2024届浙江省湖州市安吉县上墅私立高级中学高二数学第二学期期末综合测试试题含解析

2024届浙江省湖州市安吉县上墅私立高级中学高二数学第二学期期末综合测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．随机变量，且，则（）A．64 B．128 C．256 D．322．已知直线与双曲线分别交于点，若两点在轴上的射影恰好是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为（）A． B． C．4 D．3．已知，则（）A． B．186 C．240 D．3044．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a的取值范围为()A．a≥3B．a>3C．a≤3D．a<35．函数(e=2.71828…是自然对数的底数)一定存在零点的区间是（）A．(-1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，e)6．读下面的程序：上面的程序在执行时如果输入6，那么输出的结果为()A．6 B．720 C．120 D．50407．若等差数列的前项和满足，，则（）A． B．0 C．1 D．38．若复数（）不是纯虚数，则（）A． B． C． D．且9．已知函数在区间上是单调递增函数，则的取值范围为（）A． B． C． D．10．设是定义在上的奇函数，且,当时，有恒成立，则不等式的解集是（）A．∪B．∪C．∪D．∪11．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的（）A．5 B．4 C．3 D．912．已知函数的图象关于点对称，则在上的值域为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若向量，，，，且，则与的夹角等于________14．的展开式中常数项为______．15．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为_________________.16．若，，且，则的最小值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）（1）已知，求复数；（2）已知复数满足为纯虚数，且，求复数．18．（12分）已知函数，.（Ⅰ）求过原点，且与函数图象相切的切线方程；（Ⅱ）求证：当时，.19．（12分）在二项式的展开式中。（1）求该二项展开式中所有项的系数和的值；（2）求该二项展开式中含项的系数；（3）求该二项展开式中系数最大的项。20．（12分）如图为某一几何体的展开图，其中是边长为的正方形，，点及共线.(1)沿图中虚线将它们折叠起来，使四点重合，请画出其直观图，试问需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长为的正方体?(2)设正方体的棱的中点为，求平面与平面所成二面角(锐角)的余弦值.(3)在正方体的边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21．（12分）已知函数．（1）当时，判断函数的单调性；（2）若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围，并证明．22．（10分）已知椭圆（a＞b＞0）经过点，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知A（0，b），B（a，0），点P是椭圆C上位于第三象限的动点，直线AP、BP分别将x轴、y轴于点M、N，求证：|AN|•|BM|为定值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

根据二项分布期望的计算公式列方程，由此求得的值，进而求得方差，然后利用方差的公式，求得的值.【题目详解】随机变量服从二项分布，且，所以，则，因此.故选A.【题目点拨】本小题主要考查二项分布期望和方差计算公式，属于基础题.2、A【解题分析】

由直线与双曲线联立，可知x=为其根，整理可得.【题目详解】解：由．，两点在轴上的射影恰好是双曲线的两个焦点，．．故选：．【题目点拨】本题考查双曲线的离心率，双曲线的有关性质和双曲线定义的应用，属于中档题．3、A【解题分析】

首先令，这样可以求出的值，然后把因式分解，这样可以变成两个二项式的乘积的形式，利用两个二项式的通项公式，就可以求出的会下，最后可以计算出的值.【题目详解】令，由已知等式可得：，，设的通项公式为：，则常数项、的系数、的系数分别为：；设的通项公式为：，则常数项、的系数、的系数分别为：，，所以，故本题选A.【题目点拨】本题考查了二项式定理的应用，正确求出通项公式是解题的关键.4、A【解题分析】∵f(x)=x3−ax−1，∴f′(x)=3x2−a，要使f(x)在(−1,1)上单调递减，则f′(x)⩽0在x∈(−1,1)上恒成立，则3x2−a⩽0，即a⩾3x2，在x∈(−1,1)上恒成立，在x∈(−1,1)上，3x2<3，即a⩾3，本题选择A选项.5、B【解题分析】

根据零点存在性定理，即可判断出结果.【题目详解】因为，所以，，，所以，由零点存在定理可得：区间内必有零点.故选B【题目点拨】本题主要考查判断零点所在的区间，熟记零点的存在定理即可，属于基础题型.6、B【解题分析】

执行程序，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解输出的结果，得到答案.【题目详解】由题意，执行程序，可得：第1次循环：满足判断条件，；第2次循环：满足判断条件，；第3次循环：满足判断条件，；第4次循环：满足判断条件，；第5次循环：满足判断条件，；第6次循环：满足判断条件，；不满足判断条件，终止循环，输出，故选B.【题目点拨】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算输出，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，逐次计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7、B【解题分析】根据等差数列的性质仍成等差数列，则，则，，选B.8、A【解题分析】

先解出复数（）是纯虚数时的值，即可得出答案．【题目详解】若复数（）是纯虚数，根据纯虚数的定义有：，则复数（）不是纯虚数，故选A【题目点拨】本题考查虚数的分类，属于基础题．9、A【解题分析】分析：由函数在区间上是单调递增函数，得，进而分离参数得；构造函数，研究函数的值域特征，进而得到的单调性，最后求得的取值范围。详解：因为在区间上是单调递增函数所以，而在区间上所以，即令，则分子分母同时除以，得令，则在区间上为增函数所以所以在区间上恒成立即在区间上恒成立所以函数在区间上为单调递减函数所以所以选A点睛：本题考查了函数与导函数的综合应用，分离参数、构造函数法在解决单调性、最值问题中的应用，综合性强，对分析问题、解决问题的能力要求较高，属于难题。10、B【解题分析】试题分析：因为当时，有恒成立，所以恒成立，所以在内单调递减．因为,所以在内恒有；在内恒有．又因为是定义在上的奇函数，所以在内恒有；在内恒有．又因为不等式的解集，即不等式的解集，由上分析可得，其解集为∪，故应选．考点：1、函数的基本性质；2、导数在研究函数的单调性中的应用．【思路点睛】本题主要考查了函数的基本性质和导数在研究函数的单调性中的应用，属中档题．其解题的一般思路为：首先根据商函数求导法则可知化为；然后利用导数的正负性可判断函数在内的单调性；再由可得函数在内的正负性；最后结合奇函数的图像特征可得，函数在内的正负性，即可得出所求的解集．11、B【解题分析】

由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出，分析循环中各变量的变化情况，可得答案.【题目详解】当时，，，满足进行循环的条件；当时，，，满足进行循环的条件；当时，，，满足进行循环的条件；当时，，，不满足进行循环的条件；故选：B【题目点拨】本题主要考查程序框图，解题的关键是读懂流程图各个变量的变化情况，属于基础题.12、D【解题分析】由题意得，函数的图象关于点对称，则，即，解得，所以，则，令，解得或，当，则，函数单调递减，当，则，函数单调递增，所以，，所以函数的值域为，故选D.点睛：本题考查了函数的基本性质的应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，其中解答中根据函数的图象关于点对称，列出方程组，求的得值是解得关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由平面向量数量积的运算的：，即与的夹角等于【题目详解】由，，所以，，，所以，即与的夹角等于，故答案为：【题目点拨】本题考查向量数量积的坐标运算、向量的夹角公式、向量模的求法，属于基础题。14、15【解题分析】

把展开，求的系数，但无项，所以常数项为展开式中常数项乘以3.【题目详解】展开式中通项为，当时，；由于，无正整数解，所以常数项为15，填15.【题目点拨】本题考查二项式定理的特定项问题，往往是根据二项展开式的通项和所求项的联系解题，属于基础题，注意运算的准确度．15、【解题分析】

先求出截面圆的半径，再算截面面积。【题目详解】截面圆半径为，截面面积为。【题目点拨】先求出截面圆的半径，再算截面面积。16、【解题分析】分析：由对数运算和换底公式，求得的关系为，根据基本不等式确定详解：因为，所以，所以，即所以当且仅当，即，此时时取等号所以最小值为点睛：本题考查了对数的运算和对数换底公式的综合应用，根据“1”的代换联系基本不等式求最值，综合性强，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）或或.【解题分析】

（1）设复数，根据复数的运算法则和复数相等得出关于、的方程组，解出这两个未知数，即可得出复数；（2）设复数，根据为纯虚数和列出关于、的方程组，解出这两个未知数，可得出复数.【题目详解】（1）设复数，由，得，根据复数相等得，解得，因此，；（2）设复数，则，由题意可得，.，得，所以有，解得或.因此，或或.【题目点拨】本题考查复数的求解，常将复数设为一般形式，根据复数的相关运算列举出方程组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.18、(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析.【解题分析】分析：（1）设出切点，求导，得到切线斜率，由点斜式得到切线方程；（2）先证得，再证即可，其中证明过程，均采用构造函数，求导研究单调性，求得最值大于0即可.详解：（Ⅰ）设切点，则，，，切线方程为：，即：，将原点带入得：，，切线方程为：.（Ⅱ）设，，，则.当时，，当时，，则，所以，即：，.设，，，，，当时，，当时，，则，所以，即：，，所以.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.19、（1）（2）（3）【解题分析】

（1）令，即可得该二项展开式中所有项的系数和的值；（2）在通项公式中，令的幂指数等于4，求得的值，可得含项的系数；（3）根据，求得的值，可得结论；【题目详解】（1）令，可得该二项展开式中所有项的系数和的值为；（2）二项展开式中，通项公式为，令，求得，故含项的系数为．（3）第项的系数为，由，求得，故该二项展开式中系数最大的项为．【题目点拨】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．20、（1）直观图见解析，3个；（2）；（3）不存在．【解题分析】

（1）先还原为一个四棱锥，在正方体中观察；（2）延长与延长线交于点，连接，则为平面与平面的交线，作出二面角的平面角，计算即可；（3）假设点存在，作出点到平面的垂线段，然后计算的长，若，则点在边上，否则不在边上．【题目详解】（1）图1图1左边是所求直观图，放到图1右边正方体中，观察发现要3个这样的四棱锥才能拼成一个正方体．（2）图2如图（2）延长与延长线交于点，连接，则为平面与平面的交线，作于，连接，∵平面，平面，∴，又，∴平面，∴，∴是二面角的平面角．∵，是中点，即，∴是中点，正方体棱长为6，∴，，中，，．（3）假设存在点满足题意，图3如图3，作于，∵平面，∴，而，∴平面．的长就是点到平面的距离．．∴，由，得，∴∽，∴，，不在线段上，∴假设错误，满足题意的点不存在．【题目点拨】本题考查多面体的展开图，考查二面角、点到平面的距离．立体几何中求角时要作出这个角的“平面角”，并证明，然后计算．点到平面的距离可能通过作以平面的垂线段计算，也可通过体积法求解．21、（1）在上单调递增；（2）详见解析.【解题分析】

（1）对求导，根据的符号得出的单调性；（2）由题意可知有两解，求出的过原点的切线斜率即可得出的范围，设，根据分析法构造关于的