安徽省淮北师范大学附中2024届高二数学第二学期期末达标测试试题含解析

安徽省淮北师范大学附中2024届高二数学第二学期期末达标测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设复数满足，则（）A． B． C． D．2．函数的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称，则可以是（）A． B． C． D．3．定义运算＝ad－bc，若复数z满足＝－2，则（）A．1－i B．1＋i C．－1＋i D．－1－i4．函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．35．设是等差数列.下列结论中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则6．若随机变量服从正态分布，则（）参考数据：若，则,，A．0.84 B．0.9759 C．0.8185 D．0.68267．若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（）A． B． C． D．8．的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中项的系数为（）A．2 B．8 C． D．-179．已知函数的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是+2,则的值等于()A．0 B．1 C． D．310．已知平面向量，的夹角为，且，，则（）A． B． C． D．11．下列求导运算的正确是（）A．为常数 B．C． D．12．已知函数，若，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，且，则的最小值是______．14．随机变量，变量，则__________．15．在xOy平面上，将双曲线的一支及其渐近线和直线、围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周所得的几何体为，过作的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出体积为________16．若将函数表示为其中，，，…，为实数，则＝______________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知四棱锥的底面为菱形，且，，，与相交于点.（1）求证：底面；（2）求直线与平面所成的角的值；（3）求平面与平面所成二面角的值.（用反三角函数表示）18．（12分）已知函数有两个零点，.（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）证明：.19．（12分）已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，坐标原点为，.（1）求抛物线的方程；（2）当以为直径的圆与轴相切时，求直线的方程.20．（12分）已知椭圆.（1）求椭圆C的离心率e；（2）若，斜率为的直线与椭圆交于、两点，且，求的面积.21．（12分）已知函数，.（1）若在处的切线与在处的切线平行，求实数的值；（2）若，讨论的单调性；（3）在（2）的条件下，若，求证：函数只有一个零点，且．22．（10分）为了探究车流量与的浓度是否相关，现采集到华中某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与的数据如表：时间星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日车流量（万辆）1234567的浓度（微克/立方米）28303541495662（1）求关于的线性回归方程；（提示数据：）（2）（I）利用（1）所求的回归方程，预测该市车流量为12万辆时的浓度；（II）规定：当一天内的浓度平均值在内，空气质量等级为优；当一天内的浓度平均值在内，空气质量等级为良，为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量不超过多少万辆？（结果以万辆为单位，保留整数）参考公式：回归直线的方程是，其中，.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】分析：先根据复数除法得，再根据复数的模求结果.详解：因为，所以,因此选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为2、B【解题分析】

求出函数图象平移后的函数解析式，再利用函数图象关于原点对称，即，求出，比较可得.【题目详解】函数的图象向右平移个单位后得到.此函数图象关于原点对称，所以.所以.当时，．故选B.【题目点拨】由的图象，利用图象变换作函数的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位.3、D【解题分析】分析：直接利用新定义，化简求解即可.详解：由＝ad－bc，则满足＝－2，可得：，，则.故选D.点睛：本题考查新定义的应用，复数的除法运算法则的应用，以及共轭复数，考查计算能力.4、C【解题分析】，如图，由图可知，两个图象有2个交点，所以原函数的零点个数为2个，故选C．5、C【解题分析】

先分析四个答案，A举一反例，而，A错误，B举同样反例，，而，B错误，D选项，故D错，下面针对C进行研究，是等差数列，若，则设公差为，则，数列各项均为正，由于，则，故选C.考点：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重点是对知识本质的考查.6、A【解题分析】

根据题意可知，，所以，由公式即可求出．【题目详解】根据题意可知，，所以，故选A．【题目点拨】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，意在考查数形结合思想，化归与转化思想的应用．7、C【解题分析】点是曲线上任意一点,所以当曲线在点P的切线与直线平行时，点P到直线的距离的最小，直线的斜率为1，由，解得或（舍）.所以曲线与直线的切点为.点到直线的距离最小值是.选C.8、D【解题分析】

令得各项系数和，可求得，再由二项式定理求得的系数，注意多项式乘法法则的应用．【题目详解】令，可得，，在的展开式中的系数为：．故选D．【题目点拨】本题考查二项式定理，在二项展开式中，通过对变量适当的赋值可以求出一些特定的系数，如令可得展开式中所有项的系数和，再令可得展开式中偶数次项系数和与奇数次项系数和的差，两者结合可得奇数项系数和以及偶数项系数和．9、D【解题分析】

根据导数定义，求得的值；根据点在切线方程上，求得的值，进而求得的值。【题目详解】点M(1,f(1))在切线上，所以根据导数几何意义，所以所以所以选D【题目点拨】本题考查了导数的几何意义及点在曲线上的意义，属于基础题。10、C【解题分析】分析：根据向量的运算，化简，由向量的数量积定义即可求得模长．详解：平面向量数量积，所以所以选C点睛：本题考查了向量的数量积及其模长的求法，关键是理解向量运算的原理，是基础题．11、B【解题分析】

根据常用函数的求导公式.【题目详解】因为（为常数），，，，所以，选项B正确.【题目点拨】本题考查常用函数的导数计算.12、A【解题分析】

代入特殊值对选项进行验证排除，由此得出正确选项.【题目详解】若，符合题意，由此排除C,D两个选项.若，则不符合题意，排除B选项.故本小题选A.【题目点拨】本小题主要考查分段函数函数值比较大小，考查特殊值法解选择题，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】

直接将代数式4x+y与相乘，利用基本不等式可求出的最小值．【题目详解】由基本不等式可得，当且仅当，等号成立，因此的最小值为1，故答案为：1．【题目点拨】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14、.【解题分析】分析：先根据二项分布得,再根据，得详解：因为，所以，因为，所以点睛：二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式.15、.【解题分析】分析：由已知中过（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出Ω的体积．详解：在xOy平面上，将双曲线的一支及其渐近线和直线y=0，y=4围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．则直线y=a与渐近线交于一点A（，a）点，与双曲线的一支交于B（，a）点，记D绕y轴旋转一周所得的几何体为Ω．过（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，则截面面积S=，利用祖暅原理得Ω的体积相当于底面面积为9π高为4的圆柱的体积，∴Ω的体积V=9π×4=36π，故答案为36π点睛：本题考查的知识点是类比推理，其中利用祖暅原理将不规则几何体的体积转化为底面面积为9π高为4的圆柱的体积，是解答的关键．祖暅原理也可以成为中国的积分，将图形的横截面的面积在体高上积分，得到几何体的体积.16、10【解题分析】法一：由等式两边对应项系数相等．即：．法二：对等式：两边连续对x求导三次得：，再运用赋值法，令得：，即三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）；（3）【解题分析】

（1）由已知中四棱锥P−ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，PB＝PD＝AB＝2，PA＝PC，AC与BD相交于点O，根据平行四边形两条对角线互相平分及等腰三角形三线合一，结合线面垂直的判定定理，我们易得到结论；

（2）以O为坐标原点，建立坐标系，分别求出各顶点坐标，进而求出直线

PB的方向向量与平面PCD的法向量，代入线面夹角的向量法公式，即可求出答案；（3）求出平面的法向量，代入面面夹角的向量法公式，即可求出答案.【题目详解】（1）证明：因为ABCD为菱形，

所以O为AC，BD的中点

因为PB＝PD，PA＝PC，

所以PO⊥BD，PO⊥AC

所以PO⊥底面ABCD；

（2）解：因为ABCD为菱形，所以AC⊥BD，

建立如图所示空间直角坐标系

又∠ABC＝60°，PA＝AB＝2

得，

所以则，

设平面PCD的法向量

有，所以，令

得，

，

直线与平面所成的角的值为；（3）设平面的法向量,因为

有，所以，令

得，，

由图知，平面与平面所成二面角为钝角，.【题目点拨】本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，其中选择合适的点及坐标轴方向，建立空间坐标系，将问题转化为一个向量问题是解答此类问题的关键.18、（Ⅰ）（Ⅱ）见解析【解题分析】分析：（1）先令，再求出，再研究函数的图像得到a的取值范围.(2)利用分析法证明不等式，再转化为证明.详解：（Ⅰ）由题意，设，则，当时，函数单调递减，又，故在区间上，在区间上.所以在区间上函数单调递增，在区间上函数单调递减.故.又，当时，，所以.（Ⅱ）不妨设，由（Ⅰ）可知.设函数，要证，只需证即可.又，故，由（Ⅰ）可知函数在区间上单调递增，故只需证明，又，即.设，，又，.所以在区间上单调递减，，所以成立，故.点睛：（1）本题主要考查利用导数研究函数图像和性质，考查利用导数证明不等式和分析法证明不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)j解答本题的关键有三点，其一是转化为，其二是转化为，其三是证明在区间上单调递减.19、（1）；（2）或【解题分析】试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力以及数形结合思想.第一问，设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到y1＋y2，y1y2，，代入到中解出P的值；第二问，结合第一问的过程，利用两种方法求出的长，联立解出m的值，从而得到直线的方程.试题解析：（Ⅰ）设l：x＝my－2，代入y2＝2px，得y2－2pmy＋4p＝1．（*）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则．因为，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x．…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）（*）化为y2－4my＋2＝1．y1＋y2＝4m，y1y2＝2．…6分设AB的中点为M，则|AB|＝2xm＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4，①又，②由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，解得m2＝3，．所以，直线l的方程为，或．…12分考点：抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题.20、（1）；（2）.【解题分析】

（1）将椭圆的方程化为标准方程，得出、与的等量关系，可得出椭圆的离心率的值；（2）设直线的方程为，设点、，将的值代入得出椭圆的方程，将直线的方程与椭圆联立，消去，列出韦达定理，利用弦长公式结合条件可求出，利用点到直线的距离公式计算出原点到直线的距离，然后利用三角形的面积公式可得出的面积.【题目详解】（1）椭圆，椭圆长半轴长为，短半轴长为，；（2）设斜率为的直线的方程为，且、，，椭圆的方程为，由，.消去得，又有.，解得：满足，直线的方程为.故到直线的距离，.【题目点拨】本题考查椭圆离心率的计算，考查椭圆中的弦长与三角形面积的计算，一般将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理与弦长公式进行计算求解，难点在于计算量大，属于中等题.21、(1)(2)见解析（3）见解析【解题分析】分析：（1）先求一阶导函数，，用点斜式写出切线方程（2）先求一阶导函数的根，求解或的解集，判断单调性。（3）根据（2）的结论，求出极值画出函数的示意图，分析函数只有一个零点的等价条件是极小值大于零，函数在是减函数，故必然有一个零点。详解：（1）因为，所以；又。由题意得，解得（2），其定义域为，又，令或。①当即时，函数与随的变化情况如下：当时，，当时，。所以函数在单调递增，在和单调递减