中考数学《圆的综合》综合检测试卷含详细答案

2023中考数学专题《圆的综合》综合检测试卷含详细答案

一、圆的综合

1.如图，在平面直角坐标系xoy中，E(8,0),F(0,6).

(1)当G(4,8)时，则NFGE=°

(2)在图中的网格区域内找一点P,使NFPE=90。且四边形OEPF被过P点的一条直线分割

成两部分后，可以拼成一个正方形.

要求：写出点P点坐标，画出过P点的分割线并指出分割线(不必说明理由，不写画

法).

yG

。,Ex

【答案】(1)90；(2)作图见解析，P(7,7),PH是分割线.

【解析】

试题分析：(1)根据勾股定理求出△FEG的三边长，根据勾股定理逆定理可判定AFEG是

直角三角形，且NFGE="90"。.

(2)一方面，由于NFPE=90。，从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P在以EF为直径

的圆上；另一方面，由于四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一

个正方形，从而0P是正方形的对角线，即点P在NFOE的角平分线上，因此可得P(7,

7),PH是分割线.

试题解析：(1)连接FE,

,•E(8,0),F(0,6),G(4,8),

••根据勾股定理，得FG=2V5,EG=4V5,FE=10.

.(23)2+(4V5)2=gpFG2+EG2=FE2

△FEG是直角三角形，且NFGE=90°.

(2)作图如下:

P(7,7),PH是分割线.

考点：L网格问题；2.勾股定理和逆定理；3.作图(设计)；4.圆周角定理.

2.如图，已知△ABC内接于。。，AB是。0的直径，点F在。0上，且点C是"'的中

点，过点C作。。的切线交AB的延长线于点D,交AF的延长线于点E.

(1)求证：AE_LDE；

(2)若NBAF=60°,AF=4,求CE的长.

试题分析：(1)首先连接0C,由OC=OA,玩=何,易证得0cliAE,又由DE切。。于

点C,易证得AEJLDE；

(2)由AB是。。的直径，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC为直角三角形，根据

1

AE=3求得AC的长，然后连接0F,可得△OAF为等边三角形，知AF=OANAB,在4ACB

中，利用已知条件求得答案.

...ZBAC=ZOCA,

ZBAC=ZEAC,

/.ZEAC=ZOCA,

/.OCIIAE,

•・,DE切。O于点C

OC±DE,

/.AE±DE；

（2）解：TAB是。。的直径，

・•.△ABC是直角三角形，

ZCBA=60°,

ZBAC=ZEAC=30°,

△AEC为直角三角形，AE=3,

・•.AC=2V3,

连接OF,

•/OF=OA,ZOAF=ZBAC+ZEAC=60°,

・•.△OAF为等边三角形，

1

/.AF=OA=^AB,

在RtZkACB中，AC=2A/3,tanNCBA=V3,

BC=2,

AB=4,

・•・AF=2.

考点：切线的性质.

3.不用圆规、三角板，只用没有刻度的直尺，用连线的方法在图1、2中分别过圆外一点

A作出直径BC所在射线的垂线.

【答案】画图见解析.

【解析】

【分析】根据直角所对的圆周角是直角，构造直角三角形，利用直角三角形性质可画出垂

线；或结合圆的轴对称性质也可以求出垂线.

【详解】解:画图如下：

【点睛】本题考核知识点：作垂线.解题关键点：结合圆的性质和直角三角形性质求出垂线.

4.如图，在。。中，直径弦CD于点E,连接AC,BC,点F是BA延长线上的一点，

且NFCA=NB.

⑴求证：CF是。。的切线；（2）若AE=4,tanzACD^-,求AB和FC的长.

2

【答案】⑴见解析;（2）⑵AB=20,CF--

【解析】

分析：（1）连接0C,根据圆周角定理证明OC_LCF即可；

（2）通过正切值和圆周角定理，以及NFCA=NB求出CE、BE的长，即可得到AB长，然

后根据直径和半径的关系求出0E的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定

理）证明△OCE”△CFE,即可根据相似三角形的对应线段成比例求解.

详解：⑴证明：连结OC

AB是的直径

ZACB=90°

ZB+ZBAC=90°

OA=OC

ZBAC=NOCA

■1,ZB=NFCA

ZFCA+ZOCA=90°

即NOCF=90°

・.,c在。。上

CF是。。的切线

AE1

（2）-/AE=4,tanzACD——=-

EC2

.CE=8

,直径AB_L弦CD于点E

•AD=AC

,ZFCA=NB

.ZB=ZACD=ZFCA

.ZEOC=ZECA

CE1

.tanZB=tanZACD=------二一

BE2

.BE=16

.AB=20

.OE=AB+2-AE=6

,CE±AB

•ZCEO=ZFCE=90°

.△OCE-△CFE

PCOE

~CF~~CE

106

即Hn---=—

CF8

CF=—

3

点睛：此题主要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合

相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的

突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目.

5.已知：如图1,ZACG=90°,AC=2,点B为CG边上的一个动点，连接AB,将△ACB沿

AB边所在的直线翻折得到△ADB,过点D作DF±CG于点F.

(1)当BC=±叵时，判断直线FD与以AB为直径的。0的位置关系，并加以证明；

3

(2)如图2,点B在CG上向点C运动，直线FD与以AB为直径的OO交于D、H两点，

连接AH,当NCAB=NBAD=ZDAH时，求BC的长.

G.

【答案】（1）直线FD与以AB为直径的。。相切，理由见解析；⑵20-2.

【解析】

试题分析：（1）根据已知及切线的判定证明得，直线FD与以AB为直径的。。相切;

（2）根据圆内接四边形的性质及直角三角形的性质进行分析，从而求得BC的长.

试题解析：

（1）判断：直线FD与以AB为直径的。。相切.

证明：如图，

作以AB为直径的。0；

•••△ADB是将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到的，

/.△ADB合△ACB,

/.ZADB=ZACB=90°.

・••0为AB的中点，连接DO,

OD=OB=—AB,

2

•••点D在。0上.

在R3ACB中，BC=^/1,AC=2；

3

tanzCAB=^=返，

AC3

ZCAB=NBAD=3O°,

ZABC=NABD=60°,

…BOD是等边三角形.

ZBOD=60".

ZABC=ZBOD,

FCIIDO.

DF±CG,

ZODF=ZBFD=90°,

/.OD±FD,

FD为。。的切线.

（2）延长AD交CG于点E,

同（1）中的方法，可证点C在。。上；

四边形ADBC是圆内接四边形.

/.ZFBD=Z1+Z2.

同理NFDB=Z2+Z3.

Z1=Z2=Z3,

ZFBD=ZFDB,

又NDFB=90°.

EC=AC=2.

设BC=x,则BD=BC=x,

•••ZEDB=90°,

EB=J^x.

•/EB+BC=EC,

J^x+x=2,

解得x=2«-2,

BC=2&-2.

6.如图，AB是半圆。的直径，半径。C_LAB,0B=4,D是OB的中点，点E是弧BC上的

动点，连接AE,DE.

（1）当点E是弧BC的中点时，求AADE的面积；

3

（2）若tanZAED=—,求AE的长；

2

（3）点F是半径0C上一动点，设点E到直线0C的距离为m,当△DEF是等腰直角三角

形时，求m的值.

【答案】(1)SADE=6\/2；(2)AE=—>/5；(3)m—2^3>m=2-72)

m=A/7-1•

【解析】

【分析】

(1)作EHJLAB,连接OE,EB,设DH=a,则HB=2-a,0H=2+a,贝ljEH=0H=2+a,

根据RtZlAEB中，EH2=AH*BH,即可求出a的值，即可求出SAADE的值；

AF"AD

(2)作DFJ_AE,垂足为F,连接BE,设EF=2x,DF=3x,根据DFIIBE故——=——，

EFBD

得出AF=6x,再利用RtAAFD中，AF2+DF2=AD2,即可求出X,进而求出AE的长；

(3)根据等腰直角三角形的不同顶点进行分类讨论，分别求出m的值.

【详解】

解：(1)如图，作EH_LAB,连接OE,EB,

设DH=a,则HB=2-a,0H=2+a,

.・.点E是弧BC中点，

ZCOE=NEOH=45°,

/.EH=0H=2+a,

在R3AEB中，EH2=AH*BH,

(2+a)2=(6+a)(2-a),

解得3=±2及-2,

a=2A/2—2，

EH=26,

SAADE=—^AD^EH=6夜;

2

(2)如图，作DF_LAE,垂足为F,连接BE

设EF=2x,DF=3x

•••DFIIBE

AFAD

~EF~~BD

AF6.

-----——=3

2x2

AF=6x

在RSAFD中,AF2+DF2=AD2

(6x)2+(3x)2=(6)2

解得x=|6

设DH=a

由DF=DE,ZDOF=ZEHD=90°,ZFDO+ZDFO=ZFDO+ZEDH,

ZDFO=ZEDH

/.△ODF^△HED

OD=EH=2

在R3ABE中，EH2=AH»BH

(2)2=(6+a)•(2-a)

解得a=±2百一2

m=2V3

当点E为等腰直角三角形直角顶点时，如图

设DH=a,贝ijGE=a,EH=FG=2+a

在ABE中，EH2=AH・BH

(2+a)2=(6+a)(2-a)

解得a=+2V2-2

m=2亚

当点F为等腰直角三角形直角顶点时，如图

同理得△EFM2&FDO

设OF=a,则ME=a,MF=0D=2

EH=a+2

在RtAABE中，EH2=AH«BH

(a+2)2=(4+a)•(4-a)

解得a—±77-1

m=g-1

【点睛】

此题主要考查圆内综合问题，解题的关键是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的

判定与性质.

7.如图1,在RSABC中，NABC=90。，BA=BC,直线MN是过点A的直线CDJ.MN于点

D,连接BD.

(1)观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC,AD,BD之间有什么数量关系.经过观

察思考，小明出一种思路：如图1,过点B作BE_LBD,交MN于点E,进而得出：DC+AD=

BD.

(2)探究证明

将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC,AD,BD之间的数量关系，

并证明

(3)拓展延伸

在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1,请直接写

BD的长.

A/.E

【答案】（1）.72;（2）AD-DC=0BD；（3）BD=AD=0+L

【解析】

【分析】

（1）根据全等三角形的性质求出DC,AD,BD之间的数量关系

（2）过点B作BEJ_BD,交MN于点E.AD交BC于。，

证明△CDBgAAEB,得到C£>=A£,EB=BD，

根据ABED为等腰直角三角形，得到。£=080，

再根据OE=A£>-A£=AO-C£>,即可解出答案.

（3）根据A、B、C、D四点共圆，得到当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧

时，AABD的面积最大.

在DA上截取一点H,使得CD=DH=1,则易证CH=A"=血，

由4）即可得出答案.

【详解】

解：（1）如图1中，

由题意：MAE四MCD,

：.AE=CD,BE=BD,

CD+AD=AD+AE=DE,

V是等腰直角三角形,

DE=72BD,

DC+AD=72BD,

故答案为、历.

⑵AD—DC=OBD.

证明：如图，过点B作BE_LBD,交MN于点E.AD交BC于0.

•••ZABC=/DBE=90。,

ZABE+/EBC=/CBD+/EBC,

ZABE^ZCBD.

.ZBAE+ZAOB=90°,ABCD+Z.COD=90°,ZAOB=ZCOD,

ABAE=ABCD,

ZABE=ZDBC.又；AB=CB,

•••ACDB丝/\AEB,

CD^AE,EB=BD，

，ABD为等腰直角三角形，DE=6BD.

•••DE=AD-AE=AD—CD,

AD-DC=42BD-

(3)如图3中，易知A、B、C、D四点共圆，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB

的右侧时，AABD的面积最大.

图3

此时DG_LAB,DB=DA,在DA上截取一点H,使得CD=DH=1,则易证CH=A〃=&，

BD=AD=6+1.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及图形的应用，正确作辅助线

和熟悉图形特性是解题的关键.

8.如图，AB是OO的直径，D、D为。。上两点，CF_LAB于点F,CE_LAD交AD的延长线

于点E,且CE=CF.

(1)求证：CE是。0的切线；

(2)连接CD、CB,若AD=CD=a,求四边形ABCD面积.

【解析】

【分析】

(1)连接。C,AC,可先证明AC平分NBAE,结合圆的性质可证明OCIIAE,可得NOCB

90。，可证得结论；

(2)可先证得四边形AOCD为平行四边形，再证明AOCB为等边三角形，可求得CF、

AB,利用梯形的面积公式可求得答案.

【详解】

(1)证明：连接OC,AC.

CF±AB,CE±AD,且CE=CF.

ZCAE=NCAB.

OC=OA,

ZCAB=ZOCA.

ZCAE=NOCA.

/.OCIIAE.

ZOCE+ZAEC=180°,

•••ZAEC=90°,

ZOCE=90。即OCJLCE,

•；0C是。。的半径，点c为半径外端，

CE是OO的切线.

(2)解：••-AD=CD,

NDAC-DCA=NCAB,

DCIIAB,

,/ZCAE=NOCA,

OCIIAD,

四边形AOCD是平行四边形,

OC=AD=a,AB=2a,

•「ZCAE=NCAB,

••CD—CB—3,

••CB=OC=OB,

…0cB是等边三角形，

在RtACFB中，CF=JCB"-F8/=-^/3,

S四边形ABCD=g（DC+AB）•CF=^—a2

【点睛】

本题主要考查切线的判定，掌握切线的两种判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心

和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径.

9.已知P是。0的直径BA延长线上的一个动点，NP的另一边交0。于点C、D,两点位

于AB的上方，AB=6,0P=m,sinP=1,如图所示.另一个半径为6的。日经过点

C、D,圆心距

（1）当m=6时，求线段CD的长；

（2）设圆心。1在直线A3上方，试用n的代数式表示m；

（3）△POOi在点P的运动过程中，是否能成为以。01为腰的等腰三角形，如果能，试求

出此时n的值；如果不能，请说明理由.

【答案】⑴CD=2j^（2）m=^m乂3）n的值为2后或2厉

In55

【解析】

分析：（1）过点。作0HJLC。，垂足为点，，连接。C.解RSP0H,得到0”的

长.由勾股定理得C"的长，再由垂径定理即可得到结论；

（2）解RSP0H,得到0〃=—.在RtAOC”和RtA中，由勾股定理即可得到

结论；

（3）△p。。成为等腰三角形可分以下几种情况讨论：①当圆心a、。在弦c。异侧

时，分和。。=。。一②当圆心。I、。在弦CD同侧时，同理可得结论.

详解：（1）过点。作。”_LCO,垂足为点4,连接。C.

D

•,AB=6,0c=3.

由勾股定理得：CH=E

0H±DC,CD=2CH=275.

1rp]

(2)在RS尸0〃中，•；sinP=-,PO=m,0H=—.

在RsOC”中，C”2=9-

在RmqCH中，C〃2=36_

=9一（今），解得:

可得：36-

（3）△Poq成为等腰三角形可分以下几种情况：

①当圆心。1、。在弦异侧时

/）OP=OO],即加=〃，由“=3"——81,解得：n=9

即圆心距等于。。、。。的半径的和，就有。。、。。1外切不合题意舍去.

//）OXP=OO,,由+而一々=〃，

Q5a2父]Q__

解得：m--n,即一〃=------,解得：〃上后.

332〃5

②当圆心。I、。在弦8同侧时，同理可得：m=81~3/，•

2

Q1_a；7Qf—

•••NPOQ是钝角，二只能是即“=,解得：n=-y/5.

2〃5

综上所述：”的值为1石或

点睛：本题是圆的综合题.考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形.解

答（3）的关键是要分类讨论.

10.如图，PA切。0于点A,射线PC交。。于C、B两点，半径OD_LBC于E,连接BD、

DC和OA,DA交BP于点F；

(1)求证：ZADC+ZCBD=-ZAOD；

2

(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段.

【答案】(1)详见解析；(2)详见解析:

【解析】

【分析】

(1)根据垂径定理得到BD^CD'根据等腰三角形的性质得到

ZODA=1(180-ZAOD)=90-1^AOD,即可得到结论;

(2)根据垂径定理得到3E=CE,BD^CD'根据等腰三角形的性质得到

ZADO^ZOAD,根据切线的性质得到NB4O=90°，求得/。4。+/。42=90°，推

出=，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论.

【详解】

(1)证明：•.•OOL3C,

：.BD=CD'

：.ZCBD=ZDCB,

:NDFE+NEDF=90°，

ZEDF=90°—ZDFE，

\-OD=OA，

：.NODA=^(180-NAOD)=90一；NAOD,

90°-ZDFE=90--ZAOD,

2

ZDEF=-ZAOD,

2

/DFE=ZADC+ZDCB=ZADC+ZCBD,

ZADC+NCBD=-ZAOD；

2

(2)解：•.•ODLBC，

：,BE=CE,BD^CD'

：.BD=CD，

OA-OD，

..ZADO^ZOAD,

•.•PA切。。于点A,

:.ZPAO=90^

:.ZOAD+ZDAP=9Q,，

•;"FA=ZDFE，

ZPFA+ZADO=9Q>

：.ZPAF=ZPFA，

：.PA=PF.

【点睛】

本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，正确的识别

图形是解题的关键.

11.如图，0。的直径A8=8,C为圆周上一点，AC=4,过点C作。。的切线/,过点B

作/的垂线8D,垂足为D,BD与。。交于点E.

(1)求NAEC的度数；

(2)求证：四边形。8EC是菱形.

【答案】(1)30。；(2)详见解析.

【解析】

【分析】

(1)易得△AOC是等边三角形，则NAOC=60。，根据圆周角定理得到NAEC=30。；

(2)根据切线的性质得到OCJJ,则有。CHBD,再根据直径所对的圆周角为直角得到

ZAEB=90°,则NEA8=30°,可证得ABIICE,得到四边形。BFC为平行四边形，再由。8

=OC,即可判断四边形。8EC是菱形.

【详解】

(1)解：在△AOC中，AC=4,

AO=OC=4,

.・.AAOC是等边三角形，

ZAOC=60°,

ZAEC=30°；

(2)证明：OCJ.I,BD±I.

OCWBD.

：.ZA8D=NAOC=60°.

AB为0。的直径，

ZAEB=90°,

△AEB为直角三角形，ZEAB=30°.

ZMB=ZAEC.

：.CEWOB,X---COIIEB

A四边形。8EC为平行四边形.

又OB=OC=4.

•1•四边形O8EC是菱形.

【点睛】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.也考查了圆周角定理及其推论以

及菱形的判定方法.

12.如图，在RtAABC中/ACB=60°,OO是^ABC的外接圆,BC是。O的直径，过点B作。0

的切线BD,与CA的延长线交于点D,与半径A0的延长线交于点E,过点A作。0的切线AF,

与直径BC的延长线交于点F.

⑴连接EF,求证:EF是。。的切线；

⑵在圆上是否存在一点P,使点P与点A,B,F构成一个菱形?若存在，请说明理由.

【答案】(1)见解析；(2)存在，理由见解析

【解析】

【分析】

(1)过。作OMLEF于M,根据SAS证明△OAF^△OBE,从而得到OE=OF,再证明E0平分

ZBEF,从而得到结论；

(2)存在，先证明△OAC为等边三角形，从而得出NOAC=NAOC=60。,再得到AB=AF,再证

明AB=AF=FP=BP,从而得到结论.

【详解】

⑴证明:如图，过0作OMJ_EF于

•JOA=OB/OAF=AO8E=90°,NBOE二NAOF,

二△OAF^△OBE,

,・.OE=OFt

*.ZEOF=Z.408=120。，

ZOEM=NOFM=30°,

ZOEB=NOEM=30°,即EO平分NBEF,

又NOBE必OME=90°f

OM==OB,

・•.EF为。。的切线.

(2)存在.

•.8C为。。的直径，

ZBAC=9Q°f

•,'AACB=60°,

ZABC=30°/

又丁/ACB=6Q°fOA=OC,

△OAC为等边三角形，即NOAC=Z.AOC=6Q°t

••.AF为。。的切线，

ZOAF=90°,

/.ZCAF=AAFC=30°,

ZABC=NAFC,

二AB=AF.

当点P在⑴中的点M位置时，此时NOPF=90°f

ZOAF=AOPF=90°f

又70>4二。忆0F为公共边，

二△OAF^△OPF,

AF=PFf

ZBFE=/AFC=30°.

1

又FOPS08P=NOPB=30°f

BP=FPt

;AB=AF=FP=BPf

・・・四边形AFP8是菱形.

【点睛】

考查了切线的判定定理和菱形的判定，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切

线.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂

直即可.

13.如图，点A,B,C,D,E在。。上，ABJ_CB于点B,tanD=3,BC=2,H为CE延长线

上一点，且AH=JfU，CH=50.

（1）求证：AH是OO的切线；

（2）若点D是弧CE的中点，且AD交CE于点F,求证：HF=HA；

（3）在（2）的条件下，求EF的长.

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）y/W-42

【解析】

【分析】（1）连接AC,由AB_LCB可知AC是。。的直径，由圆周角定理可得NC=ND,

于是得到tanC=3,故此可知AB=6,在RSABC中，由勾股定理得：AC2=40,从而可得

AC2+AH2=CH2,根据勾股定理的逆定理可得AC_LAH,问题得证；

（2）连接DE、BE,由弦切角定理可知NABD=NHAD,由D是CE的中点，可得

ZCED=ZEBD,再由圆周角定理可得NABE=NADE,结合三角形的外角即可证明

ZHAF=ZAFH,从而可证得AH=HF；

（3）由切割线定理可得EH=后，由（2）可知AF=FH=JI5，从而可得EF=FH-

后

【详解】（1）如图1所示：连接AC.

AB±CB,

AC是OO的直径，

/.tanC=3,

AB=3BC=3x2=6,

在R3ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=40,

又•；AH2=10,CH2=50,

AC2+AH2=CH2,

・•.△ACH为直角三角形，

ACJLAH,

AH是圆。的切线；

(2)如图2所示：连接DE、BE,

,.AH是圆0的切线，

ZABD=ZHAD,

；D是CE的中点，

•••CD=ED，

：.ZCED=ZEBD,

文:ZABE=ZADE,

ZABE+ZEBD=ZADE+ZCED,

ZABD=NAFE,

ZHAF=ZAFH,

AH=HF；

(3)由切割线定理可知：AH2=EH・CH,即(JI5)2=572EH,

解得：EH=0,

由(2)可知AF=FH=/记,

EF=FH-EH=V10-V2.

【点睛】本题主要考查圆的综合应用，解答主要应用了切线的判定定理、弦切角定理、切

割线定理、圆周角定理、勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的外角的性质等，正确添

加辅助线是解题的关键.

14.如图，已知=为A45C外心，。为。。上一点，B£＞与AC的交

点为E，且5c?=ACCE.

①求证：CD=CB；

②若NA=30°，且。。的半径为3+6，/为ASC。内心，求0/的长.

D

【答案】①证明见解析；（2）273

【解析】

【分析】

①先求出生=空，然后求出△BCE和AACB相似，根据相似三角形对应角相等可得

ACBC

Z4=ZCBE,再根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得NA=ND,然后求出

ZD=NCBE,然后根据等角对等边即可得证；

②连接。8、0C,根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出

ZBOC=60°,然后判定^OBC是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质以及三角形

的内心的性质可得。C经过点/,设。C与8。相交于点F,然后求出CF,再根据/是三角形

的内心，利用三角形的面积求出/F,然后求出a,最后根据。/=oc-c/计算即可得解.

【详解】

BCCE

(1).BC^—AC9CEf——.........

ACBC

■：ZBCE=ZECB,：.△BCE-△ACB,：.ZCBE=ZA.

1.,ZA=ND,ZD=NCBE,CD=CB；

②连接。B、OC.

•••ZA=30。，ZB0C=2NA=2x30°=60。.

OB=OC,OBC是等边三角形.

CD=CB,/是△BCD的内心，.〔OC经过点/,设。C与BD相交于点F,则

CF=BCxsin30°=—SC,BF=BC»cos30°=—BC,所以，BD=2BF=2x12-BC=J3BC,设△8C。

222

11即;•石11

内切圆的半径为r,则5A88-BD»CF=-(BD+CD+BC)»r,BC*-BC=-

2222

解得：23

(y/jBC+BC+BC)»r,r=—BC=^-