2024届北京海淀外国语数学高二下期末学业质量监测试题含解析

2024届北京海淀外国语数学高二下期末学业质量监测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设函数，则（）A．9 B．11 C．13 D．152．执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，输出的S=（）A． B． C． D．3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是()A． B． C． D．4．已知随机变量服从正态分布，且，则（）A． B． C． D．5．由曲线，直线，和轴所围成平面图形的面积为（）A． B． C． D．6．从装有形状大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于（）A． B． C． D．7．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中；乙预测说：我不会获奖，丙获奖丙预测说：甲和丁中有一人获奖；丁预测说：乙的猜测是对的成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（）A．甲和丁B．乙和丁C．乙和丙D．甲和丙8．“”是“直线与直线平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要9．已知函数是偶函数（且）的导函数，，当时，，则使不等式成立的x的取值范围是（）A． B．C． D．10．已知x1+i=1-yi，其中x,y是实数，i是虚数单位，则x+yiA．1+2iB．1-2iC．2+iD．2-i11．分配名工人去个不同的居民家里检查管道，要求名工人都分配出去，并且每名工人只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（）A．种 B．种 C．种 D．种12．设不等式组所表示的平面区域为，若直线的图象经过区域，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知复数，且是实数，则实数__________.14．已知P是椭圆上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是______．15．的展开式中的系数为.16．在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率，则在内取值的概率为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）解关于的不等式.18．（12分）在直角坐标系中，曲线的方程为.已知，两点的坐标分别为，.（1）求曲线的参数方程；（2）若点在曲线位于第一象限的图象上运动，求四边形的面积的最大值.19．（12分）动点在抛物线上，过点作垂直于轴，垂足为，设.（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）设点，过点的直线交轨迹于两点，直线的斜率分别为，求的最小值．20．（12分）已知函数，其中a为实数.（1）根据a的不同取值，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；（2）若，判断函数f(x)在[1,2]上的单调性，并说明理由.21．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）已知点，直线的极坐标方程为，它与曲线的交点为，，与曲线的交点为，求的面积.22．（10分）（）．（1）当时，求的单调区间；（2）若，存在两个极值点，，试比较与的大小；（3）求证：（，）．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.【题目详解】∵函数，∴=2+9=1．故选B．【题目点拨】本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题．2、B【解题分析】

试题分析：由题意得，输出的为数列的前三项和，而，∴，故选B.考点：1程序框图；2.裂项相消法求数列的和.【名师点睛】本题主要考查了数列求和背景下的程序框图问题，属于容易题，解题过程中首先要弄清程序框图所表达的含义，解决循环结构的程序框图问题关键是列出每次循环后的变量取值情况，循环次数较多时，需总结规律，若循环次数较少可以全部列出.3、B【解题分析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则，选B.【考点定位】三视图与几何体的体积4、C【解题分析】

由题意结合正态分布的对称性得到关于a的方程，解方程即可求得实数a的值.【题目详解】随机变量服从正态分布，则正态分布的图象关于直线对称，结合有，解得：.本题选择C选项.【题目点拨】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.5、B【解题分析】

利用定积分表示面积，然后根据牛顿莱布尼茨公式计算，可得结果.【题目详解】，故选：B【题目点拨】本题主要考查微积分基本定理，熟练掌握基础函数的导函数以及牛顿莱布尼茨公式，属基础题.6、D【解题分析】分析：这是一个条件概率，可用古典概型概率公式计算，即从5个球中取三个排列，总体事件是第二次是黑球，可在第二次是黑球的条件下抽排第一次和第三次球.详解：.点睛：此题是一个条件概率，条件是第二次抽取的是黑球，不能误以为是求第二次抽到黑球，第三次抽到白球的概率，如果那样求得错误结论为.7、B【解题分析】

从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断【题目详解】若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁答案选B【题目点拨】真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证8、B【解题分析】

时，直线与直线不平行，所以直线与直线平行的充要条件是，即且，所以“”是直线与直线平行的必要不充分条件．故选B．9、D【解题分析】

构造函数，利用导数得到，在是增函数，再根据为偶函数，根据，解得的解集．【题目详解】解：令，，时，，时，，在上是减函数，是偶函数（2），当，（2），即，当时，（2），即，是偶函数，当，，故不等式的解集是，故选：．【题目点拨】本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了构造函数及数形结合的思想．解决本题的关键是能够想到通过构造函数解决，属于中档题．10、D【解题分析】∵x1+i=x(1-i)11、C【解题分析】

根据题意，分析可得，必有2名水暖工去同一居民家检查；分两步进行，①先从4名水暖工中抽取2人，②再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，由分步计数原理，计算可得答案.【题目详解】解：根据题意，分配4名水暖工去3个不同的居民家里，要求4名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查；

则必有2名水暖工去同一居民家检查，

即要先从4名水暖工中抽取2人，有种方法，

再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，有种情况，

由分步计数原理，可得共种不同分配方案，

故选：C.【题目点拨】本题考查排列、组合的综合应用，注意一般顺序是先分组（组合），再排列，属于中档题.12、C【解题分析】

由约束条件作出可行域，由直线过定点，数形结合求得定点与可行域内动点连线的斜率的范围，则答案可求．【题目详解】由不等式组作出可行域，如图.直线表示过点斜率为的直线.直线的图象经过区域即将轴绕点沿逆时针旋转到点的位置..所以直线的图象经过区域，其斜率.故选：C【题目点拨】本题考查了直线系方程，考查了直线的斜率，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】复数z1=2+3i,z2=t−i，∴=t+i，∴=(2+3i)(t+i)=(2t−3)+(3t+2)i，由是实数,得3t+2=0,即.14、【解题分析】

利用余弦定理求出，再求△F1PF2的面积.【题目详解】∵|PF1|＋|PF2|＝4，，又∵∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°12＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－|PF1|·|PF2|，∴，∴.【题目点拨】本题主要考查椭圆的定义和余弦定理，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.15、70.【解题分析】试题分析：设的展开式中含的项为第项，则由通项知．令，解得，∴的展开式中的系数为．考点：二项式定理．16、0.8【解题分析】

由于正态分布N(1，σ2)(σ>0)的图象关于直线ξ＝1对称，且ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，因此ξ在(1,2)内取值的概率也为0.4，故ξ在(0,2)内取值的概率为0.8.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.【解题分析】

将原不等式因式分解化为，对参数分5种情况讨论：，，，，，分别解不等式．【题目详解】解：原不等式可化为，即，①当时，原不等式化为，解得，②当时，原不等式化为，解得或，③当时，原不等式化为.当，即时，解得；当，即时，解得满足题意；当，即时，解得.综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.【题目点拨】本题考查含参不等式的求解，求解时注意分类讨论思想的运用，对分类时要做到不重不漏的原则，同时最后记得把求得的结果进行综合表述.18、（1）（为参数）；（2）【解题分析】

（1）根据椭圆的参数方程表示出曲线的参数方程；（2）根据曲线的参数方程设曲线上的点，结合点在第一象限得出，将四边形的面积转化为和的面积之和，并利用角的三角函数式表示，利用辅助角公式化简，再利用三角函数基本性质求出最大值。【题目详解】（1）曲线的方程为，可化参数方程为(为参数).（2）设曲线上的点，因为在第一象限，所以.连接,则=.当时，四边形面积的最大值为.【题目点拨】本题考查椭圆的参数方程，考查参数方程的应用，一般而言，由圆或椭圆上的动点引起的最值或取值范围问题，可以将动点坐标利用圆或椭圆的参数方程设为参数方程的形式，并借助三角恒等变换公式以及三角函数的基本性质求解。19、（Ⅰ）（Ⅱ）1【解题分析】

（1）设Q（x，y），则P（x，2y），代入x2=2y得出轨迹方程；（2）联立直线AB方程与Q的轨迹方程，得出A，B的坐标关系，代入斜率公式化简|k1﹣k2|，利用二次函数的性质求出最小值．【题目详解】（Ⅰ）设点，则由得，因为点在抛物线上，（Ⅱ）方法一：由已知，直线的斜率一定存在，设点，联立得由韦达定理得（1）当直线经过点即或时，当时，直线的斜率看作抛物线在点处的切线斜率，则，此时；当时，同理可得（2）当直线不经过点即且时，，所以的最小值为.方法二：同上故，所以的最小值为方法三：设点，由直线过点交轨迹于两点得：化简整理得：，令，则【题目点拨】本题考查了轨迹方程的求解，直线与抛物线的位置关系，直线的斜率公式，属于中档题．20、（1）时奇函数，时非奇非偶函数；（2）单调递增，证明见解析.【解题分析】

（1）讨论两种情况，分别利用奇偶性的定义判断即可；（2）设，再作差，通分合并，最后根据自变量范围确定各因子符号，得差的符号，结合单调性定义作出判断即可.【题目详解】（1）当时，，显然是奇函数；当时，，，且，所以此时是非奇非偶函数.（2）设，则因为，所以，，，所以，，所以，所以，即，故函数在上单调递增.【题目点拨】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的单调性，属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），可得在已知区间上是增函数，可得在已知区间上是减函数21、（1）（2）【解题分析】

（1）首先把参数方程转化为普通方程，利用普通方程与极坐标方程互化的公式即可得到曲线的极坐标方程；（2）分别联立与的极坐标方程、与的极坐标方程，得到、两点的极坐标，即可求出的长，再计算出到直线的距离，由此即可得到的面积．【题目详解】解：（1），其普通方程为，化为极坐标方程为（2）联立与的极坐标方程：，解得点极坐标为联立与的极坐标方程：，解得点极坐标为，所以，又点到直线的距离，故的面积.【题目点拨】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化，利用极径的几何意义求三角形面积是解题的关键，属于中档题．22、（1）递减，递增（2）（3）详见解析【解题分析】试题分析：（1）求出函数的定义域，求