为：，其中均为正数，已知球的半径为R，利用n元均值不等式求得球的内接正四棱锥的体积的最大值为

A． B． C． D．5．幂函数y=kxa过点（4，2），则k–a的值为A．–1 B．C．1 D．6．函数f(x)=x3-12x+8在区间A．17 B．12 C．32 D．247．如图所示，程序框图算法流程图的输出结果是A． B． C． D．8．已知函数，且，则=（）A． B．2 C．1 D．09．设椭圆的左、右焦点分别为，其焦距为，点在椭圆的内部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．10．刍薨（），中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广.刍，草也.薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”，如图，为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为（）A．24 B． C．64 D．11．已知函数图象如图，是的导函数，则下列数值排序正确的是（）A．B．C．D．12．对变量进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数若函数有3个零点，则实数a的取值范围为____.14．已知函数是上奇函数，且当时，则__________．15．已知是定义在上的函数,若在定义域上恒成立，而且存在实数满足：且，则实数的取值范围是_______16．已知函数，存在唯一的负数零点，则实数的取值范围是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）已知，且，求的值.18．（12分）某教师调查了名高三学生购买的数学课外辅导书的数量，将统计数据制成如下表格：男生女生总计购买数学课外辅导书超过本购买数学课外辅导书不超过本总计（Ⅰ）根据表格中的数据，是否有的把握认为购买数学课外辅导书的数量与性别相关；（Ⅱ）从购买数学课外辅导书不超过本的学生中，按照性别分层抽样抽取人，再从这人中随机抽取人询问购买原因，求恰有名男生被抽到的概率.附：，.19．（12分）为了研究黏虫孵化的平均温度（单位：）与孵化天数之间的关系，某课外兴趣小组通过试验得到以下6组数据：他们分别用两种模型①，②分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图：经过计算，，，.（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）残差绝对值大于1的数据被认为是异常数据，需要剔除，剔除后应用最小二乘法建立关于的线性回归方程.（精确到）.参考公式：线性回归方程中，，.20．（12分）把一根长度为5米的绳子拉直后在任意位置剪断，则剪得两段的长都不小于1米的概率为________．21．（12分）已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围.22．（10分）已知的展开式中前三项的系数成等差数列.(1)求展开式的二项式系数的和；(2)求展开式中含的项.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

求导后代入即可.【题目详解】易得,故函数在点处的导数是.故选：C【题目点拨】本题主要考查了导数的运算,属于基础题.2、C【解题分析】分析：直接利用微积分基本定理求解即可.详解：，故选C.点睛：本题主要考查微积分基本定理的应用，特殊角的三角函数，意在考查对基础知识的掌握情况，考查计算能力，属于简单题.3、B【解题分析】

根据离心率公式计算．【题目详解】由题意，∴，解得．故选B．【题目点拨】本题考查双曲线的离心率，解题关键是掌握双曲线的标准方程，由方程确定．4、A【解题分析】

先根据球和正四棱锥的内接关系求出半径与边长的关系式，写出体积公式，利用n元均值不等式可求最大值.【题目详解】设正四棱锥的底面边长为，高为，则有，解得；正四棱锥的体积，当且仅当时取到最大值，故选A.【题目点拨】本题主要考查四棱锥体积的求解和n元均值不等式的应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.5、B【解题分析】

先根据幂函数的定义得到k=1,再根据幂函数y=kxa过点（4，2）求出a的值，即得k–a的值.【题目详解】∵幂函数y=kxa过点（4，2），∴2=k×4a，且k=1，解得k=1，a=，∴k–a=1–．故选B．【题目点拨】本题主要考查幂函数的概念和解析式的求法，考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.6、D【解题分析】

对函数求导，求出函数y=fx的极值点，分析函数的单调性，再将极值与端点函数值比较大小，找出其中最大的作为函数y=f【题目详解】∵fx=x3-12x+8x-3,-2-2-2,222,3f+0-0+f↗极大值↘极小值↗所以，函数y=fx的极大值为f-2=24又f-3=17，f3=-1，因此，函数y=fx故选：D。【题目点拨】本题考查利用导数求函数在定区间上的最值，解题时严格按照导数求最值的基本步骤进行，考查计算能力，属于中等题。7、D【解题分析】

模拟程序图框的运行过程，得出当时，不再运行循环体，直接输出S值．【题目详解】模拟程序图框的运行过程，得S=0,n=2,n<8满足条件，进入循环：S=满足条件，进入循环：进入循环：不满足判断框的条件，进而输出s值，该程序运行后输出的是计算：．故选D．【题目点拨】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．根据程序框图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．8、D【解题分析】

求出函数的导数，结合条件，可求出实数的值．【题目详解】因为，所以，解得，故选D．【题目点拨】本题考查导数的计算，考查导数的运算法则以及基本初等函数的导数，考查运算求解能力，属于基础题．9、B【解题分析】由题设可得，即，解之得，即；结合图形可得，即，应选答案B。点睛：解答本题的关键是建构不等式（组），求解时先依据题设条件，将点代入椭圆方程得到，即，解之得，从而求得，然后再借助与椭圆的几何性质，建立了不等式，进而使得问题获解。10、B【解题分析】茅草面积即为几何体的侧面积，由题意可知该几何体的侧面为两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形．其中，等腰梯形的上底长为4，下底长为8，高为；等腰三角形的底边长为4，高为．故侧面积为．即需要的茅草面积至少为．选B．11、C【解题分析】结合函数的图像可知过点的切线的倾斜角最大，过点的切线的倾斜角最小，又因为点的切线的斜率，点的切线斜率，直线的斜率，故，应选答案C．点睛：本题旨在考查导数的几何意义与函数的单调性等基础知识的综合运用．求解时充分借助题设中所提供的函数图形的直观，数形结合进行解答．先将经过两切点的直线绕点逆时针旋转到与函数的图像相切，再将经过两切点的直线绕点顺时针旋转到与函数的图像相切，这个过程很容易发现，从而将问题化为直观图形的问题来求解．12、A【解题分析】

根据残差的特点，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．即可得到答案．【题目详解】用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．故选：．【题目点拨】本题考查了残差分析，了解残差分析的原理及特点是解决问题的关键，本题属基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

将函数有3个零点转化为与有三个交点，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可求得实数的取值范围．【题目详解】作出的函数图象如图所示：画出函数的图象，由图象可知当时，有1零点，当时，有3个零点；当或时，有2个零点。故答案为.【题目点拨】本题考查根的存在性及根的个数判断，将函数有3个零点转化为与有三个交点是关键，考查等价转化思想与数形结合思想的综合运用，属于中档题.14、【解题分析】分析：先求，再根据奇函数得.详解：因为，因为函数是上奇函数，所以点睛：已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式.15、【解题分析】

由函数定义域及复合函数的关系可得，解得，设，则且，所以函数图像上存在两点关于直线对称，由与抛物线联立，解得中点在得，从而在有两不等的实数根，利用二次函数根的分布列不等式组求解即可.【题目详解】因为，，所以时满足；设，则且，所以函数图像上存在两点关于直线对称，令由设、为直线与抛物线的交点，线段中点为，所以，所以，而在上，所以，从而在有两不等的实数根，令，所以。【题目点拨】本题主要考查了二次型复合函数的性质，考查了转化与化归的能力，属于难题.16、【解题分析】

对，，三种情况分别讨论可得到取值范围.【题目详解】当时，而时，，则零点在右段函数取得，故时，，解得；当时，不成立；当时，负零点在左端点取得，于是时，，成立；综上所述，实数的取值范围是.【题目点拨】本题主要考查分段函数含参零点问题，意在考查学生的分类讨论能力，计算能力，分析能力，难度较大.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)，；(Ⅱ).【解题分析】分析：（1）根据两角和差公式将表达式化一，进而得到周期和单调区间；（2），通过配凑角得到，展开求值即可.详解：（Ⅰ），，令，，函数的单调递减区间为.（Ⅱ），,，，则，.点睛：这个题目考查了三角函数的化一求值，两角和差公式的化简，配凑角的应用；三角函数的求值化简，常用的还有三姐妹的应用，一般，，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知一求三.18、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解题分析】试题分析：（I）根据表格数据利用公式：求得的值，与邻界值比较，即可得到结论；（II）利用列举法，确定基本事件的个数以及满足条件的事件个数，利用古典概型概率公式可求出恰有名男生被抽到的概率.试题解析：（Ⅰ）的观测值，故有的把握认为购买数学课外辅导书的数量与性别有关.（Ⅱ）依题意，被抽到的女生人数为，记为，；男生人数为，记为，，，，则随机抽取人，所有的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个.满足条件的有，，，，，，，，，，，，共个，故所求概率为19、（1）应该选择模型①；（2）【解题分析】分析：（1）根据残差图分析，得出模型①残差波动小，故模型①拟合效果好；（2）剔除异常数据，利用平均数公式计算剩下数据的平均数，可得样本中心点的坐标，从而求可得公式中所需数据，求出，再结合样本中心点的性质可得，进而可得回归方程.详解：（1）应该选择模型①（2）剔除异常数据，即组号为4的数据，剩下数据的平均数；，，，.所以关于的线性回归方程为.点睛：本题主要考残差图的应用和线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20、【解题分析】

根据与长度有关的几何概型的计算公式，即可求出结果.【题目详解】“把一根长度为5米的绳子拉直后在任意位置剪断，则剪得两段的长都不小于1米”，则能剪断的区域长度为：，故所求的概率为：.故答案为：.【题目点拨】本题主要考查与长度有关的几何概型，熟记计算公式即可，属于基础题型.21、（1）（2）【解题分析】试题分析：（1）将点代入椭圆方程,结合关系式和,组成方程组,可解得的值,从而可得椭圆的方程.（2）由题意分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为.将直线方程和椭圆方程联立,消去整理为关于的一元二次方程.由题意可知其判别式大于0,可得的范围.设，的坐标分别为，.由韦达定理可得的值.根据数量积公式用表示.根据的范围求得范围.试题解析：解：（1）由题意得解得，．椭圆的方程为．（2）由题意显然直线的斜率存在，设直线的方程为，由得.直线与椭圆交于不同的两点，，，解得.设，的坐标分别为，，则，，，．．，．