山东省各市各区2021年中考模拟数学试题汇编：相似解答题

山东省各市各区2021年中考模拟数学试题汇编:

相似解答

1.(2021•龙口市模拟)在等腰中，41/=力⑸点。在边41/上，△"8是直

角三角形，ZCMD=90°,AMCD=^AMAB,连接BC,BD,点。是4。的中点,

连接力。

(1)如图1,作力于连接。足当//儿阳=45°时，求证：△/OE相似

于ABDM;

(2)如图2,当/力"4=30°时，线段如与线段力。存在怎样的数量关系？写出证

明过程.

2.(2021•章丘区一模)如图，在矩形AB8中，AD=kAB(k>0),点E是线段CB

延长线上的一个动点.连接力区过点力作力尸14后交射线。。于点足

(1)如图1,若女=1,求/尸与/£之间的数量关系；

(2)如图2,若女r1,试判断/尸与/E之间的数量关系，写出结论并证明(用含A

的式子表示)；

(3)若AD=2AB=4,连接BD交AF于点G,连接EG,当CF=1时，求EG的

长.

3.(2021•新泰市模拟)如图，在正方形月88中，点题7V分别在月3、3。边上，Z

MDN=45°.

(1)如图1,ZW交力台的延长线于点?求证：DM2=MB»MF;

(2)如图2,过点〃作"尸1。3于P,过N作及Q1BZ?于。，若。。=16,求

对角线3。的长;

(3)如图3,若对角线力。交加，。户分别于点T,E.判断△O77V的形状并说明理

由.

4.(2021•济南模拟)已知，是的角平分线.

(1)如图1,求证：黑=兽；

CDAC

(2)如图2,歹是的中点，E是C4延长线上一点，JSLAE=AB,EF交AD千点

G,连接BG,求证：BG=BD-,

(3)如图3,月尸是△月B。的中线，CHIIAB(AB<CH),NHAF=NB=6G°,BC

=10,CH=6,请直接写出/B的长为.

5.(2021•济南模拟)如图，由△/笈。绕点/按逆时针方向旋转90°得到，且

点B的对应点。恰好落在BC的延长线上，AD,EC相交于点P.

(1)求的度数；

(2)户是EC延长线上的点，且N。。斤=NZMC

①判断以和依的数量关系，并证明；

小七FEPPC

②求证：PF=CF-

6.(2021•济南模拟)在矩形力中，AELBD于点E,点尸是边月。上一点.

(1)若BP平分上ABD,交AE于点G,PF工BD于点F,如图①，证明四边形/GQ

是菱形；

(2)若PE_LEC,如图②，求证：AE・AB=DE・AP;

(3)在(2)的条件下，若月8=1,BC=2,求月尸的长.

7.(2021•济南模拟)△力BC在边长为1的正方形网格中如图所示.

①以点。为位似中心，作出△A3。的位似图形△4刍。,使其位似比为1:2.且△4刍。

位于点。的异侧，并表示出4的坐标.

②作出△48。绕点。顺时针旋转90°后的图形△为2与2c

③在②的条件下求出点B经过的路径长.

8.(2021•济南模拟)如图，45为。。的直径，。为。。上一点，。为期延长线上一

点，/_ACD=/_B.

(1)求证：。。为。。的切线；

(2)线段。户分别交/。，BC于点E,F且NCEF=45：。。的半径为5,sin3=

-I，求CF的长.

b

c

9.(2021•济南模拟)如图1所示，在四边形力38中，点O,E,F,G分别是月B,

BC,CD,40的中点，连接OE,EF,FG,GO,GE.

(1)证明：四边形是平行四边形；

(2)将△OGE绕点。顺时针旋转得到△OMV,如图2所示，连接G",EN.

①若0后=b，0(9=1,求黑的值；

(JJII

②试在四边形月B8中添加一个条件，使G",3的长在旋转过程中始终相等.(不

要求证明)

10.(2021•济南模拟)如图，在中，AB=AC,40为3。边上的中线，DE].AB

于点E.

(1)求证：4BDES&CAD.

(2)若力5=13,BC=10,求线段。名的长.

11.(2021•市中区一模)如图，是的直径，。是。。上一点，。是余的中点，E

为。。延长线上一点，月E是OO的切线，AC与BD交于点H,与CE交于点?

(1)求证：(CAE=2(C;

Q

(2)若。"=9,tan/C==,求直径力6的长.

12.(2021•历下区三模)如图，是0。的直径，点。在OO上，力。平分NC43,

是。。的切线，40与BC相交于点E,与。。相交于点F,连接EF.

(1)求证：BD=BE;

(2)若DE=4,BD=2疾,求力E的长.

13.(2021•济南模拟)如图所示，的半径为4,点/是上一点，直线/过点/;

尸是。。上的一个动点(不与点力重合)，过点尸作用1/于点B,交。。于点E,直

径尸。延长线交直线/于点尸，点/是笛的中点.

(1)求证：直线/是。。的切线；

(2)若“4=6,求。8的长.

14.(2021•济南模拟)如图，在正方形中，E是AB上一点,连接。£过点工

作力户1AE,垂足为歹，©。经过点。、D、F,与4D相交于点G.

(1)求证：△AFG^XDFO,

(2)若正方形力的边长为4,力£=1,求。。的半径.

15.(2021•邹城市二模)如图，月夕是。。的直径，。是。。上一点，。是众的中点，E

为延长线上一点，且/CAE=2AC,/C与3。交于点H,与。后交于点F.

(1)求证：/E是。。的切线；

(2)若直径的长为10,tanC=4,求8的长.

参考答案

1.【分析】(1)由得H为MB的中点，由/4Affi=45°得/跖18

=90°,再由直角三角形斜边上中线等于斜边一半得力再由点。是2。的

中点结合中位线定理得OE//"。且/_BMD=/.AEO,即可证△BAfs

4AEO-,

(2)如图，作月尸1瓶B于尸，连接。尸，同理，先证明〃B=2百4斤，MD=2^ZOF,

再证明N3〃O=N4斤。，即可证明△El〃?s△力尸。，故西40.

【解答】解：(1)证明：・.・//=AELMB,

.•.E为板的中点，

•：AAMB=45°,

：.Z.MAB=180°-2X45°=90°,

：.AE=^MB,

•.•点。是BC的中点，

OEIIMC且OE=^MC,

；.NOEB=£CMB=45°,

：.AAEO=45°,

•；ZCMD=90°,

；"BMD=45°,

ZBMD=ZAEO,

:ABMDsXAEO,

(2)BD=42AO-,

证明：如图，作月日MS于在，连接。居

D

•：AM=AB,AFA.MB,

；.F为MB的中点,

•：Z.AMB=30°,

.-.271^4^=180°-2X30°=120°,

ZMCD=^/_MAB=60°,

•：ACMD=90°,

：.^CDM=30°,

：.tanAMB=tanACZ7M=tan300=蚂=迎=^1,

MDMF3

：.MB=2y12AF,

•.・点。是B。的中点，

OFII且OF.MC,

：.AOFB=ACMB=30°,MD=2MOF,

：./_AFO=60°,

ZBMD=ZAFO,

：.4BMDs&AFO,

：.BD=-f^AO.

2.【分析】(1)证明△&1B也△E4。G4S4),由全等三角形的性质得出力9=ZE;

(2)证明△力BEsBDF,由相似三角形的性质则可得出结论；

(3)①当点尸在线段。。上时，求出/G长.由△力BEs4/。尸可求出/反•则可得

出答案；

②如图2,当点尸在线段。。的延长线上时，同理可求出EG的长.

【解答】解：(1)AE=AF.

■：AD=AB,四边形/BCD矩形，

，四边形是正方形，

:.NBAD=90°,

,：AF]_AE,

：.AEAF=9QQ,

ZEAB=ZFAD,

:AEAB^XFADkASA),

：.AF=AE-,

故答案为：AF=AE.

(2)AF=kAE.

证明：.二四边形488是矩形，

/.ZBAD=ZABC=ZADF=90°,

；.N必5N必B=90°,

■：AF\_AE,

：.AEAF=9Qa,

:.ZEAB+£FAB=9G°,

NEAB=/FAD,

■：AABE+AABC=180°,

：.AABE=1800-AABC=180°-90°=90°,

：.LABE=/_ADF.

：.XABEsXADF,

.ABAE

"AD"AF?

-：AD=kAB,

.ABJ,

"ADT,

,AE1

"AFT,

：.AF=kAE.

(3)解：①如图1,当点尸在线段。。上时，

•.•四边形月夕8是矩形,

：.AB=CD,ABHCD,

■：AD=2AB=4,

二.AS=2,

/.8=2,

,/CF=1,

DF=CD-CF=2-1=1.

在RtZ\4D9中，/40斤=90°,

•••y4F=VAD2+DF2=V42+l2=^17>

'：DF\\AB,

：./_GDF=(GBA,ZGFD=ZGAB,

:.XGDFSXGBA,

.GFJF=1

,旗旗为

•：AF=GF+AG,

•''?lc=:yAF=-|V17-

,:△ABEsMDF,

.AE_AB=2=1

"AF

在Rta诩G中，^EAG=90°,

3庐萨J(*2+(亨)2=罕

②如图2,当点尸在线段。。的延长线上时，DF=CD+CF=2+[=3,

=2

^FVAD+DF2=V42+32=5-

■：DFIIAB,

•••NGAB=ZGFD,NGBA=ZGDF,

:AAGBSXFGD,

.AG_AB_2

"FG"FD

•：GF+AG=AF=5,

：.AG=2,

,：XABESAADF,

.AE_AB2_1

"AF"AD

115

：5=2,

.AE=—2AF=—2X°2

在Rt△94G中，/及4G=90°,

^=VAE2AG2=-J(y)2+22=2!®->

综上所述，EG的长为■|仃或亨.

3.【分析】(1)先判断出/皮次=/居进而判断出△BOMs△。刃0,即可得出结论;

(2)先判断出NC&V=NB&1/,进而判断出△。/〃。△心跖得出与毛，同理△

LUUIM

ADMS&QDN,得出祟鲁，进而得出。即可得出结论；

DQDN

DEFT

(3)先判断出△。匝sacWE,得出器受，进而判断出△。。"△"花，得出/

TNE=2ECD=45°,即可得出结论.

【解答】解：(1)如图1,连接加，

••・四边形月B8是正方形，

：.ADBA=45°,

:.£F+2BDF=45°,

♦：£MDN=45°,

:"BDM+"DF=45°,

ZBDM=ZF,

•：ZBMD=ZDMF,

DFM,

,DMBM

一而而’

即D球=ME/MF;

(2)解：••・四边形力68是正方形，

:.AD=CD,NC=//=90°,^BDC=45°,

:.Z.CDN+乙BDN=45°,

又乙MDN=45°,

：,Z.J3DN+Z.BDM=45°,

ZCDN=ZBDM,

又•・•〃01AB于P,

・・・/DPM=9U°=ZC,

：.1\CDNSXPDM,

.DP_DM

•历而，

同理：XADMSAQDN,

.ADJDM

,演而

.ADJDP

,演F，

:.D6DP=AI>CD,

•；DADQ=16,

・,.4>8=16,

A^Z>2=16,

.・.AD=4,

：.CD=4,

根据勾股定理得，加=4亚；

(3)解：△O77V是等腰直角三角形；理由如下:

,:乙TDE=/_ECN=43°,ZDET=ZCEN,

：・l\DTEsXCNE,

.DEET

"CE

又,：乙DEC=/_TEN,

：.△CDESANTE,

：.zTNE=/.ECD=45°,

又•：乙TDE=4S°,

ZP77V=90°,

••・△O77V是等腰直角三角形.

图1

4.【分析】(1)先过点B作迎//力。交力。延长线于点反，由于诚///C,利用平行线

分线段成比例定理的推论、平行线的性质，可得ABDESMDA,/_E=/_DAC,再利

用相似三角形的性质可有黑=整,而利用力。时角平分线又知N£=ZDAC=ZBAD,

于是等量代换即可证；

(2)如图2中，在月。上截取月”，使得AH=AB,连接GH,DH,BH交力。于《连

接BE,取BE的中点P,连接%KF.想办法证明四边形4G//。是平行四边形即可

解决问题；

(3)如图3中，延长力户交的延长线于G.首先证明^力与mZXG。尸，推出45=

CG,AF=FG,设AB=CG=x,AF=FG=y.想办法构建方程组求出x即可；

【解答】(1)证明：如图1中，

过点4作BEII4C交力。延长线于点E,

■：BEIIAC,

：.ZDBE=ZC,2E=£CAD,

：ABDES4CDA,

.BD_BE

"CD-AC*

又1•月。是角平分线，

/£=/DAC=ZBAD,

BE=AB,

,AB=BD.

"AC-CD；

(2)证明：如图2中，在月。上截取月H,j^AH=AB,连接GH,DH,BH交AD

于《连接BE,取BE的中点P,连接即KF.

图2

•：AB=AH,/_BAG=/_HAG,AG=AG9

•,AABGQAAHG(SAS),

：.BG=GH,,.,AB=AH,

・•.Z。垂直平分线段

:.BK=HK,

♦:PE=PB,

：.PKUEH,

•:BK=KH,BF=FC,

KFIIEH,

：.PK与KF

,:PE=PB,PFIIEC,

：.PK,«尸是同一条直线，

..GK=FKDK=FK

.而一而‘PB-FP，

.GK=DK

一丽―利

:.GK=KD,

♦：BK=KH,

・•・四边形是平行四边形,

；.GH=BD,・.BG=GH,

：.BG=BD.

(3)解：如图3中，延长4"交的延长线于G.

G

易证：XAB咋/\GCF,

：.AB=CG,AF=FG,设AB=CG=x,AF=FG=y,

■：AHAG=AB=60°,ABHHG,

；"FCG=NB=60°,

ZFCG=ZGAH,

NG=/G,

：.1\GFCSXGHA,

.FG=GC

''GH-GA，

:.2yi=x（A+6）①，

作切切LOG于〃.

在Rt△尸。”中，■：CF=^BC=5,ZCFH=30°,

：.CH=—,切=自反，

22

在Rt△阻G中，,:FM=Flf+G密,

.../=（季）2+2②，

由①②解得x=8-g或8+JH（舍弃），

：.AB=8-^J-[4-

故答案为8-g.

5.【分析】（1）由旋转的性质得出AB=AD,NA40=9O°,4ABsMADE,得出

NADE=NB=45：可求出NBA后的度数；

（2）①由旋转的性质得出力。=月5NC4E=90°,证得NFPD=NFDP,由等腰三

角形的判定得出结论；

②过点P作PHilED交DF于点H,得出2HPF=NDEP,祟浅，证明△依&△

CDF（ASA）,由全等三角形的性质得出〃尸=C尸，则可得出结论.

【解答】解：（1）•••△4OE由△/BC绕点力按逆时针方向旋转9。°得到，

：.AB=AD,/_BAD=9Q0,/\ABC^/\ADE,

在Rt△4中，NB=/ADB=45°,

：.AADE=A3=45°,

/.zBDE=zADB+ZADE=90°.

(2)①DF=PF.

证明：由旋转的性质可知，AC=AE,ACAE=90°,

在RtZk/CH中，/_ACE=/_AEC=^,

•/ZCDF=ZCAD,AACE=AADB=45°,

ZADB+ZCDF=Z/CE+ZC4。，

即ZFPD=ZFDP,

：.DF=PF.

②证明：过点P作PHIIED交DF于点H,

•：2DPF=2ADE+Z.DEP=45°+Z_DEP,

2DPF=/.ACE+ZDAC=45°+/ZMC,

ZDEP=ZDAC,

又•：ZCDF=/DAC,

・•.ZDEP=ZCDF,

ZHPF=ZCDF,

又,：FD=FP,/_F=/_F,

：./\HPF^^CDF(ASA),

:,HF=CF,

；,DH=PC,

V..EP_DH

乂'PF

.EPJPC

''PF'CF,

6・【分析】（1）想办法证明月月G//呼；推出四边形力GFP是平行四边形，再

证明24=用即可解决问题.

(2)证明可得祟=桀，由此即可解决问题.

DEDC

(3)利用(2)中结论.求出。国力E即可.

【解答】(1)证明：如图①中，

,・•四边形5E8是矩形，

.\Z_BAD=90°,

\'AEA_BD9

・・・/4ED=90°,

：,^BAE+Z.EAD=90°,/_EAD^Z_ADE=90°,

ZBAE=ZADE,

•：ZAGP=/_BAG^/_ABGy/_APB=/_ADE^/_PBD,/_ABG=/_PBD,

・・・NAGP=NAPG,

.\AP=AG,

'：PAAB.PFLBD,BP平分ZABD,

:.PA=PF,

：.PF=AG,

••,AE1ED,PF1BD,

；,PFIIAG,

••・四边形4G即是平行四边形，

♦:PA=PF,

・•・四边形力G?P是菱形.

(2)证明：如图②中,

pD

•：AE]_BD,PELEC,

:.乙AED=/_PEC=q。。,

:./_AEP=/_DEC,

2EAA£ADE=9。。,2ADE+£CDE=9N,

・•.ZEAP=ZEDC,

:AAEP^XDEC,

.AE_AP

•,瓦一瓦’

•；AB=CD,

/.AE・AB=DE・AP;

(3)解：•・・四边形4S8是矩形,

:.BC=AD=2,ZBAD=90°,

22

•1•BD=VAB+AD=Vs>

■：AE]_BD,

5_

?£；=22=

ZVAD-AE，

,/AE・AB=DE*AP;

造XI

但-w-1

2

5

7.【分析】①延长/C到4使A,C=^AC,延长4。到B［使BXC=^BC,则刍C

满足条件;

②利用网格特点和旋转的性质画出4B的对应点』2、B2,从而得到△月222c

③先计算出CB的长，然后根据弧长公式计算点6经过的路径长.

【解答】解：①如图，△4马。为所作，点4的坐标为（0,0）;

②如图，△为马。为所作;

③CB=yj12+42=VTz>

点3经过的路径长==球兀・

9°,:1802

8.【分析】（1）根据圆周角定理得：N/C3=N3CO/OC4=90°,根据同圆的半径

相等和已知相等的角代换可得：N08=90°,可得结论；

（2）先根据三角函数计算力。=6,反7=8,证明△8①△瓦力，得绘等=1_昌

DCCDo4

设力。=3x,CD=4x,利用勾股定理列方程可得x的值，证明列比

例式可得C户的长.

【解答】（1）证明：连接。G

••・43为。。的直径，

ZACB=ZBCCXZ.OCA=90°,

08=OC,

：.NB=/BCO,

-：/_ACD=/_B,

：./_ACD=ABCO,

：./_ACD^/_OCA=90°,即/08=90°,

•・•。。为。。的切线;

(2)解：RtZ\/C3中，44=10,

5AB

.\AC=6,BC=8,

ZACD=",/_ADC=/.CDB,

：.△CADSXBCD,

.AC二他二@二3

••前FkW

设4D=3x,CD=4x,则。。=5+3x,

RtZXOCZ?中，od+cU=orP,

52+(4x)2=(5+3x)2,

x=0(舍)或X=拶，

,:NCEF=45°,2月8=90°,

/.CE=CF,

设CF=a,

■：ZCEF=ZACD^ZCDE,

ACFE=/.B+ABDF,

：.ZCDE=ZBDF,

•：AACD=AB,

：ACEDS4BFD,

9•【分析】(1)连接力。，由四个中点可知OE7//C、OE=^AC,GFIIAC、GF=^AC,

据此得出OE=GKOE=GF,即可得证；

(2)①由旋转性质知OG=OMOE=ON,ZGOM=ZEON,据此可证△OGMs4

的得冷害心

②连接力。、BD,根据①知若要GM=EN只需使AOGM迫八OEN,

添加使AC=BD的条件均可以满足此条件.

【解答】解：（1）如图1,连接工。，

C

•.•点。、E、F、G分别是AB、BC、CD、AD的中点,

：.OEHAaOE=^AC,GFIIAC.GF=^AC,

：.OE\\GF,OE=GF,

四边形OEFG是平行四边形;

(2)①•.•△OGE绕点。顺时针旋转得到△OMV,

OG=OM>OE=ON,ZGOM=ZEON,

.OG=OM

■,OE-ON，

△OGMsXOEN,

②添加力。=3。，

如图2,连接ACBD,

•.•点O、E、F、G分别是/ABC、CD、的中点,

/.OG=EF=^BD.OE=GF=^AC,

•・・AC=BD,

OG=OE,

■：△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN,

：.OG=OM.OE=ON,ZGOM=ZEON,

：.OG=OE>OM=ON,

在△OGAf和△OER中，

'OG=OE

ZG0M=ZE0N,

OM=ON

△OGM^AOEN(S>4S),

：.GM=EN.

10,【分析】(1)想办法证明"EB=£ADC=90。即可解决问题;

(2)利用面积法：a・//>虞?=/・4^•。石求解即可；

【解答】解：(D-：AB=AC9BD=CD,

：.AD1BC9/_B=/_C,

DEY.AB,

；.LDEB=/_ADC,

：.XBDEs&CAD.

(2)-：AB=AC,BD=CD,

：.AD]_BC,

22=

在Rt^ADB中，AD=7AB-BD7132-52=12，

—•AD*BD=—*AB»DEi

11.【分析】(1)根据垂径定理得到OE1AC,可得/%依=90。,由切线的性质可得

/94。=90。,于是得到结论；

(2)连接解直角三角形即可得到结论.

【解答】解：(1)是踊的中点，

・•.OE_\_AC9

."AFE=90°,

・•・/石+/区4"=90°,

.・YE是。。的切线，

・••/胡0=90°,

.・・/石+/4。石=90。,

，ZEAF=2AOE,

AAOE=2AACD,

：./_CAE=2/_ACD\

(2)连接4。，

在Rt△力ZW中，ZDAC=ZC,

3

.*.tanZDAC=tanC=—,

4

•；DH=9,

・・.AD=12,

在RtZ\3D4中，

3

*/tan5=tanC=—,

4

3

/.sinF=—,

5

.\AJ3=20.

12.【分析】(1)利用圆周角定理得到N/CB=90°,再根据切线的性质得//助=90°,

则NA4ZX/O=90°,然后利用等量代换证明N3即=N。，从而判断即=BE;

(2)利用圆周角定理得到N4R8=90°,则根据等腰三角形的性质。尸=后尸=/。£=

2,再证明△BCW△月。B,利用相似比求出力。的长，然后计算即可.

【解答】(1)证明：・•・力吕是。。的直径，

；.NACB=90°,

：./_CAE+/_CEA=90°.

•：ZBED=/CEA,

:2CAE+±BED=g°.

•••m是。。的切线，

：.AABD=90°,

ABALh-ABDA=90°.

又1,月。平分NCAB,

ZCAE=ZBAD,

：.ZBED=ZBDA,

:,BD=BE*,

(2)解：是OO的直径,

：./_AFB=W,

又,：BE=BD,

：.DF=£：F=yDE=2.

在Rt^3Z"中，根据勾股定理得，BF=4.

ZP=ZP,NBFD=£ABD=90°,

/.XBDFsXADB、

.BDDFnn2752

一通询'.AD=2旄'

解得40=10,

：.AE=AD-DE=6.

13,【分析】(1)连接。E,OA.想办法证明。41M即可；

(2)作。且LP4于H,只要证明△力可得警=祟，即可解决问题.

PAPB