MBA数据模型与决策：非线性规划

非线性规划

§10.1非线性规划的数学模型

在线性规划模型中,活动对目标函数的贡献(或对资源的消耗)与活动水平成比例关系,因而目标函数(或约束函数)是决策变量的线性函数。而在实际问题中,往往遇到活动对目标函数的贡献(或对资源的消耗)与活动水平不成比例关系的情形,即目标函数(或约束函数)不是决策变量的线性函数,而是非线性函数,我们称此类问题为非线性规划问题。

例1.

在第二章资源分配问题例1中,若甲乙两产品的单位纯利润和与该产品产量与有关,=4-=3-,其中4和3为产品的毛利润，而0.2和0.1分别代表每销售单位甲、乙产品所需要的营销成本。

数学模型为:Max由于目标函数是非线性函数,此问题是一个非线性规划问题,非线性规划的建模过程与线性规划是完全一样的,一般模型为:1利用Lingo求解非线性规划问题

同线性规划一样，我们可以使用Lingo在计算机上求解非线性规划问题。图1中（文件NLP1.lng）包含了例1的表述和输出。由Value列中可以看出，Lingo已经求出了，这个解的目标函数值是22.418。不能保证Lingo求出的解就是最优解。有可能是全局最优解，也可能是局部最优解。2利用Excel求解非线性规划问题在运用Excel求解任何非线性规划问题时，千万要确保没有选择假设线性的选项。3非线性规划与线性规划的区别如果线性规划问题有一个最优解，那么一定是可行域中的一个极点。非线性规划的可行域就不一定是凸集了，即使可行域是凸集，最优解也未必是可行域中的极点了。实际上，非线性规划问题的最优解也许不在可行域的边界上。图10-3作图法求解例1的非线性规划模型l3:2x1+3x2=18l2:x2=4l1:x1=67465321100654321879x2x1可行域3非线性规划与线性规划的区别例2：

这个非线性规划模型的最优解是。显然当然不在可行域的边界上。。

x2x1§10.2一维最优化

与例2只有一个变量的f(x)的最优化问题maxf(x)。当用迭代法求函数的极大点时，常常用到一维搜索，即沿某一已知方向求目标函数的极大点。

考虑一维极小化问题

若是区间上的下单峰函数，我们介绍通过不断地缩短的长度，来搜索得近似最优解

最常用的一维搜索试探法是黄金分割法，又称0.618法。要求插入点a1、a2的位置相对于区间[a,b]两端点具有对称性。除对称要求外，黄金分割法还要求在保留下来的区间再插入一点所形成的区间新三段，与原来区间的三段具有相同的比例分布。1黄金分割搜索法（又称0.618法）2所谓的“黄金分割”是指将一线段分成两段的方法，使整段长与较长段的长度比值等于较长段与较短段的比值，即2使用Excel执行黄金分割搜索

例3：使用黄金分割搜索法求§10.3计算机求解非线性规划问题的应用举例

例4：设施选址问题：

图10-9设施选址问题的规划求解1图10-11设施选址问题的规划求解2例５：轮胎的生产：Rubber公司通过混合３种材料生产轮胎用的橡胶，这3种材料是橡胶、石油和炭黑。这三种材料每千克的成本分别为4，1，7（单位为元）。汽车轮胎所用橡胶的硬度必须在25-35之间，弹性至少要达到16，抗拉强度至少要达到12。要生产一组汽车轮胎（4个），需要100千克轮胎用橡胶。用于生产一组轮胎的汽车用橡胶必须含有25-60千克的橡胶和至少50千克炭黑。如果R代表用于生产一组轮胎的混合物中的橡胶量，O代表用于生产一组轮胎的混合物中的石油量，C表示生产一组轮胎的混合物中的炭黑量。由统计分析可知，100千克橡胶、石油和炭黑的混合物的硬度、弹性和抗拉强度公式如下：抗拉强度弹性硬度如何安排3种材料的生产使得用于生产一组汽车轮胎的橡胶产品费用最少。例6：投资组合问题

§10.4可分离规划

例7：某公司生产产品A和B，由于接到了特别订单，需要调出一部分工人，这样剩余工人为了最大限度的利用生产能力就必须加班工作。管理层曾考虑过使用临时工来避免加班造成额外的费用，但是如果工人缺乏经验，会降低工作效率，就必须对临时工培训，从而增加培训费用。同时在完成额外订单后，工厂就恢复正常生产，不需要临时工。所以管理层最后还是决定采取加班的措施。有关数据如下表：供电部门最多只能提供1200单位的电力,加工每单位产品A消耗一个单位的电力，加工每单位产品