2024年教师资格证考试-中学教师资格证数学(统考)历年考试高频考点试题附带答案

2024年教师资格证考试-中学教师资格证数学(统考)历年考试高频考点试题附带答案（图片大小可自由调整）第1卷一.参考题库(共25题)1.某老师在设计“函数单调性”一节的教学设计时，教学目标之一为“理解函数单调性概念”。请问这样设计是否合适？理由是什么？如果不合适，请你给予改进。2.教师为了引导学生注意，激发学生学习动机，调动学生积极情感而采用的教学策略是（）。A、整体性策略B、问题性策略C、情境性策略D、过程性策略3.在△ABC中，已知A，B，C对应的边分别为a，b，c，且∠C=2∠A，， （1）求cosC和cosB的值； （2）当时，求a，b，c的值。4.求下列极限： （1）；（2）5.不等式组的解集是（）。A、{x｜02B、{x｜0C、D、{x｜06.设f（x），g（x）在[a，b]上连续，且满足 7.设，且a≠b，记｜a-b｜=m，求a-b与x轴正方向的夹角的余弦值。8.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（）。A、4B、2C、2D、9.请从“过程与方法”的角度，阐述为什么要在统计的教学中强调案例教学。10.若，则在S1，S2，……，S100中，正数的个数是（）。A、16B、72C、86D、10011.从2，3，4，7，9这五个数字任取3个，组成没有重复数字的三位数。 （1）这样的三位数一共有多少个？ （2）所有这些三位数的个位上的数字之和是多少？ （3）所有这些三位数的和是多少？12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、DC1的中点，则直线OM（）。A、是AC和MN的公垂线B、垂直于AC，但不垂直于MNC、垂直于MN，但不垂直于ACD、与AC、MN都不垂直13.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润。 （1）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）； （2）求η的分布列及期望Eη。14.在（1-x）5-（1-x）6的展开式中，含x2的项的系数是（）。A、-5B、5C、-10D、1015.已知曲线x2+2y2+4x+4y+4=0按向量a=（2，1）平移后得到曲线C。 （1）求曲线C的方程； （2）过点D（0，2）的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设，求实数λ的取值范围。16.已知正数x，y，z满足x+y+z=xyz，且不等式恒成立，求λ的范围。17.下列命题正确的是（）。A、经过两条直线有且只有一个平面B、经过一条直线和一个点有且只有一个平面C、如果平面α与β有三个公共点，则两个平面一定是重合平面D、两个不重合的平面α、β有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线18.案例：阅读下列两位教师的教学过程。 教师甲的教学过程： 师：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障。这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？ 如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多。每查一个点要爬一次10km长的电线杆子，大约有200多根电线杆子呢。想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？ 生1：直接一个个电线杆去寻找。 生2：先找中点，缩小范围，再找剩下来一半的中点。 师：生2的方法是不是对呢？我们一起来考虑一下。 如图，维修工人首先从中点C查，用随身带的话机向两个端点测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查。每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，如此查下去，不用几次，就能把故障点锁定在一两根电线杆附近。 师：我们可以用一个动态过程来展示一下（展示多媒体课件）。 在一条线段上找某个特定点，可以通过取中点的方法逐步缩小特定点所在的范围（即二分法思想）。 教师乙的教学过程： 师：大家都看过李咏主持的《幸运52》吧，今天咱也试一回（出示游戏：看商品、猜价格）。 生：积极参与游戏，课堂气氛活跃。 师：竞猜中，"高了"、"低了"的含义是什么？如何确定价格的最可能的范围？ 生：主持人"高了、低了"的回答是判断价格所在区间的依据。 师：如何才能更快的猜中商品的预定价格？ 生：回答各异。 老师由此引导学生说出"二分法"的思想，并向同学们引出二分法的概念。 问题： （1）分析两种情景引入的特点。 （2）结合案例，说明为什么要学习用二分法求方程的近似解。19.在空间直角坐标系中表示（）。A、一个点B、两条直线C、两个平面的交线，即直线D、两个点20.下列关于高中数学课程的变化内容，说法不正确的是（）。A、高中数学课程中的向量既是几何的研究对象，也是代数的研究对象B、高中数学课程中，概率的学习重点是如何计数C、算法是培养逻辑推理能力的非常好的载体D、集合论是一个重要的数学分支21.已知数列{an}中，a1=1，且 （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列{an}的通项公式。22.在a>0，b>0的条件下，，其中正确的个数是（）。A、0B、1C、2D、323.阅读下面“函数的图象”一节的问题情境创设，分析其中存在的问题。 平均变化率 一、问题情境演示实验。将热水通过虹吸管从锥形瓶中输入盛有少量冷水的烧杯，利用温度传感器探测烧杯中的水温，同时通过数据采集器在屏幕上绘制温度随时间变化的曲线。 问题1：实验中有哪些变化？ 问题2：观察图象，曲线有哪些特点？ 问题3：选定两段曲线AB、BC，如何用数量来刻画曲线的陡峭的程度？ 二、学生活动与师生互动24.若方程有解，则a的取值范围是（）。A、a>0或a≤-8B、a>0C、D、25.如何理解高中数学课程的过程性目标？第2卷一.参考题库(共25题)1.已知命题，则是（）。 A、AB、BC、CD、D2.设，求集合A与B之间的关系。3.论述在高中课程教学中，为什么概率的教学，要安排在排列、组合知识学习之前？4.针对“点到直线的距离公式”，有两位老师分别设计了以下两个教学片段。请你分析哪一个教学情境更好。 （一）师：一条河的两岸可以看成平行的直线，某人在岸边要驾驶船到对岸，请问，他应该选择在哪个位置到对岸，才能以最短的路径实现目的？ 生：随便那个位置都可以，因为岸的一边上任意点到对岸的距离都相等。 师：为什么？ 生：感觉。 师：这种感觉很好，但我们应该给予证明。今天，我们就来学习点到直线的距离公式。 …… （二）师：前面我们学习了平面上两直线的位置关系：平行与相交。当两直线相交时，我们采用角来刻画它们的“相交程度”。那么，如果两直线平行时，我们采用什么方法来刻画呢？（师平行地拿两支笔进行远近移动） 生：距离。 师：什么意思？ 生：你刚才在比划，给我们一个感觉，两平行直线有远和近的区别。 师：好，那么怎样刻画两直线的距离呢？ 生甲：作任意一条直线与两直线都垂直，被它们所截得的线段长度都相等，这个长度我们就定义为两平行线的距离。 师：很好！但要说明怎么作任意直线与两直线都垂直，还有别的什么方法？ 生乙：其实，两平行直线上的一点到另一条直线的距离相等，这个距离可以定义为两平行直线间的距离。 师：很好！为了研究两平行直线的距离，我们可以选择甲和乙的办法，大家看，该选择哪个办法？ 生丙：选择甲，因为点到点的距离最原始。 生丁：选择乙，因为点到直线的距离也是通过点到点的距离来刻画的，如果能够得到点到直线的距离，可以少走弯路。 师：两位同学的构思都有道理，那么，我们就合二为一。今天，我们就开始学习点到直线的距离。 ……5.为什么在数学教学中要贯彻理论与实际相结合的原则？6.（）是学生在教师的指导或鼓励下，通过类比、归纳、质疑和反思等思维活动，亲自去探索和发现数学的概念、定理、公式和解题方法等的一种教学方法。A、发现式教学法B、讲解式教学法C、自学辅导法D、讨论式教学法7.高中课程的算法与计算机课程的算法有何差异？8.高中"等差数列"设定的教学目标如下： ①通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式； ②能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题，体会等差数列与一次函数的关系： ③让学生对日常生活中的实际问题进行分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念：由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。完成下列任务： （1）根据教学目标①，给出至少三个实例，并说明设计意图； （2）根据教学目标②，设计至少两个问题，让学生用等差数列求解，并说明设计意图； （3）确定本节课的教学重点； （4）作为高中阶段的重点内容，其难点是什么？ （5）本节课的教学内容对后续哪些内容的学习有直接影响？9.以三角形为例，说明教学过程中设计开放性问题的作用。10.正三棱锥的底面边长是2cm，侧棱与底面成60°角，求它的外接球的表面积。11.有位学生说，在考试中不考建模，就没必要学习建模了。请谈谈你对这种观点的看法。12.若展开式中含项的系数与含项的系数之比为-5，则n等于（）。A、4B、5C、6D、1013.以几何学习为例，说明在这个学习过程中是如何体现合情推理与演绎推理的。14.举例说明高中数学内容在现实生活中的原型。15.设则必有（）。A、AP1P2=BB、AP2P1=BC、P1P2A=BD、P2P1A=B16.针对“函数的图象”中有关图象变换的问题，很多学生抓不住相位变换的实质，请你对此设计几个问题，通过设问使学生能更好的掌握。17.简述新课程标准中对于评价的要求。18.四面体的顶点和各棱的中点共10个点。 （1）设一个顶点为A，从其他9点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有多少种？ （2）在这10点中取4个不共面的点，不同的取法有多少种？19.根据新课程标准的要求，论述如何选择合适的素材帮助学生掌握集合的性质与运算。20.已知A，B均是n阶矩阵，A2=A，B2=B，（A+B）2=A+B，证明AB=0。21.下列关于高中数学课程中促进多元化评价的说法不正确的是（）。A、评价应以尊重被评价对象为前提，评价主体要参与学校数学教育活动，并注意主体间的沟通B、定性评价可采取评语或成长记录等形式，评语或成长记录中应使用激励性语言全面、客观地描述学生的状况C、要重视学生做数学的过程，充分发挥数学作业在学生评价中的作用D、不提倡使用计算器、计算机等现代教育技术手段在评价学生学习中的运用22.下面是互联网上的一段对话，请对甲、乙学习集合的情况进行简要点评。 甲：“刚接触集合一头雾水，大家把在学习集合时的疑与难说些给我听吧！” 乙：“理解集合，通俗地说，就像要把一个小区的垃圾，分放到小区设立的不同垃圾桶里面。垃圾是可以分类的，有的可以回收利用，可回收的垃圾主要包括：纸类、塑料类、金属类、泡沫类、玻璃类等。每一类都是一个集合，每一件垃圾都是某集合的元素。集合申元素的互异性、无序性、确定性就不用说了，晓得就行。某类垃圾就是我们书写集合的那个框框而已，就这么简单。至于子集、全集、补集单从词义上就可以理解。实在不行，打开书反复看，总会理解其内涵的。” 几天后 甲：“自学了N天，感觉也不难了。呵呵！”23.旋转曲面是（）。A、xOy平面上椭圆绕y轴旋转成的椭球面B、xOy平面上椭圆绕x轴旋转成的椭球面C、xOz平面上椭圆绕y轴旋转成的椭球面D、xOz平面上椭圆绕z轴旋转成的椭球面24.“大于”与“小于”这两个概念属于（）关系。A、矛盾关系B、对立关系C、从属关系D、同一关系25.试论述把算法加入数学课程的原因。第3卷一.参考题库(共25题)1.案例：某教师在对基本初等函数进行教学时，给学生出了如下一道练习题： 问题：（1）指出该生解题过程中的错误，分析其错误原因； （2）给出你的正确解答； （3）指出你在解题时运用的数学思想方法。2.下面是一段关于先学函数还是先学映射的讨论。根据《新课标》的要求，谈谈你对这一问题的认识。 甲：从去年开始，高一教材安排的是先讲函数概念，后讲映射概念。而以往教材是先讲映射，后讲函数。我个人认为改动的必要性不大。 乙：先讲映射，再讲函数，这样做教师比较熟悉，心理上容易接受；先讲函数再讲映射，可能立意于从初中函数入手，是从学生角度考虑问题。但哪个好，还说不清楚，需要经过实践检验。 丙：先学映射后学函数，是从一般到特殊。先讲函数后讲映射，是从特殊到一般，更符合认识的规律。 丁：还是先讲函数的好，函数是映射的特殊形式啊！这样也符合数学中从特殊到一般的规律。 戊：我个人觉得，先学映射，后学函数比较好。我觉得，学习函数概念，不比学习映射简单多少。还不如把一般的东西学好，再学习一些特例。（就像你学了函数概念后，再慢慢学一次函数、二次函数。）我个人学其他东西也喜欢先学基础的，再学具体的。 己：不用那么严格区分哪个先，哪个后，只要不一起讲就行。以前我们读书时是先映射后函数，也不是过来了吗？现在倒过来讲，没觉得学生不舒服啊。 庚：对基础较好的学生，我认为先讲映射好一些，对基础不太好、理解能力较弱的学生，先讲函数好一些。 辛：我认为先讲函数好。时代在进步，以往的教材符合过去的时代，现的教材符合现在孩子的心理，先讲函数孩子们不会感到陌生，反而觉得很亲切，这样学起来才有信心和动力。3.高中"方程的根与函数的零点"（第一节课）设定的教学目标如下： ①通过对二次函数图象的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具体到抽象思想，领会函数零点与相应方程实数根之间的关系， ②理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系。 ③通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，使学生理解动与静的辨证关系。掌握函数零点存在性的判断。 完成下列任务： （1）根据教学目标，设计一个问题引入，并说明设计意图； （2）根据教学目标①，设计问题链（至少包含三个问题），并说明设计意图； （3）根据教学目标③，给出至少一个实例和三个问题，并说明设计意图； （4）确定本节课的教学重点； （5）作为高中阶段的基础内容，其难点是什么？ （6）本节课的教学内容对后续哪些内容的学习有直接影响？4.若A，B是正交矩阵，则下列说法错误的是（）。A、AB为正交矩阵B、A+B为正交矩阵C、ATB为正交矩阵D、AB-1为正交矩阵5.直线3x-4y-9=0与圆x2+y2=4的位置关系是（）。A、相交且过圆心B、相切C、相离D、相交但不过圆心6.（）是教学的基础。A、上课B、课外工作C、备课D、考试7.Rt△ABC中，∠C=90°，BC=36，若平面ABC外一点P与平面A，B，C三点等距离，且P到平面ABC的距离PH为80，M为AC的中点。 （1）求证：PM⊥AC； （2）求P到直线AC的距离； （3）求PM与平面ABC所成角的正切值。 8.设函数z=x2y，则等于（）。A、1B、2C、1+D、2+9.为什么说几何是认识和描述现实世界空间与图形关系的重要工具？10.举例说明在高中数学课程中，如何利用整体性质讨论方程的近似解。11.已知数列为等差数列，且，则（）。A、2B、C、1D、12.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5。现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件。求此样本的容量n。13.对数学基础知识的评价，要变侧重于对知识单纯的形式化背记为侧重于理解基础上的认识和记忆，评价学生能否利用概念来分析和说明问题。请举例说明这一点。14.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（）上为减函数的是（）。A、y=cos2xB、y=2｜sinx｜C、D、y=cotx15.下列说法中不正确的是（）。A、选择性是整个高中课程的基本理念B、在教学中，教师要帮助学生养成良好的学习习惯C、在教学过程中，结果是最重要的，老师要时刻关注学生的学习成绩D、新课程标准强调数学文化的重要作用16.设a是数域P中一个固定的数，要使是Pn的子空间，则必有（）。A、a=0B、a≠0C、a≤0D、a≥017.设幂级数的收敛半径分别为与，则幂级数的收敛半径为（）。A、5B、√5/3C、1/3D、1/518.已知，， （1）求tan2α的值： （2）求β。19.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）。A、等腰直角三角形B、直角三角形C、等腰三角形D、等边三角形20.已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等负实根。q：方程4x2+4（m-2）x+1=0无实根。若p或q为真，p且q为假。求实数m的取值范围。21.已知集合，求。22.若定义在（-1，0）内的函数，则a的取值范围是（）。 A、AB、BC、CD、D23.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且点A在直线l上。 （1）求α的值及直线ι的直角坐标方程： （2）圆c的参数方程为，试判断直线l与圆C的位置关系。24.数学建模属于（）试题类型。A、客观性B、探究性C、开放性D、应用性25.已知a>1，设命题p：a（x-2）+1>0，命题q：（x-1）2>a（x-2）+1。试寻求使得p、q都是真命题的x的集合。第1卷参考答案一.参考题库1.参考答案: 不合适。这一陈述中“理解”的含义不清，难以作为判断学生是否已经“理解”的标准，实际上“理解”的基本含义是学生能用概念做出判断。因此可以改述为：能给出增函数、减函数的具体例证和图象特征；能用函数单调性定义判断一个函数的单调性。2.参考答案:B3.参考答案: 4.参考答案: 5.参考答案:C6.参考答案: 7.参考答案: 8.参考答案:B9.参考答案: 与传统的数学教学不同的是，新课程标准要求通过大量的实际案例来讲授统计，希望学生通过实际问题的解决来理解统计的思想，而不是死背公式和概念。这就要求学生掌握解决统计问题的全过程，这也是整个中学统计教学的一个指导思想。之所以如此，是因为处理统计问题的思维方式和传统的数学思维方式有所不同，传统的数学更强调演绎推理，而统计是根据具体数据概括出来的，更强调归纳的过程。在统计教学中，通过收集数据、利用图表整理和分析数据，求出数据的数字特征、进行统计推断，这就是通过对数据的处理，归纳出数据特征的过程。在高中阶段，学习统计不是从定义定理出发，而是从具体的实例出发，这有助于帮助学生了解和掌握解决一个统计问题的全过程：提出统计问题、收集信息、整理信息、从中提取信息并说明问题。因此，要特别注重统计的过程，即让学生经历“收集数据一整理数据一分析数据一作出推断”的数据处理全过程，在此过程中学习一些数据处理的方法，运用所学的知识和方法去解决实际问题，并培养学生归纳思维的能力。10.参考答案:C11.参考答案: 12.参考答案:A13.参考答案: （1）由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”。 则表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”， 。 （2）η的可能取值为200元，250元，300元， η的分布列为 Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240。14.参考答案:D15.参考答案: 16.参考答案: 17.参考答案:D18.参考答案: （1）甲教师从实际问题入手，利用计算机演示用二分法思想查找故障发生点，通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法，说明二分法原理源于现实生活，并在现实生活中广泛应用。乙教师利用视频与游戏的形式，学生会踊跃参与；商品价格竞猜也是学生熟悉的，竞猜的方法多样，可以进行竞赛；通过问题，启发学生寻找确定区间的依据，为后面探索"用二分法求方程近似解"埋下伏笔。 （2）首先，新课程标准强调函数的应用，用二分法求方程的近似解体现了函数在数学其他方面的应用。概括来说，函数应用表现在两个方面，一是在数学其他方面的应用；二是在其他科学领域和实际问题中的应用。其次，二分法简便而又应用广泛，用在求方程的近似解方面是依据了方程解存在的重要结论，即函数的应用。二分法求方程的解这一内容也是函数思想存在的一个良好载体。二分法还是数学必修3中算法学习的一个铺垫。在教学中可以用框图表示二分法求方程近似解的流程。再次，二分法朴素地体现了数学逼近的过程，二分法虽然简单，但包含了许多以后可以在其他地方运用和推广的朴素的思想，如"整体一局部"、"定性一定量"、"精确一近似"、"计算一技术"等。这些数学思想发展的过程，具有萌发数学思想的数学教育价值。19.参考答案:C20.参考答案:B21.参考答案: 22.参考答案:C23.参考答案: 本节课中的实验不仅没有任何积极意义，反而转移了学生的注意力，并且掩盖了思维活动。因为面对变化的现象，想到用函数的图象来考察这个变化是有一个思考、探索、认定的过程的。可是在上面的教学设计中，这个过程都被电脑绘出的曲线掩盖了，因而，这样的问题情境是无效的.24.参考答案:D25.参考答案: 把"过程与方法"作为课程目标是本次课程改革最大的变化之一。在以前的《大纲》中，都在不同程度上强调了"过程与方法"的重要性，但是，这次课程改革把过程与方法作为课程目标。这样，"过程与方法"不再是可有可无的东西，而是必须实现的基本目标，我们必须认识到这种变化不仅力度大，而且有非常重要的意义。实际上，在长期的教学活动中，优秀的教师不仅关注学生对知识技能的掌握，而且关注掌握知识技能的过程，包括知识的来龙去脉，结论的背景、产生过程和意义，获取知识的能力和方法等等。在数学知识技能中，蕴涵着一些重要的数学思想和方法。学习的目的，不仅在于掌握数学知识技能和结果，更重要的是经历形成这些数学知识技能的过程，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，学会运用这些思想和方法去学习其他的知识，并能从中感悟数学的作用和价值，提高学生学习数学的兴趣，树立学生学好数学的信心。因此，在教学活动中，不仅要关注学生对知识技能的掌握，而且要特别关注掌握知识技能的过程。第2卷参考答案一.参考题库1.参考答案:A2.参考答案: 3.参考答案: 在自然科学和社会科学以及当前市场经济中，人们碰到越来越多地随机现象。对随机现象有一个较清楚的认识，成为每一个公民文化素质的基本要求，这正是高中开设概率课程的基本目的。过去的概率课，往往把重点放在用排列组合计算古典概率上，而忽略了对概率本身的理解。排列组合的题目可以很难，这样在教学中就可能把学习的重点变成如何计数，而不是如何理解随机现象，其结果会导致学生学完后，并不能很好地认识周围发生的随机现象，如天气预报，彩票中奖等。而在新课程标准中，更强调对随机现象的认识，所以把概率的教学安排在排列组合知识学习之前。不仅在中学，大学的统计概率课程也在做调整。在本科教育中，不论是数学还是非数学专业中，有两个大的趋势，一个是统计的比重会大大加强；另一个是在概率课程中，减小古典概率的比重，淡化在古典概率中计数（排列、组合）的难度，强化对随机思想的理解。4.参考答案: 第二个教学情境的创设更好。第一位教师的创设存在优点也存在缺陷。优点是他联系现实背景设计教学，非常实在，学生通过教师的教学能够知道现实生活需要研究点到直线的距离，激发了学习的动机。缺陷在于：一方面是学生不知道老师今天为什么突然提出这样一个问题，只能机械地配合老师去探索；另一方面教师剥夺了学生研究问题的策略。而第二位教师能够从数学本身出发，让学生感受数学研究的策略，加强了数学的内在知识结构的联系，引导学生发现自己所研究的方向。如果第二位教师在教学过程中能够在补充地问学生一句：“在现实生活中也需要得到点与直线、平行直线间的距离，你能够举出例子吗？”那么，这位教师就既能够注重数学的研究规律又不忽视实际的联系，这样的教学设计将更有意义。5.参考答案: 理论与实践相结合，既是认识论与方法论的基本原理，又是教学论中的一般原理。而研究数学理论和发展理论的目的，最终还是为了用于实践。数学的发展正是沿着"实践、认识、再实践、再认识"的规律不断发展着。每一次的实践，肯定了一些理论，提出一些问题，推动着理论的发展。这一原则是数学特点所决定的。数学虽是非常现实的，但舍去了与数量关系和空间形式无关的性质，以致它以高度抽象的形式出现。这就要求在教学的时候，不仅要联系实际来阐明理论，还要适当地、有机地使理论与实际交叉进行。此原则也是培养学生分析问题与解决问题能力所需要的。因为这个能力主要是指如何使学生把实际问题归结为数学问题的能力。显然，这就要求学生明确抽象理论的实际意义，并了解从实际现象上升为理论的探讨过程。数学的内容是依逻辑的顺序进行安排，并按照理论循序渐进地展开的，所以并非每一个抽象理论都反映具体实际现象。另外，由于数学各项理论内容的繁简与学生理解能力的强弱不同，故在教学中使理论与实践结合穿插进行的密度也不一致，因此必须适当、有机地进行。且随着年级的增高、个别理论难度加大，穿插进行的密度也相对地减小。6.参考答案:A7.参考答案: 在高中数学课程中，算法内容的设计分为两部分：一部分主要介绍算法的基础知识，可以称作算法的“三基”：算法基本思想，算法基本结构，算法基本语句。另一部分通过一些具体的案例介绍算法的基本思想，使学生了解：为了解决一个问题，设计出解决问题的一系列步骤。任何人实施这些步骤就可以解决问题，这就是解决这个问题的一个算法。这是对算法的一种广义的理解。算法的基本结构一般有三种：顺序结构、分支结构、循环结构。算法的基本语句有输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句等等。因此，高中数学课程对算法教学的定位，重在“算理”，学生通过学习算法能初步理解和体会算法的思想，并能根据实际问题设计出相应的算法框图。计算机课程的算法侧重于算法框图用算法语言编程，使其能在计算机上实现。现在使用的算法语言是很多的，例如BASIC语言、PASCAL语言、C语言等等。在高中的数学课程中，不要求介绍算法语言，仅仅需要了解基本语句。在不同的语言中，这些语句的表示可能不一样，数学课程要求采用公认的统一表示，称为伪代码。伪代码很容易被翻译成任何一种算法语言。8.参考答案: （1）实例①：2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。 实例②：水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5。 实例③：我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×存期）。例如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%。那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是： 各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10072，10144，10216，10288，10360。 设计意图：引导学生首先从三个现实问题（女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念。 （2）问题①：求等差数列8，5，2，…的第20项。 问题②：-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？ 设计意图：从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于an、a1、d、n（独立的量有3个）的方程，通过此例题让学生懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。 （3）教学重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。 （4）教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 （5）数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面，数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面，学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法--通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。9.参考答案: 例如，在教学过程中可以设问：△ABC中，三边a、b、c成等差数列，由此可得哪些结果？这是一个结论开放的问题，由三边成等差数列，联系三角形的有关定理、公式如正弦定理、余弦定理、射影定理、面积公式以及其他三角、几何定理公式，可得到许多结果，诸如等等。通过对这个问题的探讨，不仅使学生复习巩固了所学知识，将多学科的许多不同思想方法都联系到了一起，而且充分锻炼了思维的多向性、灵活性和创造性。10.参考答案: 如图，PD是三棱锥的高，则D是△ABC的中心，延长PD交球于E，则PE就是外接球的直径，，则，而AP⊥AE，则PA=PD·PE，那么. 11.参考答案: 这种观点是错误的。在《新课标》中，数学建模与数学探究、数学文化是一个重要的学习领域。《新课标》要求高中阶段的学习要让学生结合实际问题，“感受运用函数概念建立模型的过程和方法”，“力求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和做出判断”，收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用，体会运用函数思想理解和处理现实生活问题的重要性。可见，《新课标》是十分强调学生亲身经历建模过程的重要性的。事实上，数学建模是培养学生问题意识和应用意识的重要载体。通过数学建模，学生能体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，从而能促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。在通过数学建模解决问题的过程中，学生能逐渐积累经验，对数学的本质会有更多的思考，会意识到“数学可以解决实际问题”，并且也认识到“自己的数学知识还有待提高”，增强探究和解决问题的意识，逐步提高数学应用的水平。12.参考答案:C13.参考答案:学习几何通常要经历直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等几个阶段。学生通过观察实物模型、空间几何体等，直观认识和理解空间图形的性质以及空间点、线、面的位置关系，并用数学语言表述这些性质。在此基础上通过直接观察、操作确认得出空间点、线、面的基本性质，以这些基本性质作为推理的出发点，探索并证明空间点线面位置关系的一些其他性质。这是一个对空间图形进行探索、研究、建立几何模型的过程，体现了合情推理与演绎推理的结合，这个过程能培养和发展学生的合情推理和演绎推理的能力。14.参考答案: 函数有丰富的实际背景，出租车的计价、邮局寄包裹的计费都是分段函数的实际应用；考古学中也应用到了指数函数的性质；简谐振动的数学模型就是三角函数；平抛运动抽象为数学模型就是二次函数。又例如：储蓄中的单利问题是等差数列模型，复利问题是等比数列模型。算法中的取最小值问题、排序问题都是实际中常见的。生活中的掷硬币决胜负、抽签决定出场次序都是概率模型在生活申的应用。在研究力和速度时，向量就是很好的模型。宇宙天体的运行轨道、铅球出手后的运动轨迹、汽车的广角灯等，都是圆锥曲线模型在实际中的应用。通过这些实际例子，可以帮助我们更深刻地理解数学中的重要概念，有了对于这些重要概念（模型）的本质理解，就可以更好地利用这些模型采刻画（描述）实际问题。15.参考答案:C16.参考答案: 针对“函数的图象”中有关图象变换的问题，很多学生抓不住相位变换的实质，对此可以设计以下几个问题： ①将函数的图象上所有的点向左平移个单位，所得图象的解析式是什么？ ②将函数的图象上所有的点向左平移个单位，所得图象的解析式是什么？ ③将函数y=f（x）的图象上所有的点向左平移个单位后得到函数y=sin2x的图象，那么y=f（x）的解析式是什么？ 然后通过作图、比较、分析，搞清楚变换的实质是“平移变换是针对自变量的变换（自身的变换）”。17.参考答案: 新课程标准中提倡评价既要关注学生数学学习的结果，也要关注他们数学学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要关注他们在教学活动中所表现出来的情感态度的变化。除了给学生打分的终结性评价之外，更多地提倡过程性评价，即关注对学生理解数学概念、数学思想等过程的评价，关注对学生提出、分析、解决问题等过程的评价以及在学习过程中表现出来的与人合作的态度、表达与交流的意识以及实践能力、探索和创新的精神、坚韧不拔的意志等方面的评价。18.参考答案: （1）如图，含顶点A的四面体的三个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有3C53种取法。 含顶点A的棱有三条，每条棱上有3个点，它们与所对棱的中点共面，共有3种取法，根据分类计数原理和点A共面三点取法共有3C53+3=33种。 （2）取出的4点不共面比取出的4点共面的情形要复杂，故采用间接法：先不加限制任取4点（C104种取法）减去4点共面的取法。 取出的4点共面有三类：第一类：从四面体的同一个面上的6点取出4点共面，有4C64种取法；第二类：每条棱上的3个点与所对棱的中点共面，有6种取法；第三类：从6条棱的中点取4个点共面，有3种取法，根据分类计数原理4点共面取法共有4C64+6+3=69。 故取4个点不共面的不同取法有C104-4C64+6+3）=141（（种）。 19.参考答案: 新课程标准就集合的学习指出：“集合是一个不加定义的概念，教学中应结合学生的生活经验和已有的数学知识，通过列举丰富的实例，使学生理解集合的含义。”这就告诉我们，学习集合时重在集合的含义，包括集合之间的关系的含义写表达，集合的运算是什么。在本单元的教学过程中，教师应以学生已有的数学知识为基础，引导学生对以往所学的数学内容用集合的形式来回顾、梳理，例如用集合表述自然数、整数、方程的解或不等式的解等。以这些知识为背景获得学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，同时与自然语言、图形语言进行转换和比较，使学生体会自然语言、图形语言、集合语言各自的特点，进而感受用集合表示数学内容的简洁性和准确性。20.参考答案: 由（A+B.2=A2+AB+BA+B2=A+B+AB+BA=A+B，得AB+BA=0①。对①式分别用A左乘和右乘，并把A2=A代入得AB+ABA=0，ABA+BA=0，两式相减得AB-BA=0②。①+②得2AB=0，所以AB=0。21.参考答案:D22.参考答案: 这段对话很有意思，一方面，表现出甲的求知欲很强和开始学集合时的无奈，但在乙的引导下终于自学成功。另一方面，可以看出乙对知识的理解和学习建议确实很好，垃圾分类的例子很生动，短短的一段话，深入浅出。23.参考答案:B24.参考答案:B25.参考答案: 1.时代的需要算法严格地说是数学的一个分支，它有自己的体系，它渗透到很多数学分支，尤其是应用数学分支。从另一个角度看，计算机科学的飞速发展对数学的发展起了极大的推动作用，它开拓了数学研究的领域，丰富了数学研究的方法，加强了数学与其他学科的联系，拓展了数学的应用范围。所有这一切，算法起了重要的作用。了解算法的基础知识和基本应用，对一个人的发展是非常重要的。 2.与传统的内容有密切的联系算法并不是一个十分陌生的内容。虽然在传统的数学内容中没有出现过这个名词，但它的思想反复体现在传统的数学内容中，可以说渗透到了大部分内容之中。 3.能引起学生的兴趣算法的特点是可以操作、可以检验，在条件允许的学校可以让学生在计算机上实现，这些都是受学生欢迎的，它们会使学生产生成就感。4.对教师没有太大的难度算法的内容对教师来说，难度不大，经过培训就能完全掌握。有些教研室和学校采取了一些有效的措施，例如分成小组、分工备课、集体研讨、教案共享，很好地解决了这个问题。5.算法将对未来的数学课程产生很大的影响算法进入高中是一件大事，会产生一系列的连锁反应，估计下面的一些情况会引起数学教育工作者的关注和研究。 （1）大学课程设计中，会对算法的内容给予更多的关注。有一些学校已经开设“算法”的选修课；有的学校把“算法”和相关的课程有机地结合起来。“算法”在大学数学教育中会成为关注的问题之一。 （2）“算法”的内容会以某种方式渗透到初中和小学，这～点是需要认真研究的课题。 （3）“算法”的内容进入高中，给出一个明确的导向，数学教育将更加关注“通性通法”，强化基本技能，淡化技巧。 （4）“算法”是培养逻辑推理能力的非常好的载体。“算法”在数学教育中的地位和作用应该成为数学教育研究的重要方面。第3卷参考答案一.参考题库1.参考答案: 2.参考答案: 函数是一种两个实数集合之间的对应关系，而映射是一种两个集合之间的对应关系。映射的思想和函数的思想在本质上是一样的，只是它们连接的两类对象不同。《新课标》中有关函数教学指导性意见的描述是这样的，“函数概念的引入一般有两种方法，一种方法是先学习映射，再学习函数；另一种方法是通过具体实例，体会数集之间的一种特殊的对应关系，即函数。考虑到多数高中学生的认知特点，为了有助于他们对函数概念本质的理解，建议采用后一种方式，从学生已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念”。这是教学建议，是一种倾向性意见，并不是硬性规定，这个建议的道理也很简单，注重了从特殊到一般的思维形式，突出了函数概念的实际背景，从大量的两个变量之间的相依关系中归纳出函数的概念，理解函数的意义。这也为学习、理解更加抽象的映射奠定了基础。另外，在《新课标》中，关于映射只有一句话，即“了解缺射的概念”。3.参考答案: （1）问题引入：求方程3x2+6x-1=0的实数根。 变式：解方程3x5+6x-1=0的实数根。（一次、二次、三次、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示，但高于四次的方程不能用公式求解。大家课后去阅读本节后的"阅读与思考"，还有如lnx+2x-6=0的实数根很难下手，我们寻求新的角度--函数来解决这个方程的问题。） 设计意图：从学生的认知冲突中，引发学生的好奇心和求知欲，推动问题进一步的探究。通过简单的引导，让学生课后自己阅读相关内容，培养他的自学能力和更广泛的兴趣。开门见山的提出函数思想解决方程根的问题，点明本节课的目标。 （2）问题①：求方程x2-2x-3=0的实数根，并画出函数y=x2-2x-3的图象； 问题②：观察形式上函数y=x2-2x-3与相应方程x2-2x-3=0的联系。 问题③：由于形式上的联系，则方程x2-2x-3=0的实数根在函数y=x2-2x-3的图象中如何体现？ 设计意图：以学生熟悉二次函数图象和二次方程为平台，观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根与函数图象之间的关系。理解零点是连接函数与方程的结点。 （3）实例：如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略 一些镜头，但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（图略），哪一组能说明他的行程一定曾渡过河？ 设计意图：从现实生活中提出的问题，让学生体会动与静的关系，系统与局部的关系。 问题①：将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴是怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？ 设计意图：将现实生活中的问题抽象成数学模型，进行合情推理，将原来学生只认为静态的函数图象，理解为一种动态的过程。 问题②：A、B与x轴的位置关系，如何用数学符号（式子）来表示？ 设计意图：由原来的图象语言转化为数学语言。培养学生的观察能力和提取有效信息的能力。体验语言转化的过程。 问题③：满足条件的函数图象与x轴的交点一定在（a，B)内吗？即函数的零点一定在（a，B)内吗？ 设计意图：让学生体验从现实生活中抽象成数学模型时，需要一定修正。加强学生对函数动态的感受，对函数的定义有进一步的理解。 （4）教学重点：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断。 （5）教学难点：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点。 （6）本节课是在学生学习了《基本初等函数（Ⅰ）》的基础上，学习函数与方程的第一课时，本节课中通过对二次函数图象