微积分 习题答案 第2版（范周田）第2章

第二章要点提示

1.三个基本无穷小：(1)lim-=Oo

“TOO〃

(2)lim—=0

(3)lim(x-x0)=0

卬

2.无穷小比较定理：

若|/(x)|〈|g(刈，且g⑴是无穷小，则/(©也是无穷小。

3.极限的定义

如果lim[/(x)-A]=0,则称当xTT时/(%)的极限是A,也称当xfc时/(x)收

X—>r

敛于A,记为lim/(x)=A。

x->r

4.极限四则运算法则设lim/(x)=A,limg(x)=B,则有

XT*)XT*。

(1)lim[/(x)±g(x)]=A±8

⑵lim/(x>g(x)=4B

XT而

⑶变强H(峥

5.两个重要极限

..sinx,

(1)lim----=1.

X

limf1+—

(2)

XT8X

6.利率、贴现

利息

利率藕义100%

贴现：指为了要在〃年后收取资金A,实际年利率为r,需要现在投资的数量为

A

(l+r)n

7.函数的连续性

如果lim/(x)=/(x0),则称/Xx)在/点连续。

X»o

初等函数的定义区间内连续。

如果/（X）在X。点不连续，则称/（X）在X。点间断，X。点称为间断点。如果函数在间

断点飞的左、右极限都存在但不相等，则X。为第一类间断点，否则为第二类间断点。

8.闭区间上连续函数的性质

如果/（幻在5,加上连续，则/（x）在［。,切上有最大值最小值，而且/（幻可以取

到其最大值与最小值之间的一切值。

第二章习题

习题2.1

1.证明以下数列是无穷小

证明：因为

"n+1n

而上1是无穷小，由无穷小比较定理，得当=一?是无穷小。

n«+1

证明：因为

同=|白＜5

而是无穷小，由无穷小比较定理，得居=-；」=是无穷小。

yjn〃+2

（3）xn=\+1—4n

证明：因为

㈤=g一4亦—在

而是无穷小，由无穷小比较定理，得x“=JQ—分是无穷小。

yjn

证明：因为

11△

而k是无穷小，由无穷小比较定理，得乙=k。4〃是无穷小。

\Jny/n

/、1.〃

(5)x=—sin—

nn3

证明：因为

氏|=-sing<1

n3n

而L是无穷小，由无穷小比较定理，得1.〃口丁士.

=—sin—是无穷小。

nn3

⑹上上出

"2〃+1

证明：因为

2几十1n

而L是无穷小，由无穷小比较定理，得尤“=上上121是无穷小。

n2〃+1

2.证明以下数列极限

(1)lim=-

"f-2〃+32

证明：因为

n-\155

---------=---------<---

2〃+322(2〃+3)4〃

而,是无穷小，由无穷小比较定理，得士L—J■是无穷小,

nIn+32

所以

82〃+32

(2)lim——=1

“廿〃+1

证明：因为

n2+1n2+1n2

而《1是无穷小，由无穷小比较定理，得4rr—-1是无穷小，

n~n~+1

所以

“T8"2+|

/八2n+lc

(3)hm-----=2

"78n+2

证明：因为

2/7+1„3°1

2=<3--

〃+2------〃+2n

而L是无穷小,由无穷小比较定理’得意一2是无穷小,

n

所以

2n+l

lim=2

〃+2

证明：因为

3〃-231111

4G+144(4>/n+1)16品

13〃-23

而:是无穷小，由无穷小比较定理，得\；—小是无穷小,

“4。〃+14

所以

lim乎&

习题2.2

1.证明以下函数是无穷小

x1-1

(1)/(JC)=-----------1-2,JC->-1

x+1

证明：因为

-1+2(x+1)

|/(刈=

x+1

x~+2x+1

=卜+1|

x+1

而Xf—1时X+1是无穷小，所以

x2-1

f(x)=+2,x—>—1是无穷小。

x+1

2

(2)f(x)=,-1,xfl+

Jx+3

证明：因为xf1+,不妨设x>0,又

2―Jx+3

〃)|=

送J」J\+3

_______1_-_x_______W1

^/x+3(2+^/jc+3)|-6(2+百)

而X-「时，是无穷小，由无穷小比较定理，有

2

/（X）/_1,X->]+是无穷小。

Jx+3

(3)/(x)=cos2x-l,x—>0

证明：因为

|/(x)|=|cos2x-1|=|2sin2%|<2x2

而X70时X?是无穷小，由无穷小比较定理，有

/(x)=cos2x-l,xf0是无穷小。

2.证明以下函数是无穷小

2x—2

⑴/(%)—Xf8

X

证明：因为

2x-2<2

2

XX

L是无穷小，由无穷小比较定理，有

而X—00时,

X

f(x)=2')2,x->oo是无穷小。

x

(2)/(x)=sin--sinx,xf8

x

证明：因为

1

|/(x)|=sin--sinx<—

xX

而x—>8时，!是无穷小，由无穷小比较定理，有

X

f(x)=sin--sinx,xfoo是无穷小。

x

f(x)=~^=cosx,x—>4-oo

(3)

y/X

证明:因为

1

|/(幻|COS%<-j=

y/x

1

而是无穷小,由无穷小比较定理，有

/(X)=-^COSX,

Xf+8是无穷小。

3.证明下列极限:

(1)lim(4x+l)=9

XT2

证明：因为

|(4x+l)-9|=|4(x-2)|

而X—>2时x-2是无穷小，由无穷小比较定理，有当X—>2时，(4x+1)-9是无穷小,

所以

lim(4x+l)=9

XT2

-2

r14x

(2)hm-------2

2x+l

2

证明：因为

1-4X2-2(2X+1)4X2+4X+1

2x+12x+l

|2x+l|=2x—

是无穷小，由无穷小比较定理，有当x->-工时,l-4x2

而x->-—x-

222x+l

是无穷小，所以,

i-4x2

lim---------=2

XT__12A：+1

2

l+2x3

(3)lim------=1

mg2r

证明：因为

1+2*3—

号J2x3

而X—>8时4是无穷小，由无穷小比较定理,1+2/

有当X—>8时,1是无穷小,

X2x3

所以

1+2V

lim：-=l

2x

小..sinx八

(4)lim―=0

58yJX

证明：因为

Isvirnlxv..1：

而为—+R时」=是无穷小，由无穷小比较定理，有

yJX

当Xf+8时，一sin是x无穷小，即

「sinx八

hm—7^=0

58y/x

3x,x>0

4.设/(x)=八，证明lim/(x)=0o

5sinx,x<03

证明：因为

lim/(x)=lim3x=0

x->0+x-^0+

limf(x)=lim5sinx=0

x^O-x^O-

所以

limf(x)=lim/(x)

A->0-X%

即

limf(x)=0

x->0

2x-l,x>2__

5.设/⑴=《,证明lim/(x)不存在。

X+3,X<212

证明：因为

lim/(x)=lim2x-1=3

x12+I2+

limf(x)=limx24-3=7

x->2"x->2~

所以lim/(x)wlim/(x)

XT2+A->2-

即

lim/(%)不存在

XT2

6.证明：

(1)lim(3x+1)=oo

X—>00

证明：只要证明lim—5—=0。

18(3x+1)

因为I』一|<」-，而lim—=0,所以，lim---=0,

3x+l3x5°3xf°(3x+l)

即

lim(3x+1)=oo

Xf8

.x~+9

(2)rlim-.=oo

Tx2-9

/—9

证明：只要证明lim^—=0。

13+9

由x—3,无妨设|x—3Kl，于是

x2-9尤+3

Edi—国…

2-9

所以，X即

lim—2—=0,

T%+9

lim(巴

二00

xf3x"-9

习题2.3

1.指出下列运算是否正确:

limx

(1)lim----=——-----=oo

xfl-xlim(l-x)

XT1

(2)limxsin—=limxlimsin—=0

x->0xx->0x->0%

(3)lim(—+—+•••+—)=lim—H----1-lim—=0

«->0°nnnnn

答：(D—⑶都是错误的。因为：

(1)分式极限只有当分母极限不为零时可以应用极限运算法则。而该分式分母极限为零。

⑵两个函数乘积的极限当两个函数极限都存在时等于它们极限的乘积。而极限limsin_1•不

10X

存在。

(3)有限个函数和的极限等于它们各自极限的和。

2,求下列极限:

(1)

lim(x2-3)

lim=^n

解:X.T：小§=y==0

X+1lim(x2+1)4

A->5/3

(2)lim(2--+-4)

XT8XX"

解：lim(2--+1)=lim2-lim—+lim4=2-0+0=2

XT8XXXT8XT8尤XT8£

.1

(3)limx2sin—

•i°x

解：因为limx2=Osin-<1,所以

x->0X

limx2sin—=0

X

⑷limj

12x-2

-—4（9型）

解:lim

x->2x—2o

=lim("—2)(x+2)

=4

*f2x-2

x2—3x+2

(5)lim

XT1x—1

[.x"—3x+2（°型）

解:lim--------------

I%-1o

lim(x-lXx-2)=_1

3X-\

（6）

13

解：lim(-----------------r)(8—8型)

E1-尤1-X3

1+尢+—3

lim

XfI1-x3

x2+x—2

=lim

1-x3

=limSTU,

(1-X)(1+X+X)

x-sinx

（7）lim------------

x—x+sinx

x-sinx

解：lim------------

xT81+sinx

sinx

1-0

=lim------lim

Kf00sinxXT8-

1+-------TTo

x

n

x'-1

(8)lim---------(m为正整数)

Xf1X-\

xm-\片型）

解:lim

,r->lX-l

Hm(l)『+—+7+D

xfX-1

=1加(靖'—-...彳+1)

Xf1

=m

Hm…J

(9)

20h

3

..(x+h^-x/0开心

解:hm---------------(一型)

2。h0

3x2h+3xh2+h3

=lim--------------------

hfOh

=lim(3x2+3x/?+//2)

hi。

=3x2

(10)lim6(Jx+2—Jx+1)

X—>+00

解：lim«(Jx+2—Jx+1)(0・8型)

Xf+8

(II)

.yj2x+1-3(触)

解:™Vx-2-V2

.(2元+1)—9Jx—2+

=lim------------------/-----

z4(%-2)-2V2x+1+3

vr^2+>/22V2

=o21rim—[-----------=------

・IV2x+l+33

1+2+…+

(12)lim—

〃一>8相V~--

n(n+l)

An1+2+・・・+力..21

解：lim-----1------------=lim——气——=一

“T8〃T8a22

3.根据所给x的各种变化情况，讨论函数的极限：

(1)fix')=----j-,xfO,,xf(T,x-0

1+2；

11

解：xfO-,2*->+oo,f[x)-----p->0,

1+2;

-1

x-0一，2，-0,/(%)=——p-1,

1+2；

因为

limf(x)*lim/(x)

A->0Xf0

所以limf(x)不存在。

x->0

2

aex-l—1

(2)f(x)=-----,x-1

ex~'+1

解：x-「，e*Tf+8,

x->r,ex-'->0

/(x)=

ex-'+1

若a——\,有

lim/(n)=limf(x)

XT1-K—r

所以

lim/(x)=-l

Xflo

若1,有

lim/(x)工lim/(x)

x->r

所以

lim/(x)不存在

X->1

4.证明当xf1时，函数

/(x)=10,00(x-l)2+sin—5—

2(x-l)

是无穷小.

证明：当xfl时，5-1)2和疡T都是无穷小，且sin―--<1,所以,

2(x-l)

次二Tsin―1—是无穷小，再由无穷小的运算性质，有当xf1时，函数

2(%-1)

/(x)=101()<)(x-l)2+私一lsin-------

2(九一1)

也是无穷小。

5.确定q,6的值，使下列极限等式成立：

J+QX+2

(1)lim----------=b

XflX-l

JI2+1

(2)lim(-------奴+〃)=0

X+l

x~+/7Y+9,Y~-4-nx-I-9,

解：(1)由lim——-=h9(存在)，且分式土竺上的分母为无穷小,所以其分

x-lX-1

子必是无穷小，即

lim(x2+以+2)=1+。+2=0

所以a=—3o

.「X2—3x+2(x-l)(x—2)

b=lim----------=lim------------=-1

x-lr—1—r—1

,.x~+1+1—(x+l)(av—/?)

(2)由hm(-------ax+b)=hm[--------——-------]

X+IX+1

(1—Q)X~+(/?—Q)X+1+8

=hm[------------------------J=0

XT°°X+l

且分式“+(〃二”的分子分母都是多项式,分母是一次式，所以分子的

x+1

二次和一次项系数都为零，即有1-«=0,b-a=0,从而得

1

6.证明Hmcos不存在。

x->0+y[x

112

证明：取七=(•)","=('),则xn->0,一>0,〃f8,但

2n兀

1JI

limcos—=limcos2〃1=1,limcos—=limcos(2〃1H"一)二0

ooJX〃-J"'is2

习题2.4

1.求下列极限:

小sin5x

⑴lim-----

io3x

sin5x「sin5x55

解:lim=lim--------

x->03x5工33

(2)limxcotx

xf0

初..X

用半：hiTixcotx=limx-C-O-S-X=l..imcosx----

soiosinx―。sinx

x

=limcosA：lim——=1

io*f°sinx

c、sin(x2-l)

(3)lrim---------

7x-\

解sin(x2-l)sin(x2-l)

用牛：hm--------=hm---------(x+l)=2

Ix-1alx-1

④l-cos2x

(4)hm-------

ioxsinx

解..l-cos2x2sin2x

用牛：lim--------=hm-------=2

ioxsinxI。xsinx

3x-sinx

(5)lim-------

3x+sinx

3sinx

陋3x-sinx[.r1

解：vlim---------=lim-----d—=一

io3x+sinxi。3+sinx4

x

Y

(6)lim2nsin—,(x/O为常数)

W->002〃

x

解:当〃―8时，---->0,

T

.x

sin—

lim2Msin—=limx----=x

n-»oo2"〃―>coX

T

sin(sinx)

⑺Inn---------

x

八「sin(sinx)「sin(sinx)sinx...

解：hm---------=lim---------------=11=1

5xx->osinxx

(8)lim%sin—彳

is2x

isin—y[

&.2.1..12x1

解：limxsin——-=lim------=—

I002x212

2x2

2.求下列极限：

2

(1)lim(l-x),

XT()

2

解：lim(l-x);(f0型)

x->0

i(-2)

=lim<(1-x)~r>=I?

A->0

2

⑵lim(l+2x)x

XT()

2

解：lim(l+2x尸(产型)

XTO

=lim|(l+2x)2x>=/

x->0

⑶lim

XT8

解：limf—(「型)

XJ

(2Y+2

(4)lim1+-

X)

(n、*+2

解：lim1+-(1，型)

…Ix)

=limfl+-

x->00X)x)

\2-l

(5)lim

x-»oo

x2-l

解：lim

XT8x2

/

(6)lim1

Kf8

解：liml1—3r=e-9

A-400y/~x)

\—eIsin(x-l)

3.证明当xfl时，函数——LHI是无穷小。

1+ex~'

1-L

解：当x—>广，----->+oo,ex~l-+oo,

x-1

।

1一ex~l+sin(x-l)

叫(―r)

XTI

1+e*Tk-il

..,et_1-1sin(九一1)、,,

=hm(—：----+-----)=-1+1=n0

"一,x-1

ex-'+1

1

当x—>「，----->-oo,ex~'—>0,

x-1

1

..A-ex-'sin(x-l).

hm(----+----)

*川\二r\X~\\

1+ex-'

,1-ex-'sin(x-l)..,..

lim(----+-------)=1-1=0

e,A1-x

1+ex-'

所以

x

Asin(x-l)、z1-e~'sin(x-l)x

11171(---------)=hm(-----r+--------)

XT1+|x-l|j,CU-l|

11'1+ex-'

即

1

sin。-1)、

lim(+---9=0

11|X-1|

1+ex~x

\-ex~xsin(x-l)

即当xf1时，函数1+消十次-”是无穷小。

4,根据所给［的各种变化情况，讨论下列函数的极限:

人、11

(1)/(X)=-COS-,X—>00

XX

(2)/(x)=\x,xfO',x'(T,x-0

(l+x)xx>0

解：(1)当x-8,Lf0,cos-<1,所以有

XX

lim/(x)=lim—cos—=0

X—>8X—>coXX

(2)当x—>0'lim/(x)=lim(1+x)A=e

X->0+.¥->0+

w八一..//、vsinx,

当xf0,limf(x)=lim----=1,

XT(rX->0-X

因为lim/(x)wlimf(x)，所以lim/(x)不存在。

XTO+KT(Tx->0

(1+2,x>0

5.设/(x)=\.,当©b满足什么条件时lim/(x)=2。

sm&r_

-----+3,X<0CXTO

、x

解：当x-0\lim/(X)=lim(l+ax)x=ea,

X—o+—o+

当xf0，lim/(x)=lim(sin"'+3)=b+3

JV—>0~x->0x

limf(x)=2olimf(x)=lim/(x)=2

x->0+x->0-

所以，当e“=〃+3=2,lim/(x)=2,即

.r^O

当a=In2,〃=一1时，lim/(x)=2

x->0

6.用夹逼定理证明下列极限

(1)limn\——+---+・・・+丁~^---|=1

〃->8I〃+万n+2乃n+n/rJ

3〃+5〃L

(2)lim(-~—)w=5

“Too2

证明：(1)因为

n(\11)n

n~----6九•-----+——+•••+-......\<n----

n~+n7V\n+TV〃-+2)n+n7t)〃~十乃

「nn.

hmn------=lim??•—----=1

n+njc"T0°n+TV

所以由夹逼定理有

limn-\----+—：----+•••+-----=1

〃f301〃+4n+2TTYT+n7t)

⑵因为

5/5"J,/3"+5"、1,5"+5"J<

-；-=(—)«<(-----)"<(-------)"=5

「222

2"

5u

lim—j-=5

〃一>00_

2〃

所以由夹逼定理有

3"+5”।

lim(---------尸=5

“Too2

7.利用单调有界极限存在原理证明

(1)数列近，亚二区亚藤塞,……的极限存在,并求出极限值。

证明：因为数列为标方,出+而正,……单调上升，且有上界2。所以数列

72,4工瓦历矫正,……的极限存在，设其极限值为A,因为

x“='2+x,i,所以有A=得A=2

习题2.5

1.讨论下列函数的连续性，若有间断点，指出间断点的类型:

(1)/(%)=/2-1

x2-3x+2

解：x=1,x=2是间断点。

又因为

吧f(x)=崛黄♦二咄探土一2

X2—1

lim/(x)=lim—----------

2

"X-3X+2

所以，x=l是第一类型间断点(可去)，x=2是第二类型间断点。

⑵/(幻=咏

X

7T

解：x=0,x=kn±—是间断点。

2

又因为

limf(x)=limtan%=1

A->0A->0X

所以，x=0是第一类型间断点(可去)。

lim/(x)=±oo,

小吗

7T

所以，x=4兀土一是第二类型间断点(无穷型)

2

(3)/")=匕竽

解：x=0是间断点。因为

..々、r1-cosx£

lim/(x)=lim---2-——

A->0JXf0X2

所以X=0是第一类型间断点(可去)。

sinx

x<0

⑷fM=<X'

x2—1,x>0

解：因为

当lim/(x)=lim(x2-1)=-1,

x->0+x->0+

当x-0-，limf(x)-lims^nx=1

A->0-A->0-X

limf(x)wlim/(x)

*5x->0-

所以，x=0是第一类型间断点(跳跃)。

2.确定常数〃，使下列函数为连续函数：

小〃fa+xx<2

⑴/(x)=/“

[(x-2)x>2

解：只需考虑函数在分段点x=2处的连续即可。

因为

lim/(x)=lim(x-2)2=0

limJ\x)=lim(a+x)=a+2

x->2-XT2-

若函数在分段点X=2处的连续，则有

limf(x)=lim/(x)

x->2x->2~

从而有a+2=0,即。=-2

1

arctan---x<3

⑵fM=\x-3

a+\lx-3x>3

解：只需考虑函数在分段点x=3处的连续即可。

因为

lim/(x)=lim(a+Jx-3)=a

xf3，A—>3+

171

limf(x)=limarctan----=---

Z3-XT3-X—32

若函数在分段点x=3处的连续，则有

limf\x)=lim/(%)

x-»3x->3

从而有a=——o

2

/八、1+7x4-2x>2

(3)/(x)={

or+2x<2

解：lim/(x)=lim(l+J%+2)=3

x->2+XT2+

limf(x)-lim(ax+2)=2Q+2

XT2-Xf2-

因为函数在x=2处连续，所以

lim/(x)=lim/(x)=/(2)=3

XT2+A->2-

即

3=2n+2,a=—

2

3.求下列函数的极限

sinx

⑴lim

x->lx

「sinx.1

解:lim------=sinI

XT】x

「ln(l+cosx)

⑵lim----------------

3ex+1

ln(l+cosx)In2

解:lim

x->0ex+12

sinx

(3)limIn

x->0x

smx

解:limln------=Ini=0

iox

⑷lim(l+x2f

X->I

解:lim(l+x2)x=2'=2

XT1

2

x-l2.

(5)lim(———)'+

一8x-+1

』+|

1加(总产=iim[(l—32(f+2)

解:)F「』+i=Q

Xf00X+1X+1

(6)lim(cosx)x2

(COSA-1)—y

解：lim(cosx)'-=