2024届江西省赣州市南康中学、平川中学、信丰中学高二数学第二学期期末达标检测试题含解析

2024届江西省赣州市南康中学、平川中学、信丰中学高二数学第二学期期末达标检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若函数，则下列结论正确的是()A．，在上是增函数 B．，在上是减函数C．，是偶函数 D．，是奇函数2．如果f(n)∈N+),那么f(n+1)-f(n)等于()A． B． C． D．3．设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为()A．－15x4 B．15x4 C．－20ix4 D．20ix44．用数学归纳法证明“”，则当时，应当在时对应的等式的左边加上（）A． B．C． D．5．下列命题中正确的个数()①“∀x>0，2x>sinx”的否定是“∃x0≤0，2x0≤sinx0”；②用相关指数R2可以刻画回归的拟合效果，A．0 B．1 C．2 D．36．已知数列为等比数列，首项，数列满足，且，则（）A．8 B．16 C．32 D．647．若函数在上有2个零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．8．在一次独立性检验中，其把握性超过99％但不超过99.5％，则的可能值为（）参考数据：独立性检验临界值表0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A．5.424 B．6.765 C．7.897 D．11.8979．如图，在长方体中，若，，则异面直线和所成角的余弦值为（）A． B． C． D．10．“－1≤x≤1”是“xA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．在市高二下学期期中考试中，理科学生的数学成绩，已知，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为（）A．0.15 B．0.50 C．0.70 D．0.8512．已知函数图象经过点，则该函数图象的一条对称轴方程为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．．14．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表的第1行第4列数由左到右由上到下开始读取，则选出来的第5个个体的编号为____．第1行78166571023060140102406090280198第2行3204923449358200362348696938748115．在平面几何中，若正方形的内切圆面积为外接圆面积为则，推广到立体几何中，若正方体的内切球体积为外接球体积为，则_______．16．的平方根为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在15∽65岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：年龄支持“延迟退休”的人数155152817（1）由以上统计数据填列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；45岁以下45岁以上总计支持不支持总计（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率.②记抽到45岁以上的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.参考数据：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，其中18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：超过不超过第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：，19．（12分）如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,且过点.设为椭圆的右焦点,为椭圆上关于原点对称的两点,连结并延长,分别交椭圆于两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线的斜率分别为,是否存在实数,使得?若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.20．（12分）已知椭圆：的离心率为，且经过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）与轴不垂直的直线经过，且与椭圆交于，两点，若坐标原点在以为直径的圆内，求直线斜率的取值范围．21．（12分）已知函数，其中为常数．(1)若，求函数的极值；(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围．22．（10分）如图，圆柱的轴截面是，为下底面的圆心，是母线，.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】试题分析：因为，且函数定义域为令，则显然，当时，；当时，所以当时，在上是减函数，在上是增函数，所以选项A,B均不正确；因为当时，是偶函数，所以选项C正确．要使函数为奇函数，必有恒成立，即恒成立，这与函数的定义域相矛盾，所以选项D不正确．考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、函数的奇偶性．2、D【解题分析】分析：直接计算f(n+1)-f(n).详解：f(n+1)-f(n)故答案为D.点睛：（1）本题主要考查函数求值，意在考查学生对该知识的掌握水平.（2）不能等于，因为前面还有项没有减掉.3、A【解题分析】试题分析：二项式(x+i)6的展开式的通项为Tr+1=C6rx6-ri【考点】二项展开式，复数的运算【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式(x+i)6可以写为(i+x)6，则其通项为C6ri4、C【解题分析】

由数学归纳法可知时，左端，当时，，即可得到答案.【题目详解】由题意，用数学归纳法法证明等式时，假设时，左端，当时，，所以由到时需要添加的项数是，故选C.【题目点拨】本题主要考查了数学归纳法的应用，着重考查了理解与观察能力，以及推理与论证能力，属于基础题.5、C【解题分析】

根据含量词命题的否定可知①错误；根据相关指数的特点可知R2越接近0，模型拟合度越低，可知②错误；根据四种命题的关系首先得到逆命题，利用不等式性质可知③正确；分别在m=0和m≠0的情况下，根据解集为R确定不等关系，从而解得m【题目详解】①根据全称量词的否定可知“∀x>0，2x>sinx”的否定是“∃x②相关指数R2越接近1，模型拟合度越高，即拟合效果越好；R2越接近③若“a>b>0，则3a>3b>0④当m=0时，mx2-2当m≠0时，若mx2-2m+1解得：m≥1，则④正确.∴正确的命题为：③④本题正确选项：C【题目点拨】本题考查命题真假性的判断，涉及到含量词命题的否定、四种命题的关系及真假性的判断、相关指数的应用、根据一元二次不等式解集为R求解参数范围的知识.6、C【解题分析】

先确定为等差数列，由等差的性质得进而求得的通项公式和的通项公式，则可求【题目详解】由题意知为等差数列，因为，所以，因为，所以公差，则，即，故，于是.故选：C【题目点拨】本题考查等差与等比的通项公式，等差与等比数列性质，熟记公式与性质，准确计算是关键，是基础题7、D【解题分析】

先设，，则函数在上有2个零点等价于直线与函数的图像有两个交点，再求函数的单调性判断即可得解.【题目详解】解：由得，设，，则函数在上有2个零点等价于直线与函数的图像有两个交点，又，当时，；当时，.则函数在为增函数，在为减函数，∴，又，，又函数在上有2个零点，则的取值范围为.故选：D.【题目点拨】本题考查了导数的综合应用，重点考查了函数的零点个数与函数图像交点的个数问题，属基础题。8、B【解题分析】

根据独立性检验表解题【题目详解】把握性超过99％但不超过99.5％，，选B【题目点拨】本题考查独立性检验表，属于简单题．9、D【解题分析】

连结，可证明是平行四边形，则，故的余弦值即为异面直线和所成角的余弦值，利用余弦定理可得结果.【题目详解】连结，由题得，故是平行四边形，，则的余弦值即为所求，由，可得，，故有，解得，故选D.【题目点拨】本题考查异面直线的夹角的余弦值和余弦定理，常见的方法是平移直线，让两条直线在同一平面中，再求夹角的余弦值.10、A【解题分析】

首先画出函数y=x+1+x-1的图像，求解不等式【题目详解】如图:y=x+1由图像可知x+1+x-1≥2恒成立，所以解集是R，x-1≤x≤1是R的真子集，所以“故选A.【题目点拨】本题考查了充分不必要条件的判断，属于基础题型.11、D【解题分析】

根据正态密度曲线的对称性得出，于是可计算出，于此可得出结果．【题目详解】由于，由正态密度曲线的对称性可得，因此，，故选D.【题目点拨】本题考查正态分布在指定区间上的概率的计算，解题的关键在于利用正态密度曲线的对称性将所求概率转化为已知区间概率进行计算，属于基础题．12、C【解题分析】

首先把点带入求出，再根据正弦函数的对称轴即可．【题目详解】把点带入得，因为，所以，所以，函数的对称轴为．当，所以选择C【题目点拨】本题主要考查了三角函数的性质，需要记忆常考三角函数的性质有：单调性、周期性、对称轴、对称中心、奇偶性等．属于中等题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】试题分析：考点：定积分14、02；【解题分析】

第1行第4列数是6，由左到右进行读取10，06，01，09，02.【题目详解】第1行第4列数是6，由左到右进行读取10，06，01，09，02，所以第5个个体的编号为02.【题目点拨】随机数表中如果个体编号是2位数，则从规定的地方数起，是每次数两位数，如果碰到超出编号范围，则不选；如果碰到选过的，也不选.15、【解题分析】

由面积比为半径比的平方，体积比为半径的立方可得结果．【题目详解】正方形的内切圆半径为外接圆半径为，半径比，面积比为半径比的平方，类比正方正方体内切球半径为外接球半径为，径比，所以体积比是半径比的立方=，填．【题目点拨】立体几何中一个常见的猜想类比为面积比为半径比的平方，体积比为半径的立方可得结果．16、【解题分析】

根据可得出的平方根.【题目详解】，因此，的平方根为.故答案为.【题目点拨】本题考查负数的平方根的求解，要熟悉的应用，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）能（2）①②见解析【解题分析】分析：（1）由统计数据填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；

（2）①求抽到1人是45岁以下的概率，再求抽到1人是45岁以上的概率，

②根据题意知的可能取值，计算对应的概率值，写出随机变量的分布列，计算数学期望值．详解：（1）由频率分布直方图知45岁以下与45岁以上各50人，故填充列联表如下：45岁以下45岁以上总计支持354580不支持15520总计5050100因为的观测值，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异.（2）①抽到1人是45岁以下的概率为，抽到1人是45岁以下且另一人是45岁以上的概率为，故所求概率.②从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人.所以的可能取值为0,1,2.，，.故随机变量的分布列为：012所以.点睛：本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是中档题．18、（1）第二种生产方式的效率更高.理由见解析（2）80（3）能【解题分析】

分析：（1）计算两种生产方式的平均时间即可．（2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表．（3）由公式计算出，再与6.635比较可得结果．详解：（1）第二种生产方式的效率更高.理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.（2）由茎叶图知.列联表如下：超过不超过第一种生产方式155第二种生产方式515（3）由于，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.点睛：本题主要考查了茎叶图和独立性检验，考察学生的计算能力和分析问题的能力，贴近生活．19、（1）；（2）存在,使得.【解题分析】分析：(1)在椭圆上，所以满足椭圆方程，又离心率为，联立两个等式即可解出椭圆方程；(2),则,所以的方程为，联立AF的方程和椭圆方程即可求得C点坐标，同理求得D点坐标，从而分析的比值.详解：(1)设椭圆的方程为，，由题意知解得所以椭圆的方程为.(2)设,则,,又,所以直线的方程为.由消去，得.因为是该方程的一个解,所以点的横坐标.又点在直线上，所以，从而点的坐标为(同理,点的坐标为(，所以，即存在,使得.点睛：椭圆和抛物线的结合也是高考一直以来的一个热点，设而不求思想是圆锥曲线题目的考查核心，韦达定理就是该思想的体现，所以在圆锥曲线中要把所求的问题转化出来韦达定理，整体带入是解题的关键.20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解题分析】

（I）根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标，结合列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（II）设直线的方程为，代入椭圆方程，写出判别式和韦达定理，由坐标原点在以为直径的圆内得，利用向量的坐标运算代入化简，由此解得的取值范围.【题目详解】解：（Ⅰ）由题意可得，解得，，∴椭圆的方程为．（Ⅱ）设直线的方程为，代入椭圆方程整理可得得，，解得或，设，，又，，∴，∵坐标原点在以为直径的圆内，∴，∴，解得或.故直线斜率的取值范围为.【题目点拨】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，属于中档题.21、（1）见解析；（2）.【解题分析】分析：求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，