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文档简介
重庆市永川区2024届数学高二第二学期期末复习检测试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.一个正方体的展开如图所示,点,,为原正方体的顶点,点为原正方体一条棱的中点,那么在原来的正方体中,直线与所成角的余弦值为()A. B. C. D.2.存在实数,使成立的一个必要不充分条件是()A. B. C. D.3.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时,其运行速度是变化的,速度的变化服从面积守恒规律,即卫星的向径(卫星至地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c.李明根据所学的椭圆知识,得到下列结论:①卫星向径的最小值为a-c,最大值为a+c;②卫星向径的最小值与最大值的比值越小,椭圆轨道越扁;③卫星运行速度在近地点时最小,在远地点时最大其中正确结论的个数是A.0 B.1 C.2 D.34.若满足约束条件则的最大值为()A.5 B. C.4 D.35.在区间上任取两个实数a,b,则函数无零点的概率为()A. B. C. D.6.若实数a,b满足a+b<0,则()A.a,b都小于0B.a,b都大于0C.a,b中至少有一个大于0D.a,b中至少有一个小于07.已知函数,当取得极值时,x的值为()A. B. C. D.8.已知曲线在点处的切线与直线垂直,则实数的值为()A.-4 B.-1 C.1 D.49.()A. B. C. D.10.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件“取到的2个数之和为偶数”,事件“取到的2个数均为偶数”,则()A. B. C. D.11.若变量,满足约束条件,则的取值范围是()A. B.C. D.12.已知满足,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知向量,,若,则_________.14.由曲线与围成的封闭图形的面积是__________.15.等差数列中,若,则___________.16.已知直线,,若与平行,则实数的值为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某学校研究性学习小组调查学生使用智能手机对学习成绩的影响,部分统计数据如下表:使用智能手机不使用智能手机总计学习成绩优秀4812学习成绩不优秀16218总计201030(Ⅰ)根据以上列联表判断,能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习成绩有影响?(Ⅱ)从学习成绩优秀的12名同学中,随机抽取2名同学,求抽到不使用智能手机的人数的分布列及数学期望.参考公式:,其中参考数据:0.050,。0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82818.(12分)已知,且.(1)求证:;(2)当时,不等式恒成立,求的取值范围.19.(12分)已知的展开式中第三项与第四项二项式系数之比为.(1)求;(2)请答出展开式中第几项是有理项,并写出推演步骤(有理项就是的指数为整数的项).20.(12分)在平面四边形中,,,,.(1)求;(2)若,求四边形的面积.21.(12分)如图四棱锥中,底面是正方形,,,且,为中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值.22.(10分)已知的展开式中有连续三项的系数之比为1︰2︰3,(1)这三项是第几项?(2)若展开式的倒数第二项为112,求x的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】分析:先还原正方体,将对应的字母标出,与所成角等于与所成角,在三角形中,再利用余弦定理求出此角的余弦值即可.详解:还原正方体,如图所示,设,则,与所成角等于与所成角,余弦值为,故选D.点睛:本题主要考查异面直线所成的角以及空间想象能力,属于中档题题.求异面直线所成的角的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到,异面直线所成的角,然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解,如果利用余弦定理求余弦,因为异面直线所成的角是直角或锐角,所以最后结果一定要取绝对值.2、D【解题分析】分析:先求成立充要条件,即的最小值,再根据条件之间包含关系确定选择.详解:因为存在实数,使成立,所以的最小值,因为,所以,因为,因此选D.点睛:充分、必要条件的三种判断方法.1.定义法:直接判断“若则”、“若则”的真假.并注意和图示相结合,例如“⇒”为真,则是的充分条件.2.等价法:利用⇒与非⇒非,⇒与非⇒非,⇔与非⇔非的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.3.集合法:若⊆,则是的充分条件或是的必要条件;若=,则是的充要条件.3、C【解题分析】
根据椭圆的焦半径的最值来判断命题①,根据椭圆的离心率大小与椭圆的扁平程度来判断命题②,根据题中“速度的变化服从面积守恒规律”来判断命题③。【题目详解】对于命题①,由椭圆的几何性质得知,椭圆上一点到焦点距离的最小值为a-c,最大值为a+c,所以,卫星向径的最小值为a-c,最大值为a+c,结论①正确;对于命题②,由椭圆的几何性质知,当椭圆的离心率e=ca越大,椭圆越扁,卫星向径的最小值与最大值的比值a-ca+c对于命题③,由于速度的变化服从面积守恒规律,即卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等,当卫星越靠近远地点时,向径越大,当卫星越靠近近地点时,向径越小,由于在相同时间扫过的面积相等,则向径越大,速度越小,所以,卫星运行速度在近地点时最大,在远地点时最小,结论③错误。故选:C。【题目点拨】本题考查椭圆的几何性质,考查椭圆几何量对椭圆形状的影响,在判断时要充分理解这些几何量对椭圆形状之间的关系,考查分析问题的能力,属于中等题。4、A【解题分析】
由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.【题目详解】由约束条件作出可行域如图,
联立,可得,
化目标函数为,
由图可知,当直线过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为.
故选:A.【题目点拨】本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.5、D【解题分析】
在区间上任取两个实数a,b,其对应的数对构成的区域为正方形,所求事件构成的区域为梯形区域,利用面积比求得概率.【题目详解】因为函数无零点,所以,因为,所以,则事件函数无零点构成的区域为梯形,在区间上任取两个实数a,b所对应的点构成的区域为正方形,所以函数无零点的概率.【题目点拨】本题考查几何概型计算概率,考查利用面积比求概率,注意所有基本事件构成的区域和事件所含基本事件构成的区域.6、D【解题分析】假设a,b都不小于0,即a≥0,b≥0,则a+b≥0,这与a+b<0相矛盾,因此假设错误,即a,b中至少有一个小于0.7、B【解题分析】
先求导,令其等于0,再考虑在两侧有无单调性的改变即可【题目详解】解:,,的单调递增区间为和,减区间为,在两侧符号一致,故没有单调性的改变,舍去,故选:B.【题目点拨】本题主要考查函数在某点取得极值的性质:若函数在取得极值.反之结论不成立,即函数有,函数在该点不一定是极值点,(还得加上在两侧有单调性的改变),属基础题.8、C【解题分析】
先求出在点处的切线斜率,然后利用两直线垂直的条件可求出的值.【题目详解】由题意,,,则曲线在点处的切线斜率为4,由于切线与直线垂直,则,解得.故选C.【题目点拨】本题考查了导数的几何意义,考查了两直线垂直的性质,考查了计算能力,属于基础题.9、C【解题分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简,即可得到答案.【题目详解】由,故选C.【题目点拨】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.10、B【解题分析】两个数之和为偶数,则这两个数可能都是偶数或都是奇数,所以。而,所以,故选B11、B【解题分析】分析:根据题意,将化简成斜率的表达形式;所以就是求可行域内与连线斜率的取值范围加1,。详解:,原式表示可行域内的点与连线的斜率加1。由不等式组成的可行域可表示为:由图可知,斜率最小值为斜率最大值为所以斜率的取值范围为所以所以选B点睛:本题考查了斜率的定义,线性规划的简单应用。关键是掌握非线性目标函数为分式型时的求法,属于中档题。12、A【解题分析】,选A.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】分析:根据,建立方程求出m,详解:向量,,且,,解得,,故答案为.点睛:本题考查两个向量共线的性质,两个向量的线性运算以及向量模的计算,属于基础题.14、1【解题分析】分析:由于两函数都是奇函数,因此只要求得它们在第一象限内围成的面积,由此求得它们在第一象限内交点坐标,得积分的上下限.详解:和的交点坐标为,∴.故答案为1.点睛:本题考查用微积分定理求得两函数图象围成图形的面积.解题关键是确定积分的上下限及被积函数.15、10.【解题分析】
直接由等差数列的通项公式结合已知条件列式求解的值.【题目详解】在等差数列中,由,,,且,所以,所以.故答案为:10.【题目点拨】本题考查等差数列的通项公式,考查用基本量法求.16、【解题分析】
根据两直线平行,列出有关的等式和不等式,即可求出实数的值.【题目详解】由于与平行,则,即,解得.故答案为:.【题目点拨】本题考查利用两直线平行求参数,解题时要熟悉两直线平行的等价条件,并根据条件列式求解,考查运算求解能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)见解析.【解题分析】分析:(1)由列联表和卡方的计算公式,得的字,即可作出判断;(2)根据题意,可取的值为,求解随机变量取每个值的概率,列出分布列,利用期望的公式即可求解数学期望.详解:(1)由列联表可得所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为使用智能手机对学习有影响.(2)根据题意,可取的值为,,.,,所以的分布列是的数学期望是.点睛:本题主要考查了独立性检验的应用和随机变量的分布列和数学期望,解答本题,首先要准确独立性检验的计算公式作出准确计算,利用组合数的公式求解随机变量的取值对应的概率,得到分布列和求得数学期望,本题属中等难度的题目,计算量不是很大,能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.18、(1)见证明;(2).【解题分析】
(1)由柯西不等式即可证明;(2)可先计算的最小值,再分,,三种情况讨论即可得到答案.【题目详解】解:(1)由柯西不等式得.∴,当且仅当时取等号.∴;(2),要使得不等式恒成立,即可转化为,当时,,可得,当时,,可得,当时,,可得,∴的取值范围为:.【题目点拨】本题主要考查柯西不等式,均值不等式,绝对值不等式的综合应用,意在考查学生的分析能力,计算能力,分类讨论能力,难度中等.19、(1)(2)有理项是展开式的第1,3,5,7项,详见解析【解题分析】
根据二项式展开式的通项公式中的二项式系数求出,再由通项求出有理项.【题目详解】解:(1)由题设知,解得.(2)∵,∴展开式通项,∵且,∴只有时,为有理项,∴有理项是展开式的第1,3,5,7项.【题目点拨】本题考查二项式的展开式的特定项系数和特定项,属于中档题.20、(1)(2)【解题分析】
(1)在中由余弦定理得,再由正弦定理能求出;(2),四边形ABCD的面积,由此能求出结果.【题目详解】(1)在平面四边形中,,,,.中,由余弦定理可得:,∵,∴.(2)中,,【题目点拨】本题考查角的正弦值、四边形面积的求法,考查正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.21、(1)证明见解析;(2).【解题分析】
(1)推导出,,从而平面,进而.求出,由此能证明平面.(2)以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角的正弦值.【题目详解】(1)∵底面为正方形,∴,又,,∴平面,∴.同理,,∴平面.(2)建立如图的空间直角坐标系,不妨设正方形的边长为2.则,,,设为平面的一个法向量,又,,,令,,得同理是平面的一个法向量,则.∴二面角的余弦值为.【题目点拨】本题考查线面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系
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