上海市宝山中学2024届数学高二下期末调研试题含解析

上海市宝山中学2024届数学高二下期末调研试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数，关于上面推理正确的说法是（）A．推理的形式错误 B．大前提是错误的 C．小前提是错误的 D．结论是真确的2．已知为虚数单位，复数满足，是复数的共轭复数，则下列关于复数的说法正确的是（）A． B．C． D．复数在复平面内表示的点在第四象限3．一物体做直线运动，其位移s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系是s=5t-t2，则该物体在A．-1m/s B．1m4．将两枚骰子各掷一次，设事件{两个点数都不相同}，{至少出现一个3点}，则（）A． B． C． D．5．在一次期中考试中，数学不及格的人数占，语文不及格占，两门都不及格占，若一名学生语文及格，则该生数学不及格的概率为（）A． B． C． D．6．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①是周期函数；②三角函数是周期函数；③是三角函数A．②③① B．②①③ C．①②③ D．③②①7．用数学归纳法证明（，）时，第一步应验证（）A． B． C． D．8．已知偶函数在单调递减，则不等式的解集为（）A． B． C． D．9．设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路,只从一面上山,而从任意一面下山的走法最多,应A．从东边上山 B．从西边上山 C．从南边上山 D．从北边上山10．如图，在长方体中，若，，则异面直线和所成角的余弦值为（）A． B． C． D．11．定义在上的函数满足，且当时，，对，，使得，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．12．复数的共轭复数所对应的点位于复平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在正方体中，与所成角的大小为________.14．已知函数，若曲线在点处的切线经过圆的圆心，则实数的值为__________．15．如果关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是______.16．在10件产品中有8件一等品，2件二等品，若从中随机抽取2件产品，则恰好含1件二等品的概率为___三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图所示,是边长为3的正方形,平面与平面所成角为.(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)设点是线段上一个动点,试确定点的位置,使得平面,并证明你的结论．18．（12分）已知函数/(x.（1）当时，求在最小值；（2）若存在单调递减区间，求的取值范围；（3）求证：.19．（12分）已知，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.20．（12分）在一次购物抽奖活动中，假设某张奖券中有一等奖券张，可获得价值元的奖品，有二等奖券张，每张可获得价值元的奖品，其余张没有奖，某顾客从此张奖券中任抽张，求（1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得奖品总价值为元的概率.21．（12分）已知函数在区间上的最大值为3，最小值为-17，求的值22．（10分）设全体空间向量组成的集合为，为中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”.（1）设，，若，求向量；（2）对于中的任意两个向量，，证明：；（3）对于中的任意单位向量，求的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】分析:指数函数是R上的增函数，这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同单调性，有演绎推理的定义可知，大前提错误。详解：指数函数是R上的增函数，这个说法是错误的，若,则是增函数，若,则是减函数所以大前提是错误的。所以B选项是正确的。点睛：本题主要考查指数函数的单调性和演绎推理，意在考查三段论的推理形式和指数函数的图像性质，属于基础题。2、B【解题分析】

由复数的乘法除法运算求出，进而得出答案【题目详解】由题可得，在复平面内表示的点为，位于第二象限，，故A,C,D错误；，，故B正确；【题目点拨】本题考查复数的基本运算与几何意义，属于简单题．3、A【解题分析】

先对s求导，然后将t=3代入导数式，可得出该物体在t=3s时的瞬时速度。【题目详解】对s=5t-t2求导，得s'因此，该物体在t=3s时的瞬时速度为-1m/s，故选：A。【题目点拨】本题考查瞬时速度的概念，考查导数与瞬时变化率之间的关系，考查计算能力，属于基础题。4、A【解题分析】分析：利用条件概率求.详解：由题得所以故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查条件概率，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)条件概率的公式:,=.5、A【解题分析】

记“一名学生语文及格”为事件A，“该生数学不及格”为事件B，所求即为，根据条件概率的计算公式，和题设数据，即得解.【题目详解】记“一名学生语文及格”为事件A，“该生数学不及格”为事件B，所求即为：故选：A【题目点拨】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，实际应用，数学运算的能力，属于基础题.6、A【解题分析】

根据“三段论”的排列模式：“大前提”“小前提”“结论”，分析即可得到正确的顺序.【题目详解】根据“三段论”的排列模式：“大前提”“小前提”“结论”，可知：①是周期函数是“结论”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③是三角函数是“小前提”；故“三段论”模式排列顺序为②③①.故选：A【题目点拨】本题考查了演绎推理的模式，需理解演绎推理的概念，属于基础题.7、B【解题分析】

直接利用数学归纳法写出时左边的表达式即可．【题目详解】解：用数学归纳法证明，时，第一步应验证时是否成立，即不等式为：；故选：．【题目点拨】在数学归纳法中，第一步是论证时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误．8、B【解题分析】

因为函数是偶函数，所以，那么不等式转化为，利用单调性，解不等式.【题目详解】函数是偶函数，在单调递减，，即.故选B.【题目点拨】本题考查了偶函数利用单调性解抽象不等式，关键是利用公式转化不等式，利用的单调性解抽象不等式，考查了转化与化归的思想.9、D【解题分析】从东边上山共种;从西边上山共种;从南边上山共种;从北边上山共种;所以应从北边上山.故选D.10、D【解题分析】

连结，可证明是平行四边形，则，故的余弦值即为异面直线和所成角的余弦值，利用余弦定理可得结果.【题目详解】连结，由题得，故是平行四边形，，则的余弦值即为所求，由，可得，，故有，解得，故选D.【题目点拨】本题考查异面直线的夹角的余弦值和余弦定理，常见的方法是平移直线，让两条直线在同一平面中，再求夹角的余弦值.11、D【解题分析】由题知问题等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集．当时，，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时，由，可得，当时，．则在的值域为．当时，，则有，解得，当时，，不符合题意；当时，，则有，解得．综上所述，可得的取值范围为．故本题答案选．点睛：求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系，求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围．讨论应该不重复不遗漏．12、C【解题分析】

通过化简，于是可得共轭复数，判断在第几象限即得答案.【题目详解】根据题意得，所以共轭复数为，对应的点为，故在第三象限，答案为C.【题目点拨】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的概念，难度不大.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

记点正上方的顶点为，在正方体中，得到即是与所成的角，进而可得出结果.【题目详解】如图，记点正上方的顶点为，在正方体中，显然，所以即是与所成的角，易得：故答案：【题目点拨】本题主要考查异面直线所成的角，在几何体中作出异面直线所成的角，即可求解，属于常考题型.14、【解题分析】

利用导数求出切线斜率，根据点斜式求得切线方程，将圆心坐标代入切线方程，进而可得结果.【题目详解】因为，，切线的斜率，所以切线方程为，即.因为圆的圆心为，所以，所以实数的值为-4,故答案为-4.【题目点拨】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.15、【解题分析】

利用绝对值三角不等式可求得，根据不等式解集不为空集可得根式不等式，根据根式不等式的求法可求得结果.【题目详解】由绝对值三角不等式得：，即.原不等式解集不是空集，，即当时，不等式显然成立；当时，，解得：；综上所述：的取值范围为.故答案为：.【题目点拨】本题考查根据不等式的解集求解参数范围的问题，涉及到绝对值三角不等式的应用、根式不等式的求解等知识；关键是能够根据利用绝对值三角不等式求得函数的最值，将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系问题.16、【解题分析】

先求从10件产品中随机抽取2件产品事件数，再求恰好含1件二等品的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.【题目详解】从10件产品中随机抽取2件产品有种方法；其中恰好含1件二等品有种方法；因此所求概率为故答案为：【题目点拨】本题考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)见解析；(Ⅱ).【解题分析】试题分析:(1)由线面垂直的判定定理证明;(2)建立空间直角坐标系,写出各点坐标,由于点M在线段BD上,所以设,求出平面BEF的法向量,由,求出点M的坐标.试题解析:(Ⅰ)证明：∵平面,∴,∵是正方形,∴,又,∴平面.(Ⅱ)解：因为两两垂直,所以建立空间直角坐标系如图所示,因为与平面所成角为,即,所以,由,可知,则,所以,设平面的法向量,则,即.令得,,又点是线段上一动点,设,则因为平面,所以,即解得.此时,点的坐标为(2,2,0)即当时,平面.18、（1）1；（2）；（3）见解析【解题分析】分析：（I）可先求f′（x），从而判断f（x）在x∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x），可得若f（x）存在单调递减区间，需h′（x）＜0有正数解．从而转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通过对a分a=0，a＜0与当a＞0三种情况讨论解得a的取值范围；（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即.，再构造函数，令，有，从而，问题可解决；（法二）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒，成立；设时，命题成立，即，，再去证明n=k+1时，即可（需用好归纳假设）．详解：（1），定义域为.∵∴在上是增函数..（2）因为因为若存在单调递减区间，所以有正数解.即有有解.①当时，明显成立.②当时，开口向下的抛物线，总有有解；③当时，开口向上的抛物线，即方程有正跟.当时，；，解得.综合①②③知：.综上所述：的取值范围为.（3）（法一）根据（1）的结论，当时，，即.令，则有，∴.∵，∴.（法二）当时，.∵，∴，即时命题成立.设当时，命题成立，即.∴时，根据（1）的结论，当时，，即.令，则有，则有，即时命题也成立.因此，由数学归纳法可知不等式成立.点睛：本题考查函数的导数的应用，考查最值的求法，数学归纳法的应用，考查转化思想以及计算能力．函数在一个区间上单调递增，则函数的导函数大于等于0恒成立，函数在一个区间上存在单调增区间，则函数的导函数在这个区间上大于0有解.19、（1）；（2）.【解题分析】

(1)利用正弦定理把边转化为角，再由两角和的正弦可求出角；(2)利用三角形面积公式可得到，再由余弦定理可求出的周长；【题目详解】(1)由正弦定理知，∴，∴，.（或用余弦定理将换掉求解）(2)由(1)及已知可得，解得，由余弦定理知，∴，∴的周长为.【题目点拨】本题考查了正弦定理、余弦定理以及面积公式，考查了学生的计算能力，属于较易题.20、(1);(2).【解题分析】分析：（1）由题意求出该顾客没有中奖的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出该顾客中奖的概率；（2）利用古典概型概率公式即可求得该顾客获得奖品总价值为元的概率.详解：（1）由题意得该顾客没有中奖的概率为=，∴该顾客中奖的概率为：P=1﹣=，∴该顾客中奖的概率为．（Ⅱ）根据题意可得：P（X=100）==.点睛：(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.21、k=﹣1，B=﹣17或k=1，B=3【解题分析】试题分析：由题设知k≠1且f'（x）=3kx（x-2），1＜x＜2时，x（x-2）＜1；x＜1或x＞2时，x（x-2）＞1；x=1和x=2时，f'（x）=1．由题设知-2≤x≤2，f（-2）=