浙江省衢州市龙游中学2023年高三数学理联考试卷含解析

浙江省衢州市龙游中学2023年高三数学理联考试卷含

解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.已知号,且则向量•与）夹角的大小为

XXMX

A.6B.4c.3D,2

参考答案：

C

2.如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为

25

D.24

参考答案:

C

111

由算法流程图知s=0+?+"+6=I;选C.

3.已知向量a=(1,—1),b=(2,x).若a•b=1,则x二

£1

(A)—1(B)—2(C)2(D)1

参考答案：

D

4.在区间［—2,2］上任意取一个数x,使不等式,一工<0成立的概率为()

1111

A.6B,2C,3D.4

参考答案：

D

【分析】

先解不等式，再根据几何概型概率公式计算结果.

1-01

-------=—

【详解】由？一工<0得0<x<l,所以所求概率为2-(-2)4,选D.

【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求

解.

(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，

有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.

(3)儿何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性.基本事件可以抽象为点，尽管

这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用"比例解法''求解几何概型的

概率.

5.设集合”Y'e"P'-g+9'7°=口.若则满足条件的所有实数

4的和等于

3

A.iB.4

1

C.10D.-10

参考答案：

D

j,N=(yhJx-l+ij

<x-<lk2/=|j*

6.己知R是实数集，M=lx，则NClcmu

A.(1,2)B.[0,2]C.0D.[1,2]

参考答案：

D

7.某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩

的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88,乙组学生成绩的中位数是89,则

m+n的值是（）

甲组乙组

879

6883??8

w29225

A.10B.11C.12D.13

参考答案:

C

【考点】茎叶图.

【分析】利用平均数求出m的值，中位数求出n的值，解答即可.

【解答】解：・・•甲组学生成绩的平均数是88,

・・・由茎叶图可知78+86+84+88+95+90+m+92=88X7,/.m=3

又乙组学生成绩的中位数是89,・・・n=9,

m+n=12.

故选：C.

8.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当X<O时，则fQ呜9）的值

为()

-11

A.-3B.3C.3D.3

参考答案：

B

/（x）=—1

9.已知函数H若关于X的方程广a）+b〃h-c0恰有6个不同的实数

解，则“，,的取值情况不可能的是（

A,1<6<0,c-0B.1+A+C>0,C>0

C1+btc<0.c>0p1+A-c=0,0<t'<1

参考答案：

c

略

I

10.设a,且4厚0,则是a6的（）

（A）充分但不必要条件（B）必要但不充分条件

（C）既不充分也不必要条件（D）充要条件

参考答案：

C

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.下列5个正方体图形中，,是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在

棱的中点，能得出?上面MNP的图形的序号是（写出所有符合要求的图形

序号）

参考答案:

答案：①④⑤

12.已知｛a.｝满足

a=1,2n-1

l十向弋)"®*)，Sn=ai+4-a2+4•a3+-+4an(类比课本中推

SW

导等比数列前n项和公式的方法，可求得"5.

参考答案：

n

【考点】类比推理.

【分析】先对S0=ai+a2?4+a3?42+・“+a??41两边同乘以4,再相加,求出其和的表达式，整

04n

理即可求出5s「4"a”的表达式，即可求出n5n.

【解答】解：由S.=ai+a2?4+a：；?42+・“+a“?4n-'①

23n1

得4?8„=4?3|+32?4+3:(?4+-+3„.,?4-+a„?4"(2)

2

①+②得：5s„=ai+4(ai+aa)+4?(aa+as)+,•,+4"'?(an-i+a„)+an?4"

142.(_1)2

=ai+4X4+4+・・・+4”?an

n

=1+1+1+―+l+4?an

=n+4n?a”.

所以5Sn-4"?"刁.

故,50三5,

n

故答案为亏.

【点评】本题主要考查数列的求和，用到了类比法，是一道比较新颖的好题目，关键点在

于对课本中推导等比数列前n项和公式的方法的理解和掌握.

3

13.已知a是第二象限角，Ksina=>^®>tan(a+p)=—2,则tanp=.

参考答案：

1

7

【考点】两角和与差的正切函数.

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosa,tana的值，进而利用两角和的正

切函数公式即可计算得解.

『，tan(a+8)=-2

【解答】解：ra是第二象限角，且sina=JI5

,——?―叵

•••cosa=-vl-sina=_10,tana=-3,

tana+tanPtan。-3

1-tanCLtanP=l+3tanB=-2,

1

•••tanP=7.

故答案为：7.

14.将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是—.

参考答案：

等

【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台)；棱锥的结构特征.

【专题】计算题.

【分析】通过圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，求出圆锥的

高，即可求出圆锥的体积.

【解答】解：圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，

所以圆锥的底面周长为：2页，

底面半径为：1,圆锥的高为：

2

圆锥的体积为：3'IVS=—3冗

【点评】本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，利用扇形求出底面周长，然后求出体

积，考查计算能力，常规题型.

15.抛物线丫=-4＞上的动点M到两定点F(0,-1),E(1,-3)的距离之和的最小值

为—,

参考答案:

4

【考点】抛物线的简单性质.

【分析】因为E在抛物线内部，如图，当E,M,P三点共线的时候最小，最小值是E到准

线的距离.

【解答】解：将抛物线方程化成标准方程为x、-4y,

1

可知焦点坐标为(0,-1),-3<-W,所以点E(1,-3)在抛物线的内部，

如图所示，设抛物线的准线为1,过M点作MPJ_1于点P,

过点E作EQ_L1于点Q由抛物线的定义可知，IMFI+I物|

=|MP|-+|ME|>|EQ|,当且仅当点M在EQ上时取等号,又

EQ|=1_(-3)=4,故距离之和的最小值为4.

故答案为：4.

acosB-bcosA--c

16.在aABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且2,当tan(A

-B)取最大值时，角C的值为.

参考答案：

n

~2

考点：两角和与差的正切函数；正弦定理的应用.

专题：压轴题；三角函数的求值.

分析：利用正弦定理及诱导公式化简已知的等式，整理后利用同角三角函数间的基本关系

弦化切后得到tanA=3tanB,利用两角和与差的正切函数公式化简tan(A-B),将

tanA=3tanB代入，利用基本不等式变形,求出tan(A-B)取得最大值时tanA与tanB的

值，进而确定出A与B的度数，即可此时得到C的度数.

11

解答：解：利用正弦定理化简已知的等式得：sinAcosB-sinBcosA=2sinC=2sin(A+B)

_1

=2(sinAcosB+cosAsinB),

整理得：sinAcosB=3cosAsinB,

两边除以cosAcosB得：tanA=3tanB,

2

tanA-tanB2tanB]

则tan(A-B)=l+tanAtanB=l+3tan2B=^1:an^+tanB,

•：A、B是三角形内角，且tanA与tanB同号，

・・・A、B都是锐角，即tanA>0,tanB>0,

11V3

3tanB+tanB>2A/3,当且仅当3tanB=tanB,即tanB=3时取等号，

tdnA—3tanB—A/3,

nn

/.A=3,B=6,

n

则C="2.

71

故答案为：~2

点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，正弦定理，同角三角函数间的基本关系，

诱导公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键.

17.已知函数了(工”1卜-2|,则不等式的解集为

参考答案：

略

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.(本小题满分12分)

设函数f(x)=s-r'+aln(x+l).

(1)若函数y=f(x)在区间U♦+3上是单调递增函数，求实数以的取值范围；

0<7八4>V__La-ln?

(2)若函数y=f(x)有两个极值点xl,x2且xl〈x2,求证：、工，<2+|"Z'

参考答案：

(I)［-4,+8)(II)略【知识点】导数的应用B12

2x'+2x+a

(I)根据题意知：『(X)=-rn-20在［1,+8)上恒成立.

即-x2-2x在区间［1,+8)上恒成立.

・・・-2x2-2x在区间［l,+8)上的最大值为-4,・・・a2-4；

2/+2x-4

经检验：当a=-4时，f'(x)=X+120,x£［1,+8).

•♦.a的取值范围是［-4,+8).

2/+2x+a

(IDfz(x)=-m-=0在区间(-1,+8)上有两个不相等的实数根,

即方程2x2+2x+a=0在区间(-1,+°°)上有两个不相等的实数根.

---->-1

.2

/(-I)<01

记g(x)=2x2+2x+a,则有-2,解得0Va〈2.

1S-2a1

/.xl+x2=-l,2x22+2x2+a=0,x2=-2+2,-2<x2<0.

/(「)_-(2x：+2马)皿马+D

X1-1-X2

x2-(2/+2x)ln(x+D

令k(x)=-1-X,xC(-2,0).

—^+21n(x+1)—^+21n(x+1)

k1(x)=(l+x)'P(X)=a+x)'

2x，+6x+2]

.'.p/(x)=。+x)3,pz(-2)=-4,p*(0)=2.

在xOe(-2,0)使得p'(xO)=0.当xW(-2,xO),p'(x)<0；

1

当xe(xO,0)时，p'(x)>0.而k'(x)在(-2,xO)单调递减，在(xO,0)单调

递增，

Vkz(-2)=l-21n2<0.k'(0)=0,

1J

二当xC(-2,0),k1(x)<0,/.k(x)在(-2,0)单调递减，

人)1

即0<入<-2+ln2.

【思路点拨】(I)已知原函数的值为正，得到导函数的值非负，从而求出参量的范围；

(II)利用韦达定理，对所求对象进行消元，得到一个新的函数，对该函数求导后，再对

导函数求导，通过对导函数的导导函数的研究，得到导函数的最值，从而得到原函数的最

值，即得到本题结论.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

19.(本小题满分12分)

正项等差数列｛W满足&=4,且a”a4+2,2a,-8成等比数列.

(I)求数列(吗的通项公式；

4=求数列[&J的前n项和Tn.

(II)令

参考答案:

（I）4=工・2；（］［）■2n+4.

试题分析：（I）根据，4・2如一8成等比,可得q（4叫=（.+2）,根据等差数

列的通项公式将其转化为关于公差〃的一元二次方程,可得〃的值,根据该数列为正项等差

数列可知d>0.从而可得"・.（II）将％〜变形，用裂项相消法可求得

试题解析：解：

（I）设数列（■!公差为4d>°）,由已知得：,（如一8）=（，+2）',

化简得：12=0,解得：d=2或d=Y（舍），

所以.=1）4=北+2...巧分

4111

（H），（■+1）（«■+2）«+1«+2,

所以X

=6』平一+00ip___q

（23）（34）（45）储♦1n*2j

11a

2n+22n+4.

••,12分

考点：1等差数列的通项公式,前。项和公式;2裂项相消法求和.

20.己知向量”（皿卬于②，^（2cos«,0）（»>0）;函数/（x）”小的图象与直线

/=-2+。的相邻两个交点之间的距离为n.

（I）求a的值；

（口）求函数人幻在上的单调递增区间.

参考答案:

［OJ<i)e・i,<n)/⑶的单调电区间5H.书卜［存,辞)

【第析】

试题分析，(I)先由根生折运H舄/(x)=2c8(2ex+为+/.再由图象与・嫌/--2♦♦的

6

相锁15个交点之J闻的距离为,舄丁=”•从而求需0=h(D)由x«0,5］得2x.2它［2.4开+31

再由姬函蚊的革调性可舄/(*)的■调*区间为I把.史

.1212和偿制♦

ijtKM^rt(I)/(x)«4sin(4>x+)cotan1分

a

■sin0x…42cotax=273co»®x-2«n®xcosa>x

=^(1+cos2dfx)-nn2ox=2c8(2。"勺+W5分

6

由尊意・T=zr.21=刀.0=1

6分

2。

K.n

(0)/(x)=2co«(2x+-)+^.X€(o,2;r]w.2x+-e

66

afc2x+-e[^,2>r]«2x+-e[3?r.4/r]W.〃x)国调&•9分

66

即/(幻的单调事区间为12分

号点，，向■的数■机।2.三角恒秀受授।3.三角通曲的他调性

略

21.(本小题满分12分)在MAC中，内角4艮(,的对边分别为4A一

cosJ-3cost."3c-a

已知ccsAh

sinC

(I)求sin4的值;

(II)若。为钝角，力一10,求a的取值范围.

参考答案：

3e--a_3sinf'-sinA

由正弦定理，设b-sin/?

所以

cos/Tcok3sin