2024届内蒙古呼和浩特回民中学高二数学第二学期期末考试试题含解析

2024届内蒙古呼和浩特回民中学高二数学第二学期期末考试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．圆ρ=8sinθ的圆心到直线A．2 B．3 C．2 D．22．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（）A． B． C． D．3．复数z满足z=2i1-iA．1－i B．1＋2i C．1＋i D．－1－i4．是第四象限角，,，则（）A． B． C． D．5．某几何体的三视图如图所示,其中圆的半径均为,则该几何体的体积为()A． B． C． D．6．在第二届乌镇互联网大会中,为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在、、三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有A．种 B．种C．种 D．种7．用反证法证明“如果a＜b，那么”，假设的内容应是（）A． B．C．且 D．或8．如果，那么的值是（）A． B． C． D．9．将三枚骰子各掷一次，设事件为“三个点数都不相同”，事件为“至少出现一个6点”，则概率的值为（）A． B． C． D．10．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的的值为（）(参考数据：，，）A．12 B．24 C．48 D．9611．设，满足约束条件则的最大值为（）A． B． C． D．12．过点，且与直线平行的直线的方程为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，则__________.14．已知复数，，若为纯虚数，则_____.15．用五种不同的颜色，给图中的（1）（2）（3）（4）的各部分涂色，每部分涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则涂色的方法共有种．16．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有；（用数字作答）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）设是的极值点，求的单调区间；（2）当时，求证：.18．（12分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，1，1．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望.19．（12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点．（1）证明：平面;（2）设，，三棱锥的体积，求A到平面PBC的距离．20．（12分）已知数列满足其中.（Ⅰ）写出数列的前6项；（Ⅱ）猜想数列的单调性，并证明你的结论.21．（12分）假设关于某设备的使用年限(年)和所支出的年平均维修费用(万元)(即维修费用之和除以使用年限),有如下的统计资料：(1)求关于的线性回归方程；(2)估计使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是多少?参考公式：22．（10分）已知函数.（1）若函数在其定义域内单调递增，求实数的最大值；（2）若存在正实数对，使得当时，能成立，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

先把圆和直线的极坐标方程化成直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式求解.【题目详解】由ρ=8sinθ得x2+y直线tanθ=3的直角坐标方程为所以圆心到直线3x-y=0的距离为0-4故选：C【题目点拨】本题主要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2、C【解题分析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．3、D【解题分析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【题目详解】z=2i1-i=2i(1+i)【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．4、D【解题分析】

根据同角三角函数基本关系，得到，求解，再根据题意，即可得出结果.【题目详解】因为，由同角三角函数基本关系可得：，解得：，又是第四象限角，所以.故选：D.【题目点拨】本题主要考查已知正切求正弦，熟记同角三角函数基本关系即可，属于常考题型.5、A【解题分析】该几何体为一棱长为6的正方体掏掉一个棱长为2的小正方体，再放置进去一个半径为1的球，所以体积为.故选A.6、D【解题分析】

根据题意，分2步进行分析：①把5个个参会国的人员分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2；由组合数公式可得分组的方法数目，②，将分好的三组对应三家酒店；由分步计数原理计算可得答案．【题目详解】根据题意，分2步进行分析：

①、五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，

∴可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2

当按照1、1、3来分时共有C53=10种分组方法；

当按照1、2、2来分时共有种分组方法；

则一共有种分组方法；

②、将分好的三组对应三家酒店，有种对应方法；

则安排方法共有种；

故选D．【题目点拨】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决．7、D【解题分析】解：因为用反证法证明“如果a>b，那么>”假设的内容应是＝或<，选D8、D【解题分析】

由诱导公式，可求得的值，再根据诱导公式化简即可．【题目详解】根据诱导公式，所以而所以选D【题目点拨】本题考查了诱导公式在三角函数式化简中的应用，属于基础题．9、A【解题分析】考点：条件概率与独立事件．分析：本题要求条件概率，根据要求的结果等于P（AB）÷P（B），需要先求出AB同时发生的概率，除以B发生的概率，根据等可能事件的概率公式做出要用的概率．代入算式得到结果．解：∵P（A|B）=P（AB）÷P（B），P（AB）==P（B）=1-P（）=1-=1-=∴P（A/B）=P（AB）÷P（B）==故选A．10、B【解题分析】

列出循环过程中与的数值，满足判断框的条件即可结束循环.【题目详解】解：模拟执行程序，可得：

，

不满足条件，

不满足条件，

满足条件，退出循环，输出的值为.

故选：B.【题目点拨】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题.11、C【解题分析】

作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数的最大值即可．【题目详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由得到，平移直线，当过A时直线截距最小，最大，由得到，所以的最大值为，故选：C．【题目点拨】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．12、A【解题分析】

求出直线的斜率，根据两直线平行斜率的性质，可以求出所求直线的斜率，写出点斜式方程，最后化为一般方程.【题目详解】因为的斜率为2，所以所求直线的方程的斜率也为2，因此所求直线方程为，故本题选A.【题目点拨】本题考查了求过一点与已知直线平行的直线的方程.本题也可以这样求解：与直线平行的直线可设为，过代入方程中，，所以直线方程为，一般来说，与直线平行的直线可设为；与直线垂直的直线可设为.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】

先求内层函数的值，解得函数值为2，再将2代入求值即可【题目详解】当时，满足对应的表达式，先求内层函数，当时，满足对应的表达式，再求，所以【题目点拨】分段函数求值问题需注意先求解内层函数，再依次求解外层函数，每一个括号内对应的值都必须在定义域对应的区间内进行求值14、【解题分析】

化简，令其实部为0，可得结果.【题目详解】因为，且为纯虚数，所以，即.【题目点拨】本题主要考查复数的除法运算以及复数为纯虚数的等价条件.15、240【解题分析】试题分析：先涂（3）有5种方法，再涂（2）有4种方法，再涂（1）有3种方法，最后涂（4）有4种方法，所以共有5×4×3×4=240种涂色方法．考点：排列、组合.16、24【解题分析】甲、乙排在一起，用捆绑法，先排甲、乙、戊，有种排法，丙、丁不排在一起，用插空法，有种排法，所以共有种．考点：排列组合公式.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）在上减，上增；（2）证明见解析.【解题分析】

（1）求出函数的定义域以及导函数，由是的极值点可求出，即，对导函数再次求导，判断导函数在上单调递增，由，进而可求出函数的单调区间.（2）由，进而可得，记，研究函数的单调性，求出的最小值，进而可得证.【题目详解】（1）解：的定义域为，，由，所以，又因为，所以在上单调递增，注意到，所以在上减，上增.（2）由，所以,记，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以是的最小值点，，故.【题目点拨】本题考查了导函数的研究函数的单调性以及最值中的应用，需掌握极值点的定义，属于中档题.18、（1）3人，2人，2人；（2）分布列见解析，.【解题分析】

(1)由甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为，利用分层抽样的方法，即可求得从甲、乙、丙三个部门的员工人数；(2)由题意，随机变量的所有可能取值为，求得相应的概率，得出其分布列，利用期望的公式，即可求解.【题目详解】(1)由题意知，某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，1，1，可得甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，所以应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．(2)随机变量的所有可能取值为，则，所以，随机变量的分布列为0123所以随机变量的数学期望．【题目点拨】本题主要考查了分层抽样的应用，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，其中解答中认真审题，准确得到随机变量的可能取值，求得相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19、（1）证明见解析（2）到平面的距离为【解题分析】

试题分析：（1）连结BD、AC相交于O，连结OE，则PB∥OE，由此能证明PB∥平面ACE．（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A到平面PBD的距离试题解析：(1）设BD交AC于点O，连结EO．因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB又EO平面AEC，PB平面AEC所以PB∥平面AEC．（2）由，可得.作交于．由题设易知，所以故，又所以到平面的距离为法2：等体积法由，可得.由题设易知,得BC假设到平面的距离为d，又因为PB=所以又因为(或)，，所以考点：线面平行的判定及点到面的距离20、（Ⅰ），，，，，（Ⅱ）猜想：数列是递减数列，证明见解析【解题分析】

（I）根据递推公式，依次求得的值.（II）由（I）猜想数列是递减数列.用数学归纳法证得结论成立.【题目详解】解：（Ⅰ）由；由；由；由；由；（Ⅱ）由（Ⅰ）知猜想：数列是递减数列.下面用数学归纳法证明：①当时，已证命题成立；②假设当时命题成立，即.易知，当时，即.也就是说，当时命题也成立.根据①②可知，猜想对任何正整数都成立.【题目点拨】本小题主要考查根据递推公式求数列各项的值，考查数学归纳法证明数列的单调性，属于中档题.21、（1）；（2）万元【解题分析】

（1）先求出样本中心点及代入公式求得，再将代入回归直线求得的值，可得线性回归方程；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取x＝10，求得y值得答案．【题目详解】（1）由题表数据可得，由公式可得，即回归方程是.（2）由（1）可得，当时，；即，使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是万元.【题目点拨】本题考查线性回归方程，考查计算能力，是基础题．22、（1）4（2）【解题分析】

（1）先求导，再根据导数和函