专项突破：三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型（解析版）

2/2专题三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型目录A题型建模・专项突破TOC\o"1-2"\h\u题型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 1题型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 3题型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 6B综合攻坚・能力跃升题型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型1．如图，从纸片中剪去，得到四边形．如果，那么度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据平角的定义得出，再根据三角形内角和定理得出答案．【详解】解：∵，∴，∴．故选：B．2．如图，将纸片沿折叠，点A落在点F处，已知，则度；【答案】50【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题）．解题时注意挖掘出隐含于题中的已知条件：三角形内角和是、平角的度数也是．根据折叠的性质可知，利用平角是，求出与的和，然后利用三角形内角和定理求出的度数．【详解】解：将纸片沿折叠，点落在点处又，故答案为：503.如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.

(1)若，①求的度数；②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数.(2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由；(3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系.【答案】(1)①；②(2)，理由见解析(3).【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形外角性质，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识是正确解答的关键．（1）①根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可；②根据①的结论即可解答；（2）由（1）的结论以及三角形内角和定理即可解答；（3）由（2）的结论可得，再根据三角形内角和定理进行解答即可．【详解】（1）解：①如图1，∵，∴，∵，∴；②由①方法可得：．（2）解：，理由如下：由（1）可得．∵，分别平分和，∴，∴，∴．（3）解：，理由如下：由图2可得，，∵，分别平分和，∴，∴，∴．题型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型4．如图，，垂足为E，，，则．【答案】22【分析】此题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点．首先根据三角形内角和定理求出，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可．【详解】解：∵，，∴∵∴∴．故答案为：22．5．如图1，线段相交于点，连接，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题．(1)如图1，试说明：．(2)如图2，若，，求的度数．(3)在图2中，若，，直接写出的度数（用含的代数式表示）．【答案】(1)见解析(2)；(3)【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理的应用、角平分线的定义等知识，掌握利用三角形的内角和定理解决“8字形”中的角度问题是解题的关键．（1）利用三角形的内角和定理与对顶角相等可得结论；（2）由（1）可得，，再两式相加，结合角平分线的定义可得，再把，代入计算即可得到答案；（3）由（1）可得，，再两式相加，结合角平分线的定义可得．【详解】（1）证明：∵，又∵，∴；（2）解：由（1）可得，①，②，∵和的平分线和相交于点，∴，，由①+②，得，即，又∵，，∴，∴；（3）解：由（1）得①，②，∵和的平分线和相交于点，∴，，由，得，∵，，∴．6．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图①，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”．(1)问题发现：如图①，试证明：；(2)拓展研究：如图②，若和的平分线和相交于点，与，分别交于点，．①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：______；______；②若，，求的度数（用含，的代数式表示）；(3)解决问题：在（2）的条件下，若与分别平分与，与交于点，且，请直接写出的取值范围．【答案】(1)见解析(2)①，；②(3)【分析】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，平角的定义，角平分线的定义，对顶角相等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）根据，，即可证明；（2）①结合对顶角相等以及三角形内角和，可得到，；②根据角平分线，可知，，由(1)得，，推出，从而得出答案；（3）结合角平分线以及平角，得出，然后根据四边形内角和，得到，然后解不等式即可得到的取值范围．【详解】（1）证明：，，；（2）解：①，，；，，；故答案为：，；②如图所示：和的平分线和相交于点，，，由(1)得，，，．，，；（3）解：，理由如下：与分别平分与，，，和的平分线和相交于点，，，，，，，，，，四边形，，，，，，，，，．题型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型7．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，小军借助几何画板设计了“鱼形”图案，由四边形和组成．已知在中，，，，，则的度数是（）A．65° B．55° C．45° D．35°【答案】B【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，本题先求解，再利用平行线的性质证明，，从而可得答案．【详解】解：延长交于点H，如图所示：∵，，∴，∵，，∴，，∴．故选：B．8．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，①如图，请直接写出与、、之间的关系：

②如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，直接写出的结果；③如图，平分，平分，若，，求的度数；【答案】①；②；③．【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理和外角的性质是解答此题的关键．①作射线，根据三角形的外角的性质可得结论：；②先根据三角尺可知：，根据的结论可得：，从而得结论；③先根据第①题的结论可得：的度数，由角平分线可得：，从而得结论．【详解】解：①，理由如下：过点、作射线，，，，即，故答案为：；②，由①知：，，；③，，，平分，平分，，，，．9．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系．（1）如图1，探究、、、之间的数量关系，并证明：（2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题：【类比探究】①如图2，已知，求的度数；【拓展延伸】②如图3，已知，求的度数．【答案】（1），证明见解析；（2）①；②．【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问题．（1）连接，并延长至点，利用三角形的外角求解即可；（2）连接，利用（1）中结论可得，，结合已知可求解；（3）在直线上取一点，连接，利用（2）中结论可得，再利用平行线的性质可得，进而得到即可求解．【详解】解：（1）．证明：如图，连接，并延长至点，∵，，∵∴∴；（2）①如图，连接，由（1）可知，，∵，，∴，∴，∴；②如图，在直线上取一点，连接，由①可知，∵∴∵∴∴∴．一、单选题1．如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查邻补角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．先根据邻补角性质求得，再根据三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，故选：C．2．小枣一笔画成了如图所示的图形，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，由三角形外角的性质可得，则可求出，由平角的定义和三角形外角的性质可得．【详解】解：如图所示，∵，∴，∵，∴，∴，故选：B．3．如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答．【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°∴140°-90°=50°故选C．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．二、填空题4．如图，在中，，剪去得到一个四边形，则的度数为．【答案】/250度【分析】本题考查多边形的内角和问题，先根据三角形的内角和定理求得，再根据四边形的内角和为求解即可．【详解】解：∵在中，，∴，∵，∴，故答案为：．5．如图，，垂足为E，与相交于，，，则．【答案】/80度【分析】此题主要考查三角形的角度计算，三角形内角和定理，根据，可得，则，再根据三角形内角和为180度可求出．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：．6．如图，．【答案】【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据三角形外角的性质可得，则由三角形内角和定理可得答案．【详解】解；∵，∴．故答案为：．三、解答题7．如图1，为直角三角形，．的两顶点B，C分别在直角边，上，且P点在内．(1)若，则______度，______度；(2)如图2，连接，若，试说明平分；(3)请判断点P是否满足平分且平分，并说明理由．【答案】(1)；(2)见解析(3)不能满足平分且平分【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质及角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和为是解题关键．（1）连接并延长到点G，利用三角形内角和定理，三角形的外角和定理，角的和证明即可．（2）连接并延长交点G，根据结论（1），结合角的平分线定义解答即可．（3）根据平分且平分，则，故，故，不满足三角形内角和定理，解答即可．【详解】（1）连接并延长交点G，根据题意，得，∵，∴．∵，，∴，，故答案为：140,50．（2）解：连接并延长交点G，根据题意，得，∵，∴．∵，,∴，∴，∴，故平分．（3）解：不能满足平分且平分．若平分且平分，则，故，故，不满足三角形内角和定理，故不能满足平分且平分．8．【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，与分别为的两个外角，则．【推理证明】∵与分别为的两个外角，∴______，______，∴______．∵，∴．【初步应用】（1）如图②，在纸片中剪去，得到四边形，若，则的大小为______度．（2）如图③，在中，、分别为外角、的平分线，则与的数量关系，并说明理由．【拓展提升】（3）如图④，在四边形中，、分别为外角、的平分线，若，求的度数．【答案】【推理证明】见解析；【初步应用】（1）；（2）；【拓展提升】．【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角性质，三角形内角和定理，理解相关知识是解答关键．【推理证明】由三角形外角性质得，，再求与的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证；【初步应用】（1）由进行变形为即可求解；（）由角平分线的定义得，，再由三角形内角和定理得出，然后把代入即可求解；【拓展提升】（3）延长、交于点，先求，再把代入即可求解．【详解】证明：【推理证明】∵与分别为的两个外角，∴，，∴．∵，（三角形内角和定理）∴．故答案为：；解：（1）∵，∴，故答案为：；（2）∵、分别为外角、的平分线，∴，，∴，∵，∴；（3）如图所示，延长、交于点，∵，，∴，∴．9．【认识模型】（1）如图①，相交于点O，连接，可以得出四个角之间的等量关系是；（直接写结果）【应用模型】（2）如图②，相交于点A，为的平分线，交于点H，为的平分线，交于点G．写出间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图③，求的度数．【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和定理是解题的关键．（1）根据三角形内角和定理可得，再由即可得到结论；（2）由角平分线的定义可得，同（1）可得，，把两式相加即可得到结论；（3）令的交点为O，连接，连接并延长交于点H，同（1）可得，再证明即可得到答案．【详解】解：（1）∵，，∴；（2），证明如下：∵平分平分，∴，同（1）可得，，∴∴；（3）如图，令的交点为O，连接，连接并延长交于点H，同（1）可得，∵（可把四边形的内角和看成两个三角形的内角和），，∴，∵，∴．10．如图所示的图形，像我们常见的符号−−箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．(1)探究：观察“箭头四角形”，试探究图中与，，之间的关系，并说明理由；(2)应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：如图，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______；如图，，的三等分线，相交于点，若，，求的度数．【答案】(1)，理由见解析；(2)；．【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键．（）根据三角形的内角和定理即可求解；（）根据（）中结论即可求解；设，，根据（）中结论即可求解．【详解】（1）解：，理由：连接，在中，∵，∴，在中，∵，∴，∴，即；（2）解：由（）得，∵，，∴，故答案为：；如图，设，，由（）可知，，∴，∵，∴．11．（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：．（2）如图（2），分别平分，若．求的度数．（3）如图（3），直线平分平分的外角，猜想与的数量关系是______；（4）如图（4），直线平分的外角平分的外角，猜想与的数量关系是______．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根据三角形的内角和等于和对顶角的性质即可得证；（2）设，，解方程即可得到答案；（3）根据直线平分，平分的外角，得到，从而可以得到，再根据，得到即可求解；（4）连接,求得，，再根据，，，，即可求解．【详解】解：（1）如图.

，，．，；（2）如图.

，分别平分，，设，，则有，，（3）如图.

直线平分，平分的外角，，，∴，∴∵∴∴∴，即．（4）连接

直线平分的外角，平分的外角，，，∵，∴同理得到：∴∴∵180°，∴，【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．12．如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：(1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由；(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果；②如图3，平分，平分，若，求的度数；③如图4，的10等分线相交于点，若，求的度数．【答案】(1)，见解析(2)①；②；③【分析】（1）首先连接并延长，然后根据外角的性质，即可判断出；（2）①由（1）可得，然后根据，，即可求出的值；②由（1）可得，再根据，求出的值；然后根据，即可求出的度数；③设，，结合已知可得，，再根据（1）可得，，即可判断出的度数．【详解】（1）解：，理由如下：如图，连接并延长．根据外角的性质，可得，，又∵，，∴，故答案为：；（2）①由（1）可得，∵，，∴；②由（1）可得，∴，∴，∴；③设，，则，，则，，解得，所以，即的度数为．【点睛】此题还考查了三角形的外角的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．13．“8”字模型是初中数学中常见模型之一，掌握了这种模型，给同学们解答几何题带来很大的便捷．(1)初识模型：如图1，是我们常见的“8”字模型图，它的结论是，请你给予证明．(2)模型求解：如图2，线段在四边形内部，连接、，相交于点O，请借助“8”字模型的结论求：的度数．(3)构造模型：如图3，是我们常见的“五角星”，请你添加辅助线，借助于“8”字模型求出的度数．(4)模型应用：我们可以利用连接多边形的某些对角线画出类似于“五角星”的“六角星”、“七角星”、“八角星”等，如图4“七角星”的七个内角和：________；猜测“n角星”的n个内角的和为_________（用含n的式子表示）．【答案】(1)证明见解析(2)(3)(4)540；【分析】（1）根据“三角形内角和是“，进行等量代换即可求解；（2）利用“8”字模型和四边形内角和进行计算即可；（3）连接，构造三角形和“8”字模型即可求解；（4）连