福建省泉州十六中2024届高二数学第二学期期末质量检测模拟试题含解析

福建省泉州十六中2024届高二数学第二学期期末质量检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（）A．平面内的三条直线a,b,c，若a⊥c,b⊥c，则a//b.类比推出：空间中的三条直线a,b,c，若a⊥c,b⊥c，则a//bB．平面内的三条直线a,b,c，若a//c,b//c，则a//b.类比推出：空间中的三条向量a,b,cC．在平面内，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14.类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1D．若a,b,c,d∈R，则复数a+bi=c+di⇒a=c,b=d.类比推理：“若a,b,c,d∈Q，则a+b22．设随机变量，随机变量，若，则（）A． B． C． D．3．设n=0π2A．20 B．-20 C．120 D．-1204．下列四个命题中，真命题的个数是（）①命题：“已知，“”是“”的充分不必要条件”；②命题：“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件；③命题：已知幂函数的图象经过点（2，），则f（4）的值等于；④命题：若，则．A．1 B．2 C．3 D．45．在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）A． B． C． D．（2，4]6．用反证法证明命题：“若实数，满足，则，全为0”，其反设正确的是（）A．，至少有一个为0 B．，至少有一个不为0C．，全不为0 D．，全为07．已知函数的导函数为，且对任意的实数x都有（e是自然对数的底数），且，若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．8．圆锥底面半径为，高为，是一条母线，点是底面圆周上一点，则点到所在直线的距离的最大值是（）A． B． C． D．9．设函数，若，则实数a的值为（）A． B． C．或 D．10．下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．11．小明同学喜欢篮球，假设他每一次投篮投中的概率为，则小明投篮四次，恰好两次投中的概率是（）A． B． C． D．12．函数，则在点处的切线方程为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数为偶函数，则的解集为__________．14．若满足约束条件，则的最大值是_____．15．已知在R上不是单调增函数，那么实数的取值范围是____．16．如图，正方体的棱长为1，E为线段上的一点，则三棱锥的体积为＿＿＿＿＿.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，不等式的解集是.（1）求a的值；（2）若关于x的不等式的解集非空，求实数k的取值范围.18．（12分）命题p：关于x的不等式对一切恒成立；命题q：函数在上递增，若为真，而为假，求实数的取值范围。19．（12分）已知命题实数满足（其中），命题方程表示双曲线.（I）若，且为真命题，求实数的取值范围；(Ⅱ)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．20．（12分）已知函数，k∈R．(I)求函数f(x)的单调区间；(II)当k>0时，若函数f(x)在区间(1，2)内单调递减，求k的取值范围．21．（12分）在极坐标系中,O为极点，点在曲线上，直线过点且与垂直，垂足为P（1）当时，求及的极坐标方程（2）当在上运动且点P在线段上时，求点P的轨迹的极坐标方程22．（10分）已知为正实数，函数.（1）求函数的最大值；（2）若函数的最大值是，求的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

对四个答案中类比所得的结论逐一进行判断，即可得到答案【题目详解】对于A，空间中，三条直线a，b，c，若a⊥c，对于B，若b=0，则若a//b对于C，在平面上，正三角形的面积比是边长比的平方，类比推出在空间中，正四面体的体积是棱长比的立方，棱长比为12，则它们的体积比为1对于D，在有理数Q中，由a+b2=c+d2可得，b=d，故正确综上所述，故选D【题目点拨】本题考查的知识点是类比推理，解题的关键是逐一判断命题的真假，属于基础题．2、A【解题分析】试题分析：∵随机变量，∴，解得．∴，∴，故选C．考点：1．二项分布；2．n次独立重复试验方差．3、B【解题分析】

先利用微积分基本定理求出n的值，然后利用二项式定理展开式通项，令x的指数为零，解出相应的参数值，代入通项可得出常数项的值。【题目详解】∵n=0二项式x-1x6令6-2r=0，得r=3，因此，二项式x-1x6故选：B.【题目点拨】本题考查定积分的计算和二项式指定项的系数，解题的关键就是微积分定理的应用以及二项式展开式通项的应用，考查计算能力，属于中等题。4、C【解题分析】

命题①单位圆x2+y2＝1上或圆外任取一点P（a，b），满足“a2+b2≥1”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|≥1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|≥1”，但不满足“a2+b2≥1”，从而判断命题的真假性；命题②先由“p且q为真”推出p、q的真假，然后判断“p或q”的真假，反之再加以判断；命题③直接把点的坐标代入幂函数求出α，然后把x＝4代入求值即可；命题④构造函数f（x）＝x﹣1+lnx，其中x＞0，利用导数判断函数的单调性，从而判断命题的真假性；【题目详解】命题①如图在单位圆x2+y2＝1上或圆外任取一点P（a，b），满足“a2+b2≥1”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|≥1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|≥1”，但不满足，“a2+b2≥1”，故a2+b2≥1是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件，故命题①正确；命题②“p且q为真”，则命题p、q均为真，所以“p或q为真”．反之“p或q为真”，则p、q都为真或p、q一真一假，所以不一定有“p且q为真”.所以命题“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件，故命题②不正确；命题③由幂函数f（x）＝xα的图象经过点（2，），所以2α＝，所以α＝﹣，所以幂函数为f（x）＝，所以f（4）＝，所以命题③正确；命题④若x+lnx＞1，则x﹣1+lnx＞0，设f（x）＝x﹣1+lnx，其中x＞0，∴＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（1）＝0，∴f（x）＞0时x＞1，即x+lnx＞1时x＞1，所以命题④正确.故选：C【题目点拨】本题考查命题的真假判断，充分不必要条件，幂函数，构造函数，利用导数判断函数的单调性，考查学生的计算能力，知识综合性强，属于中档题．5、A【解题分析】

由，取的中点E，翻折前，连接，则，，翻折后，在图2中，此时，及，进而得到，由此可求解得取值范围，得到答案.【题目详解】由题意得，取的中点E，翻折前，在图1中，连接，则，翻折后，在图2中，此时，因为，所以平面，所以，又为的中点，所以，所以，在中，可得①；②；③，由①②③，可得.如图3，翻折后，当与在一个平面上，与交于，且，又，所以，所以，此时，综上可得的取值范围是，故选A.【题目点拨】本题主要考查了平面图形的翻折问题，以及空间几何体的结构特征的应用，其中解答中认真审题，合理利用折叠前后图形的线面位置关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.6、B【解题分析】

反证法证明命题时，首先需要反设，即是假设原命题的否定成立即可.【题目详解】因为命题“若实数，满足，则，全为0”的否定为“若实数，满足，则，至少有一个不为0”；因此，用反证法证明命题：“若实数，满足，则，全为0”，其反设为“，至少有一个不为0”.故选B【题目点拨】本题主要考查反证的思想，熟记反证法即可，属于常考题型.7、B【解题分析】

先利用导数等式结合条件求出函数的解析式，由，得，转化为函数在直线下方的图象中只有两个横坐标为整数的点，然后利用导数分析函数的单调性与极值，作出该函数的图象，利用数形结合思想求出实数的取值范围.【题目详解】由等式，可得，即，即（为常数），，则，，因此，，，令，得或，列表如下：极小值极大值函数的极小值为，极大值为，且，作出图象如下图所示，由图象可知，当时，.另一方面，，则，由于函数在直线下方的图象中只有两个横坐标为整数的点，由图象可知，这两个点的横坐标分别为、，则有，解得，因此，实数的取值范围是，故选B.【题目点拨】本题考查函数的单调性、函数不等式的整数解问题，本题的难点在于利用导数方程求解函数解析式，另外在处理函数不等式的整数解的问题，应充分利用数形结合的思想，找到一些关键点来列不等式求解，属于难题．8、C【解题分析】分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解的位置，推出结果即可.详解：圆锥底面半径为，高为2，是一条母线，点是底面圆周上一点，在底面的射影为；，，过的轴截面如图：，过作于，则，在底面圆周，选择，使得，则到的距离的最大值为3，故选：C点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题．9、B【解题分析】分析：根据分段函数分成两个方程组求解，最后求两者并集.详解：因为，所以所以选B.点睛：求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.10、B【解题分析】

根据三视图得到原图是，边长为2的正方体，挖掉八分之一的球，以正方体其中一个顶点为球的球心。【题目详解】根据三视图得到原图是，边长为2的正方体，挖掉八分之一的球，以正方体其中一个顶点为球的球心，故剩余的体积为：故答案为：B.【题目点拨】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.11、D【解题分析】分析：利用二项分布的概率计算公式：概率即可得出．详解：：∵每次投篮命中的概率是，

∴在连续四次投篮中，恰有两次投中的概率．

故在连续四次投篮中，恰有两次投中的概率是．故选D.点睛：本题考查了二项分布的概率计算公式，属于基础题．12、A【解题分析】分析：先求导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式求切线方程.详解：因为，所以所以切线方程为选A.点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

先求出，根据为偶函数，即可得出,从而得出，从而判断在上单调递增，且，这样即可由，得出，从而得出，这样解不等式即可.【题目详解】由题知函数为偶函数，则解得，所以，，故即答案为.【题目点拨】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用关系式：奇函数由恒成立求解，偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.14、1【解题分析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【题目详解】解：作出约束条件表示的可行域如图，化目标函数z＝x+2y为，联立，解得A（1，2），由图可知，当直线z＝x+2y过点（1，2）时，z取得最大值1．故答案为1．【题目点拨】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，是中档题．15、（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【解题分析】

根据函数单调性和导数之间的关系，转化为f′（x）≥0不恒成立，即可得到结论．【题目详解】∵函数yx3+mx2+（m+2）x+3，∴f′（x）＝x2+2mx+m+2，∵函数yx3+mx2+（m+2）x+3在R上不是增函数，∴f′（x）＝x2+2mx+m+2≥0不恒成立，∴判别式△＝4m2﹣4（m+2）＞0，∴m2﹣m﹣2＞0，即m＜﹣1或m＞2，故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【题目点拨】本题考查了利用导数研究函数的单调性问题，考查了转化思想，考查了二次不等式恒成立的问题，属于中档题．16、【解题分析】以△为底面，则易知三棱锥的高为1，故三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）2；（2）.【解题分析】

（1）根据绝对值不等式的解法，结合不等式的解集建立方程关系进行求解即可．（2）利用解集非空转化为存在使得成立，利用绝对值三角不等式找到的最小值，即可得解．【题目详解】解：（1）由，得，即，当时，，因为不等式的解集是，所以，解得，当时，，因为不等式的解集是，所以，该式无解，所以.（2）因为，所以要使存在实数解，只需，即实数的取值范围是.【题目点拨】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，利用解集非空转化为有解问题是解决本题的关键，属于基础题．18、【解题分析】

依题意，可分别求得p真、q真时m的取值范围，再由p∨q为真，而p∧q为假求得实数a的取值范围即可．【题目详解】命题p：关于x的不等式x1+1ax+4＞0对一切x∈R恒成立；①若命题p正确，则△＝（1a）1﹣41＜0，即﹣1＜a＜1；②命题q：函数f（x）＝logax在（0，+∞）上递增⇒a＞1，∵p∨q为真，而p∧q为假，∴p、q一真一假，当p真q假时，有，∴﹣1＜a≤1；当p假q真时，有，∴a≥1∴综上所述，﹣1＜a≤1或a≥1．即实数a的取值范围为（﹣1，1]∪[1，+∞）．【题目点拨】本题考查复合命题的真假，分别求得p真、q真时m的取值范围是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）将代入不等式，并解出命题中的不等式，同时求出当命题为真命题时实数的取值范围，由条件为真命题，可知这两个命题都是真命题，然后将两个范围取交集可得出实数的取值范围；（Ⅱ）解出命题中的不等式，由是的必要不充分条件，得出命题中实数的取值范围是命题中不等式解集的真子集，然后列不等式组可求出实数的取值范围．【题目详解】（Ⅰ）由得，若，为真时实数t的取值范围是.由表示双曲线,得,即为真时实数的取值范围是.若为真，则真且真，所以实数t的取值范围是（Ⅱ）设，是的必要不充分条件，.当时，，有，解得；当时，，显然，不合题意．∴实数a的取值范围是．【题目点拨】本题第（1）问考查复合命题的真假与参数，第（2）问考查充分必要性与参数，一般要结合两条件之间的关系转化为集合间的包含关系，考查转化与化归数学思想，属于中等题．20、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解题分析】分析：（Ⅰ）先求出函数的定义域，求导数后根据的取值通过分类讨论求单调区间即可．（Ⅱ）将问题转化为在(1，2)上恒成立可得所求．详解：（I）函数的定义域为．由题意得，（1）当时，令，解得；令，解得．（2）当时，①当，即时，令，解得或；令，解得．②当时，恒成立，函数在上为单调递增函数；③当，即时，令，解得或；令，解得．综上所述，当时，函数的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为（