线代及习题线性代数参

信息学院本科2010－2011学年第一学期线性代数课程期末考试试卷（A卷）专业年级学号姓名成绩说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，O是零阵,A−1表示可逆矩阵A的逆矩阵,|A|表示方阵A的行列式,,表示向量,的内积一.客观题小题为判断题，在对的后面括号中填“√”的后信息学院本科2010－2011学年第一学期线性代数课程期末考试试卷（A卷）专业年级学号姓名成绩说明：AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，O是零阵,A−1表示可逆矩阵A的逆矩阵,|A|表示方阵A的行列式,,表示向量,的内积一.客观题小题为判断题，在对的后面括号中填“√”的后面括号中填“”，4−8为单选题，将正确选项前的字母在括号中每小216分 阶实对称矩阵的特征根必为实数若矩阵B具有AX=0与BX=0是同解方程组((√))0的全部解构成线性Rn的一非齐次线性方程组子空间A()6阶行列式展开式的各项中，取”（）a11a26a32a24a15a23a32;;a51a32a13a44;D)α、β是相互正交n维实向量，则下列式中错误的是2222设是齐次线性方程组=0的基础解系12A（C） C.A. B.1D.1 7.nAB等价，则必（C）AAB0BA19BC.A）8.An阶方阵，AB0B0，则必有（C的列的列D．A二、行列式计算（1628分233215110202231）8.An阶方阵，AB0B0，则必有（C的列的列D．A二、行列式计算（1628分23321511020223114 2101111211120C2－C1 1＝4＝解：原式01134其中过程占4分，结果占2n1123nn234nnnn1100n100011121110n010解：原＝(1)（n(n1)(n2)21)n＝(1) 1100其中过程占6分，结果占分0 31设矩X满足 10 31设矩X满足 1000X 10 求矩阵(8分解：因为矩阵1000011都是初等矩阵，可逆，所以0其中矩阵求逆占分，其它过程占2分，结果2231x1 1232性方程2x 03 （1）当 取何值时，方程组无解，有解（本13分231231x1 1232性方程2x 03 （1）当 取何值时，方程组无解，有解（本13分23112111r21r30201(3)(1r(（5分132则当1时，R(A)＝2（2分方程组无当1时，R(A)=R(B),方程组有（1分当 3时，R(A)=R(B)＝2，方程组有无穷多解。此时B2013010107031（1分0 0x3为自由未知量，则x3＝0时，x1=3,x2=-即方程组有一个特解（1分取x3＝1，方程组导出组的基础解系为（2分7 3 （1分则方程组的通解为：＝k31，（k 10 2231且 2231且0 1 2；P12310试求：(1)基1，2，3(2)1,2,3123下有相同坐标的全体（本12分6 1 111，28，3－28 1 （2）xAxAPxA(PE)x0A为可逆矩阵，得(PE)x2131010 (PE)2101xkT故k(123kT59使下f(x,x,x)2x22x24x1x24x1x38x22 123并说明该二次型的类型（正定、负定、半正定、半负定、不定（本15分14122A|AE(2)2(使下f(x,x,x)2x22x24x1x24x1x38x22 123并说明该二次型的类型（正定、负定、半正定、半负定、不定（本15分14122A|AE(2)2(442242因此得到其特征值为12237。解方程组A2E)x0，得对应于特征值为122 ，。123(A7E)x得对应于特征值为解方程组的一个特征向量。31 p 0，正，12145p245 pp1225，，13521325550453323f2y22y27y312A为n阶(n>2)可逆矩阵，为nb 0EpT,Q记分块矩阵 b,其A*A的伴随矩阵。E为n(9分(1)计算并化简PQ(2)证明Q可逆的充要条件是A为n阶(n>2)可逆矩阵，为nb 0EpT,Q记分块矩阵 b,其A*A的伴随矩阵。E为n(9分(1)计算并化简PQ(2)证明Q可逆的充要条件是'A1bE0ATbATA*Ab A(bTA1)（5分（2）Q（1分QA0，则AE0A0（2分0，如0，则PATAA2(bTA1)因此，QA(bAT00，所以Q可逆的充要条件是A1b（2分又因A、设A1,2、设A1,2,,LB:12,Spqpq，试证A可由B线性表示(8分AA1(p个向量)向量B的极大线性无关B1(q个向量)（2分）由极大线性无关组的性质，B可由B1线性表示。A1AAB线性表示，所又因pB线性表示。也可以由B1线性表示A1是线性无关的向量组，所以（4分（2分89ATT九、设α，β是3ATT九、设α，β是3维列向量，矩证明：(1)A的秩R（A）≤(2)α，β（本5分证明（1）α，β3维列向量R(α)≤1,R(β)R(αTR(β