2024届黑龙江省庆安县第三中学数学高二下期末综合测试模拟试题含解析

2024届黑龙江省庆安县第三中学数学高二下期末综合测试模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若函数存在单调递增区间，则实数的值可以为（）A． B． C． D．2．下列求导运算正确的是（）A． B．C． D．3．设复数，若，则的概率为（）A． B． C． D．4．已知，则的最小值为（）A． B． C． D．5．从不同品牌的4台“快译通”和不同品牌的5台录音机中任意抽取3台,其中至少有“快译通”和录音机各1台,则不同的取法共有()A．140种 B．84种 C．70种 D．35种6．长方体中，是对角线上一点，是底面上一点，若，，则的最小值为（）A． B． C． D．7．已知函数的导函数的图象如图所示，那么（）A．是函数的极小值点B．是函数的极大值点C．是函数的极大值点D．函数有两个极值点8．如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，由图得到结论不正确的为（）A．性别与是否喜欢理科有关B．女生中喜欢理科的比为C．男生不喜欢理科的比为D．男生比女生喜欢理科的可能性大些9．某班微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名同学同时抢4个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，4个红包中有两个2元，两个5元(红包中金额相同视为相同的红包)，则甲、乙两人同抢到红包的情况有()A．36种 B．24种 C．18种 D．9种10．在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。若射线与曲线和曲线分别交于两点（除极点外），则等于（）A． B． C．1 D．11．已知，是双曲线的上、下两个焦点，的直线与双曲线的上下两支分别交于点，，若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．12．已知关于的方程为（其中），则此方程实根的个数为（）A．2 B．2或3 C．3 D．3或4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为，则该圆柱的侧面积为______．14．已知为自然对数的底数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数______.15．如果不等式的解集为，且，那么实数的取值范围是____16．已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则这两条平行直线之间的距离是．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值；(Ⅱ)若当时，恒有，试确定的取值范围；(Ⅲ)当时，关于x的方程f(x)＝0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b的取值范围．18．（12分）已知函数的定义域为，且对任意实数恒有（且）成立.（1）求函数的解析式；（2）讨论在上的单调性，并用定义加以证明.19．（12分）对某班50名学生的数学成绩和对数学的兴趣进行了调查，统计数据如下表所示：对数学感兴趣对数学不感兴趣合计数学成绩好17825数学成绩一般52025合计222850（1）试运用独立性检验的思想方法分析：学生学习数学的兴趣与数学成绩是否有关系，并说明理由．（2）从数学成绩好的同学中抽取4人继续调查，设对数学感兴趣的人数为，求的分布列和数学期望．附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828．20．（12分）设数列的前项和为，且满足.（1）若为等比数列，求的值及数列的通项公式；（2）在（1）的条件下，设，求数列的前项和.21．（12分）已知复数，若，且在复平面内对应的点位于第四象限.（1）求复数；（2）若是纯虚数，求实数的值.22．（10分）已知直线是抛物线的准线，直线，且与抛物线没有公共点，动点在抛物线上，点到直线和的距离之和的最小值等于2.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）点在直线上运动，过点做抛物线的两条切线，切点分别为，在平面内是否存在定点，使得恒成立？若存在，请求出定点的坐标，若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

根据题意可知有解,再根据二次函数的性质分析即可.【题目详解】由题,若函数存在单调递增区间,则有解.当时显然有解.当时,,解得.因为四个选项中仅.故选：D【题目点拨】本题主要考查了利用导数分析函数单调区间的问题,需要判断出导数大于0有解,利用二次函数的判别式进行求解.属于中档题.2、B【解题分析】

利用导数运算公式，对每个选项进行一一判断.【题目详解】对A，因为，故A错；对B，，故B正确；对C，，故C错；对D，，故D错.所以本题选B.【题目点拨】熟记导数公式，特别是复合函数的求导，即，不能漏了前面的负号.3、C【解题分析】

试题分析：，作图如下，可得所求概率,故选C.考点：1、复数及其性质；2、圆及其性质；3、几何概型.4、C【解题分析】试题分析：由题意得，，所以，当时，的最小值为，故选C.考点：向量的运算及模的概念.5、C【解题分析】分析：从中任意取出三台，其中至少要有“快译通”和录音机各1台，有两种方法，一是2台和1台；二是1台和2台，分别求出取出的方法，即可求出所有的方法数.详解：由题意知本题是一个计数原理的应用，从中任意取出三台，其中至少要有“快译通”和录音机各1台，快译通2台和录音机1台，取法有种；快译通1台和录音机2台，取法有种，根据分类计数原理知共有种.故选：C.点睛：本题考查计数原理的应用，考查分类和分步的综合应用，本题解题的关键是看出符合条件的事件包含两种情况，是一个中档题目.6、A【解题分析】

将绕边旋转到的位置，使得平面和平面在同一平面内，则到平面的距离即为的最小值，利用勾股定理解出即可．【题目详解】将绕边旋转到的位置，使得平面和平面在同一平面内，过点作平面，交于点，垂足为点，则为的最小值．，，，，，，，，故选A．【题目点拨】本题考查空间距离的计算，将两折线段长度和的计算转化为同一平面上是解决最小值问题的一般思路，考查空间想象能力，属于中等题．7、C【解题分析】

通过导函数的图象可知；当在时，；当在时，，这样就可以判断有关极值点的情况.【题目详解】由导函数的图象可知：当在时，，函数单调递增；当在时，，函数单调递减，根据极值点的定义，可以判断是函数的极大值点，故本题选C.【题目点拨】本题考查了通过函数导函数的图象分析原函数的极值点的情况.本题容易受导函数的单调性的干扰.本题考查了识图能力.8、C【解题分析】

本题为对等高条形图，题目较简单，逐一排除选项，注意阴影部分位于上半部分即可．【题目详解】解：由图可知，女生喜欢理科的占，故B正确；男生喜欢理科的占，所以男生不軎欢理科的比为，故C不正确；同时男生比女生喜欢理科的可能性大些，故D正确；由此得到性别与喜欢理科有关，故A正确．故选：．【题目点拨】本题考查等高条形图等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．9、C【解题分析】

分三种情况：（1）都抢到2元的红包（2）都抢到5元的红包（3）一个抢到2元，一个抢到5元，由分类计数原理求得总数。【题目详解】甲、乙两人都抢到红包一共有三种情况：（1）都抢到2元的红包，有种；（2）都抢到5元的红包，有种；（3）一个抢到2元，一个抢到5元，有种，故总共有18种．故选C．【题目点拨】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，是根据得红包情况进行分类。10、A【解题分析】

把分别代入和，求得的极经，进而求得，得到答案．【题目详解】由题意，把代入，可得，把代入，可得，结合图象，可得，故选A．【题目点拨】本题主要考查了简单的极坐标方程的应用，以及数形结合法的解题思想方法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11、D【解题分析】根据双曲线的定义，可得是等边三角形，即∴即

即又

0°即解得由此可得双曲线的渐近线方程为.故选D．【题目点拨】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质等知识，根据条件求出a，b的关系是解决本题的关键．12、C【解题分析】分析：将原问题转化为两个函数交点个数的问题，然后利用导函数研究函数的性质即可求得最终结果.详解：很明显不是方程的根，据此可将方程变形为：，原问题等价于考查函数与函数的交点的个数，令，则，列表考查函数的性质如下：++-++单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增函数在有意义的区间内单调递增，故的单调性与函数的单调性一致，且函数的极值绘制函数图像如图所示，观察可得，与函数恒有3个交点，即题中方程实根的个数为3.本题选择C选项.点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为，设正方体的边长为，则，解得该圆柱的侧面积为，故答案为.14、【解题分析】

由，求导，再根据点处的切线与直线平行，有求解.【题目详解】因为，所以，因为点处的切线与直线平行，所以，解得.故答案为：【题目点拨】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15、【解题分析】

将不等式两边分别画出图形，根据图像得到答案.【题目详解】不等式的解集为，且画出图像知：故答案为：【题目点拨】本题考查了不等式的解法，将不等式关系转化为图像是解题的关键.16、【解题分析】因为直线ax+y+2=0与双曲线的一条渐近线y=x平行，所以-a=2，(或者-a=-2),则a=-2,(a=2,)假设a=2,则利用平行线间距离公式解得为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是减函数，在(a,3a)上是增函数．，（Ⅱ）（Ⅲ）【解题分析】

（Ⅰ）求导，并求出函数的极值点，列表分析函数的单调性与极值，从而可得出函数的单调区间与极小值和极大值；（Ⅱ）由条件得知，考查函数的单调性知，得知函数在区间上单调递减，于是得出，解该不等式组即可；（Ⅲ）将代入函数的解析式，利用导数研究该函数在区间上的单调性，将问题转化为解出不等式即可得出实数的取值范围．【题目详解】（Ⅰ）．令，得x＝a或x＝3a.当x变化时，的变化情况如下表：x(－∞，a)a(a,3a)3a(3a，＋∞)－0＋0－↘极小↗极大↘∴在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是减函数，在(a,3a)上是增函数．当时，取得极小值，；当时，取得极大值，；（Ⅱ），其对称轴为.因为，所以.所以在区间上是减函数．当时，取得最大值，；当时，取得最小值，.于是有即.又因为，所以.（Ⅲ）当时，.，由，即，解得，即在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数．要使在[1,3]上恒有两个相异实根，即在(1,2)，(2,3)上各有一个实根，于是有即解得.【题目点拨】本题考查利用导数求函数的单调区间、利用导数求解函数不等式恒成立以及利用导数研究函数的零点，解题时注意这些问题的等价转化，在处理零点问题时，可充分利用图象来理解，考查化归与转化、数形结合的数学思想，属于中等题．18、（1）（2）当时，在上为单调减函数；当时，在上为单调增函数.【解题分析】试题分析：（1）①，用替换①式中的有：②，由①②消去即可得结果；（2）讨论两种情况，分别利用复合函数的单调性判断其单调性，再利用定义意且，判定的符合，即可证明结论.试题解析：（1）∵对任意实数恒有：①，用替换①式中的有：②，①×②—②得：，（2）当时，函数为单调减函数，函数也为单调减函数，∴在上为单调减函数.当时，函数为单调增函数，函数也为单调增函数，∴在上为单调增函数.证明：设任意且，则，∵，，①当时，则，∴∴在上是减函数.②当时，则，∴∴在上是增函数.综上：当时，在上为单调减函数；当时，在上为单调增函数.19、（1）有99.9%的把握认为有关系，理由详见解析；（2）分布列详见解析，数学期望为2.72【解题分析】

根据表中数据计算观测值，对照临界值得出结论；

由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列和数学期望值．【题目详解】（1）．因为，所以有99.9%的把握认为有关系．（2）由题意知，的取值为0，1，2，3，1．因为，．所以，分布列为01231所以，．【题目点拨】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列应用问题，是中档题．20、（1），；（2）.【解题分析】

（1）利用和关系得到，验证时的情况得到，再利用等比数列公式得到数列的通项公式.（2）计算数列的通项公式，利用分组求和法得到答案.【题目详解】（1）当时，，当时，，与已知式作差得，即，欲使为等比数列，则，又.故数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以.（2）由（1）有得..【题目点拨】