【中考】2017数学汇编43-填空题中的压轴题含解析

专题43：填空题中的压轴题

1、（4分）（2017•兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，。ABCO的顶点A,

B的坐标分别是A（3,0）,B（0,2）.动点P在直线y=|x上运动，以点P为

圆心，PB长为半径的。P随点P运动，当。P与。ABCO的边相切时，P点的坐

标为（0,0）或（Z,1）或（3-显坐一

3一2

【分析】设P（x,-|x）,G）P的半径为r,由题意BCLy轴，直线OP的解析式

y=lx,直线OC的解析式为y=-2x,可知OPLOC,分分四种情形讨论即可.

23

【解答】解：①当。P与BC相切时，•.•动点P在直线y=当上，

2

，P与O重合，此时圆心P到BC的距离为OB,

AP（0,0）.

②如图1中，当。P与OC相切时，则OP=BP,AOPB是等腰三角形，作PE_L

y轴于E,则EB=EO,易知P的纵坐标为1,可得P（1_,1）.

③如图2中，当。P与OA相切时，则点P到点B的距离与点P到x轴的距离相

解得x=3+V5RK3-代，

Vx=3+V5>OA,

，P不会与OA相切，

x=3+依不合题意，

.•.p（3-代，±±ZE）.

④如图3中，当。P与AB相切时，设线段AB与直线OP的交点为G,此时PB=PG,

VOP1AB,

?.NBGP=NPBG=90°不成立，

•••此种情形，不存在P.

综上所述，满足条件的P的坐标为（0,0）或（2,1）或（3-遥，丝、

32

【点评】本题考查切线的性质、一次函数的应用、勾股定理、等腰三角形的性质

等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题,

属于中考填空题中的压轴题.

2、（3分）（2017•广州）如图，平面直角坐标系中O是原点，口ABCD的顶点A,

C的坐标分别是（8,0）,（3,4）,点D,E把线段OB三等分，延长CD、CE

分别交OA、AB于点F,G,连接FG.则下列结论：

①F是OA的中点；②AOFD与4BEG相似；③四边形DEGF的面积是变；④

3

3

其中正确的结论是①③（填写所有正确结论的序号）.

【分析】①证明△CDBs^FDO,列比例式得：理■型，再由D、E为OB的三

OF0D

等分点，则坨=2=2,可得结论正确；

0D1

②如图2,延长BC交y轴于H证明OAWAB,则NAOBWNEBG,所以△OFD

^△BEG不成立；

③如图3,利用面积差求得：SACFG=SOOABC-SAOFC-SAOBG-SAAFG=12,根据相

似三角形面积的比等于相似比的平方进行计算并作出判断；

④根据勾股定理进行计算OB的长，根据三等分线段OB可得结论.

【解答】解：①•••四边形OABC是平行四边形，

；.BC〃OA,BC=OA,

.,.△CDB^AFDO,

•••BC一BD,,

OF-OD

•.•D、E为OB的三等分点,

•BD_2

.•，，,-I=2’

OD1

­BC

••=2’

OF

，BC=2OF,

，OA=2OF,

...F是OA的中点；

所以①结论正确；

②如图2,延长BC交y轴于H,

由C(3,4)知:OH=4,CH=3,

.,.OC=5,

，AB=OC=5,

VA(8,0),

/.OA=8,

AOA^AB,

.•.NAOBWNEBG,

/.△OFD^ABEG不成立，

所以②结论不正确；

③由①知：F为OA的中点，

同理得；G是AB的中点，

AFG是AOAB的中位线，

.'.FG=X0B,FG〃OB,

V0B=3DE,

，FG=3DE,

2

•FG_3

••，，”:~,

DE2

过C作CQ±AB于Q,

SuOABC=OA・OH=AB・CQ,

，4X8=5CQ,

，CQ=丝，

SAOCF」OF・OH="4X4=8,

22

SACGB=—BG*CQ=—X刍*E^=8,

2225

SAAFG=1X4X2=4,

2

SACFG=S。OABC-SAOFC-SAOBG-SAAFG=8X4-8-8X4=12,

•.•DE〃FG,

.,.△CDE^ACFG,

.SACDE（DE）2=4,

S/kCFGFG9

.S四边形DEGF_5

••----------'-,

^ACFG9

•5四边形DEGF5

••----------二,

129

.90

••S四边彩DEGF=------；

3

所以③结论正确;

④在Rt/XOHB中，由勾股定理得：OB2=BH2+OH2,

°B=3+（3+8产

：.OD=^1-,

3

所以④结论不正确；

故本题结论正确的有：①③；

故答案为：①③.

【点评】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质、图形与坐标特点、

勾股定理、三角形的中位线定理、三角形相似的性质和判定、平行四边形和三角

形面积的计算等知识，难度适中，熟练掌握平行四边形和相似三角形的性质是关

键.

3、（3分）（2017•贵港）如图，过C（2,1）作AC〃x轴，BC〃y轴，点A,B

都在直线y=-x+6上，若双曲线y=K（x>0）与AABC总有公共点，则k的取

X

值范围是2WkW9

【分析】把C的坐标代入求出kB2,解两函数组成的方程组，根据根的判别式

求出kW9,即可得出答案.

【解答】解：当反比例函数的图象过C点时，把C的坐标代入得：k=2Xl=2；

把y=-x+6代入y=k得：-x+6=X,

xx

X2-6x+k=0,

△=(-6)2-4k=36-4k,

•反比例函数y=k的图象与aABC有公共点,

x

A36-4k，0,

kW9,

即k的范围是2WkW9,

故答案为：2WkW9.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根的判别式等知识点的应

用，题目比较典型，有一定的难度.

4、（5分）（2017•六盘水）计算1+4+9+16+25+...的前29项的和是8555.

【分析】根据每一项分别是I?、22、32、42、52可找到规律，整理可得原式关于

n的一个函数式，即可解题.

【解答】解:12+22+32+42+52+..+292+...+n2

=0X1+1+1X2+2+2X3+3+3X4+4+4X5+5+...(n-1)n+n

=(l+2+3+4+5+...+n)+[OX1+1X2+2X3+3X4+...+(n-1)n]

=n(n+l)+包(1X2X3-0X1X2)+1(2X3X4-1X2X3)+L(3X4X5-2

2333

X3X4)+...+■!■[(n-1)(n+1)-(n-2),(n-1)»n]}

3

=n(n+l)+工[(n-1)-n-(n+1)]

23

=n(n+l)(2n+l),

当n=29时，原式=29X(29+1)X(2X29+1)=8555.

6

故答案为8555.

【点评】本题考查了学生发现规律并且整理的能力，本题中整理出原式关于n

的解析式是解题的关键.

5、(4分)(2017•遵义)如图，点E,F在函数y=2的图象上，直线EF分别与x

X

轴、y轴交于点A、B,且BE：BF=1：3,则aEOF的面积是2.

—3—

【分析】证明△BPEsaBHF,利用相似比可得HF=4PE,根据反比例函数图象

上点的坐标特征，设E点坐标为(t,Z),则F点的坐标为(3t,2),由于SA

t3t

OEF+SAOFD=SZ\OEC+S榜jgECDF,SAOFD=SAOEC=11所以Sz\OEF=S林形ECDF,然后根据梯

形面积公式计算即可.

【解答】解：作EP，y轴于P,EC，x轴于C,FDLx轴于D,FHLy轴于H,

如图所示:

•.•EP，y轴，FH，y轴,

，EP〃FH,

.,.△BPE^ABHF,

APEBE=^；即HF=3PE,

HF-BF3

设E点坐标为（t,2）,则F点的坐标为（3t,2）,

t3t

SAOEF+SAOFD=SAOEC+S梯形ECDF,

而SAOFD=SAOEC=—X2=1,

2

二・Sz\OEF二S梯形ECDF=工）（3t-t）=—；

23tt3

故答案为:1.

【点评】本题考查了反比例函数的几何意义、相似三角形的判定与性质；掌握反

比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的比例系数的几何意义，证明三角形

相似是解决问题的关键.

6、（3分）（2017•哈尔滨）如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接

AM,过点D作DELAM,垂足为E.若DE=DC=1,AE=2EM,则BM的长为

~5~~'

【分析】由AAS证明△ABM^^DEA,得出AM=AD,证出BC=AD=3EM,连

接DM,由HL证明Rt^DEM丝RtZ\DCM,得出EM=CM,因此BC=3CM,设

EM=CM=x,则BM=2x,AM=BC=3x,在RtAABM中，由勾股定理得出方程，

解方程即可.

【解答】解：•••四边形ABCD是矩形,

.*.AB=DC=1,NB=NC=90°,AD〃BC,AD=BC,

ZAMB=ZDAE,

VDE=DC,

:.AB=DE,

VDE±AM,

...NDEA=NDEM=90。，

，ZAMB=ZDAE

在△ABM和aDEA中，(NB=NDEA=90°

AB=DE

/.△ABM^ADEA(AAS),

AM=AD,

VAE=2EM,

，BC=AD=3EM,

连接DM,如图所示：

在RtADEM和RtADCM中，ZDM=DM,

(DE=DC

ARtADEM^RtADCM(HL),

，EM=CM,

；.BC=3CM,

设EM=CM=x,则BM=2x,AM=BC=3x,

在Rt^ABM中，由勾股定理得：12+(2x)2=(3x)2,

解得：x=返，

5

.•.BM=2恒

5

故答案为：沮

5

【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌

握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键.

7、(3分)(2017•齐齐哈尔)经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三

角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角

形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线如图，线段CD是△

ABC的“和谐分割线”，4ACD为等腰三角形，4CBD和aABC相似，NA=46。,

则/ACB的度数为113。或92。.

【分析】由4ACD是等腰三角形，ZADOZBCD,推出NADONA,即AC

#CD,分两种情形讨论①当AC=AD时，②当DA=DC时，分别求解即可.

【解答】解：•.•△BCDS/SBAC,

/.ZBCD=ZA=46O,

•••△ACD是等腰三角形,VZADOZBCD,

AZADOZA,即ACWCD,

①当AC=AD时，NACD=NADC=L(180°-46°)=67°,

2

.•.NACB=67°+46°=113°,

②当DA=DC时，ZACD=ZA=46°,

.".ZACB=460+46°=92°,

故答案为113。或92。.

【点评】本题考查相似三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是

灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题

型.

8、（3分）（2017•绥化）如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得

到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，

【分析】记原来三角形的面积为s,第一个小三角形的面积为si,第二个小三角

形的面积为S2,…，求出SI,S2,S3,探究规律后即可解决问题.

【解答】解：记原来三角形的面积为s,第一个小三角形的面积为si,第二个小

三角形的面积为S2,…，

….Sl=—1,s=-^1-*s,

422

S2=—•J^S=_1—»S,

4424

S3=-^-*S,

26

・.・Sn=―1—^s=-^l—i•—r•e2>2=--1

22n22n2

故答案为

22kl

【点评】本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积等知识，解题的关键是循

环从特殊到一般的探究方法，寻找规律，利用规律即可解决问题.

9、（3分）（2017•恩施州）如图，在6X6的网格内填入1至6的数字后，使每

行、每列、每个小粗线宫中的数字不重复，则aXc=2.

13

532

4

2

36C5

5ab3

【分析】粗线把这个数独分成了6块，为了便于解答，对各部分进行编号：甲、

乙、丙、丁、戊、己，先从各部分中数字最多的己出发，找出其各个小方格里面

的数，再根据每行、每列、每小宫格都不出现重复的数字进行推算.

【解答】解：对各个小宫格编号如下:

13

*।1GJ

532

4

内J

2

36c5

rttci

5ab3

先看己：已经有了数字3、5、6,缺少1、2、4；观察发现：4不能在第四列，2

不能在第五列，而2不能在第六列；所以2只能在第六行第四列，即a=2；则b

和c有一个是1,有一个是4,不确定，如下：

13

532

4

2

36c5

52b3

观察上图发现：第四列已经有数字2、3、4、6,缺少1和5,由于5不能在第二

行，所以5在第四行，那么1在第二行；如下：

13

5312

4

25

36c5

52b3

再看乙部分：已经有了数字1、2、3,缺少数字4、5、6,观察上图发现：5不

能在第六列，所以5在第五列的第一行；4和6在第六列的第一行和第二行，不

确定，

分两种情况:

①当4在第一行时，6在第二行；那么第二行第二列就是4,如下:

1354

543126

4

25

36C5

52b3

再看甲部分：已经有了数字1、3、4、5,缺少数字2、6,观察上图发现：2不

能在第三列，所以2在第二列，则6在第三列的第一行，如下：

126354

543126

4

25

36C5

52b3

观察上图可知：第三列少1和4,4不能在第三行，所以4在第五行，则1在第

三行，如下:

126354

543126

14

25

346c5

52b3

观察上图可知：第五行缺少1和2,1不能在第1歹IJ,所以1在第五列，则2在

第一列，即c=l,所以b=4,如下：

126354

543126

14

25

234615

5243

观察上图可知：第六列缺少1和2,1不能在第三行，则在第四行，所以2在第

三行，如下:

126354

543126

142

251

234615

5243

再看戊部分：已经有了数字2、3、4、5,缺少数字1、6,观察上图发现：1不

能在第一列，所以1在第二列，则6在第一列，如下：

126354

543126

142

251

234615

615243

观察上图可知：第一列缺少3和4,4不能在第三行，所以4在第四行，则3在

第三行，如下:

126354

543126

3142

4251

234615

615243

观察上图可知：第二列缺少5和6,5不能在第四行，所以5在第三行，则6在

第四行，如下：

126354

543126

35142

46251

234615

615243

观察上图可知：第三行第五列少6,第四行第五列少3,如下:

126354

543126

351462

462531

234615

615243

所以，a=2,c=l,ac=2；

②当6在第一行，4在第二行时，那么第二行第二列就是6,如下:

再看甲部分：已经有了数字1、3、5,6,缺少数字2、4,观察上图发现：2不

能在第三列，所以2在第2歹4在第三列，如下：

观察上图可知：第三列缺少数字1和6,6不能在第五行，所以6在第三行，则

1在第五行，所以c=4,b=l,如下：

观察上图可知：第五列缺少数字3和6,6不能在第三行，所以6在第四行，则

3在第三行，如下：

124356

563124

643

256

31645

5213

观察上图可知：第六列缺少数字1和2,2不能在第四行，所以2在第三行，则

1在第四行，如下：

124356

563124

6432

2561

31645

5213

观察上图可知：第三行缺少数字1和5,1和5都不能在第一列，所以此种情况

不成立；

综上所述：a=2,c=l,aXc=2；

故答案为：2.

【点评】本题是六阶数独，比较复杂，关键是找出突破口，先推算出一个区域或

者一行、一列，再逐步的进行推算.

10、（3分）（2017•黄冈）已知：如图,在ZkAOB中，ZAOB=90°,A0=3cm,

BO=4cm.将aAOB绕顶点0,按顺时针方向旋转到AAIOBI处，此时线段OBi

与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段BiD=1.5cm.

【分析】先在直角^AOB中利用勾股定理求出AB=^QA2+0B2=5cm,再利用直

角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OD=』AB=2.5cm.然后根据旋转的

2

性质得至OBi=OB=4cm,那么BiD=OBi-0D=1.5cm.

【解答】解：・.•在aAOB中，ZAOB=90°,AO=3cm,BO=4cm,

AB=7oA2+OB2=5cm,

•.•点D为AB的中点，

OD=AAB=2.5cm.

2

V^AAOB绕顶点0,按顺时针方向旋转到AAIOBI处，

/.OBi=OB=4cm,

.*.BiD=OBi-OD=1.5cm.

故答案为1.5.

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转

中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了直角三角形

斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理.

11、（3分）（2017•十堰）如图，正方形ABCD中，BE=EF=FC,CG=2GD,BG

分别交AE,AF于M,N.下列结论：①AFLBG；®BN=1NF；③典=3；④S

3MG8

河边形CGNF=k四边彩ANGD.其中正确的结论的序号是①③.

2

【分析】①易证4ABF之4BCG,即可解题；

②易证△BNFsaBCG,即可求得网的值，即可解题；

NF

③作EHJ_AF,令AB=3,即可求得MN,BM的值，即可解题；

④连接AG,FG,根据③中结论即可求得S四边形CGNF和S四娜ANGD,即可解题.

【解答】解：①•••四边形ABCD为正方形，

，AB=BC=CD,

VBE=EF=FC,CG=2GD,

，BF=CG,

'AB=BC

•.,在AABF和ABCG中，＜/ABF=NBCG=90°，

BF=CG

/.△ABF^ABCG,

，NBAF=NCBG,

VZBAF+ZBFA=90°,

.*.ZCBG+ZBFA=90o,即AFLBG；①正确;

②...在4BNF和4BCG中，［NCBG=/NBF

IZBCG=ZBNF=9O0

NFCG2

.•.BN=2NF；②错误;

3

③作EH_LAF,令AB=3,则BF=2,BE=EF=CF=1,

AF:,福生产值，

SAABF=1AF«BN=1AB»BF,

22

.•.BN=^S1,NF=1BN=.^S1,

13313

，AN=AF-NF=2/S,

13

•••E是BF中点,

AEH是△BFN的中位线,

3^/13

AEH=；NH=2VT3_)BN〃EH,

1313

，AH=.生叵，解得：MN=M:叵，

13AHEH143

.*.BM=BN-MN=^ZH,MG=BG-BM=8^,

1111

③正确;

MG8

④连接AG,FG,根据③中结论,

则NG=BG-BN=Z2ZH,

13

*.*S四边形CGNF=SZ\CFG+SAGNF=^CG・CF+A_NF・NG=1+A^=~^，

221313

S四边形ANGD二SAANG+S^ADG二J-AN・GN+lAD・DG=il+W=Il,

2226213

S四边形CGNFW-S四边形ANGD，④错误;

2

故答案为①③.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了相似三角形的判定和对应

边比例相等的性质，本题中令AB=3求得AN,BN,NG,NF的值是解题的关键.

12、（3分）（2017•随州）在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B

两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速

驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距

离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示.下列结论：①甲车

出发2h时，两车相遇；②乙车出发1.5h时，两车相距170km；③乙车出发2区

7

时，两车相遇；④甲车到达C地时，两车相距40km.其中正确的是②③④（填

写所有正确结论的序号）.

【分析】①观察函数图象可知，当t=2时，两函数图象相交，结合交点代表的意

义，即可得出结论①错误；②根据速度=路程♦时间分别求出甲、乙两车的速度,

再根据时间=路程+速度和可求出乙车出发L5h时，两车相距170km,结论②正

确；③根据时间=路程+速度和可求出乙车出发2耳时，两车相遇，结论③正确;

7

④结合函数图象可知当甲到C地时，乙车离开C地0.5小时，根据路程=速度义

时间，即可得出结论④正确.综上即可得出结论.

【解答】解：①观察函数图象可知，当t=2时，两函数图象相交，

TC地位于A、B两地之间，

二交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论①错误；

②甲车的速度为240+4=60(km/h),

乙车的速度为200+(3.5-1)=80(km/h),

(240+200-60-170)+(60+80)=1.5(h),

...乙车出发1.5h时，两车相距170km,结论②正确；

③；(240+200-60)+(60+80)=2反(h),

7

...乙车出发2耳时，两车相遇，结论③正确；

7

@V80X(4-3.5)=40(km),

.•.甲车到达C地时，两车相距40km,结论④正确.

综上所述，正确的结论有：②③④.

故答案为：②③④.

【点评】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象逐一分析四条结论的正误是

解题的关键.

13、(3分)(2017•咸宁)如图，在Rt^ABC中，BC=2,ZBAC=30°,斜边AB

的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，下列结论：

①若C、。两点关于AB对称，则OA=2«；

②C、O两点距离的最大值为4；

③若AB平分CO,则AB_LCO；

④斜边AB的中点D运动路径的长为2L；

2

其中正确的是①②（把你认为正确结论的序号都填上）.

【分析】①先根据直角三角形30。的性质和勾股定理分别求AC和AB,由对称

的性质可知：AB是OC的垂直平分线，所以OA=AC；

②当OC经过AB的中点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为4；

③如图2,当NABO=30。时，易证四边形OACB是矩形，此时AB与CO互相平

分，但所夹锐角为60。，明显不垂直，或者根据四点共圆可知：A、C、B、O四

点共圆，则AB为直径，由垂径定理相关推论：平分弦（不是直径）的直径垂直

于这条弦，但当这条弦也是直径时，即OC是直径时，AB与OC互相平分，但

AB与OC不一定垂直；

④如图3,半径为2,圆心角为90。，根据弧长公式进行计算即可.

【解答】解:在R3ABC中,VBC=2,NBAC=30。,

AB=4,AC=^42_22=2A/3,

①若C、。两点关于AB对称，如图1,

，AB是OC的垂直平分线，

则OA=AC=2代；

所以①正确；

②如图1,取AB的中点为E,连接OE、CE,

VZAOB=ZACB=90°,

，OE=CE3AB=2,

2

当OC经过点E时，OC最大，

则C、O两点距离的最大值为4；

所以②正确；

③如图2,当NABO=30。时，ZOBC=ZAOB=ZACB=90°,

四边形AOBC是矩形，

...AB与OC互相平分，

但AB与OC的夹角为60。、120。，不垂直，

所以③不正确；

④如图3,斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的L,

则：

所以④不正确;

综上所述，本题正确的有：①②;

故答案为：①②.

图3产A

【点评】本题是三角形的综合题，考查了直角三角形30。的性质、直角三角形斜

边中线的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、动

点运动路径问题、弧长公式，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是本题

的关键，难度适中.

14、（3分）（2017•襄阳）如图,在AABC中,NACB=90°,点D,E分别在AC,

BC上，且NCDE=NB,将4CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处.若

AC=8,AB=10,则CD的长为空.

一8一

【分析】根据D,C,E,F四点共圆，可得NCDE=NCFE=NB,再根据CE=FE,

可得NCFE=NFCE,进而根据NB=NFCE,得出CF=BF,同理可得CF=AF,由

此可得F是AB的中点，求得CF=1AB=5,再判定△CDFSACFA,得至CF2=CD

2

XCA,进而得出CD的长.

【解答】解：由折叠可得，ZDCE=ZDFE=90°,

AD,C,E,F四点共圆，

，NCDE=NCFE=NB,

又•.•CE=FE,

:.ZCFE=ZFCE,

，NB=NFCE,

；.CF=BF,

同理可得，CF=AF,

AF=BF,即F是AB的中点,

.—BC中，CF=J-AB=5,

由D,C,E,F四点共圆，可得NDFC=NDEC,

由NCDE=NB,可得NDEC=NA,

；.NDFC=NA,

又•.•NDCF=NFCA,

.".△CDF^ACFA,

，CF2=CDXCA,即52=CDX8,

，CD=空，

故答案为：25.

【点评】本题主要考查了折叠问题，四点共圆以及相似三角形的判定与性质的运

用，解决问题的关键是根据四点共圆以及等量代换得到F是AB的中点.

15、(3分)(2017•孝感)如图，在平面直角坐标系中，OA=AB,ZOAB=90°,

反比例函数y=k(x>0)的图象经过A,B两点.若点A的坐标为(n,1),则

X

k的值为近人.

一2-

【分析】作AE，x轴于E,BFLx轴于F,过B点作BC_Ly轴于C,交AE于G,

则AGLBC,先求得aAOE0ABAG,得出AG=OE=n,BG=AE=1,从而求得B

(n+1,1-n),根据k=nX1=(n+1)(1-n)得出方程，解方程即可.

【解答】解：作AE，x轴于E,BF_Lx轴于B过B点作BC_Ly轴于C,交AE

于G,如图所示：

则AG±BC,

VZOAB=90°,

/.ZOAE+ZBAG=90o,

VZOAE+ZAOE=90o,

.,.ZAOE=ZGAB,

，ZA0E=ZGAB

在AAOE和4BAG中，，NAOE=/AGB=90°

A0=AB

.'.△AOE^ABAG(AAS),

.•.OE=AG,AE=BG,

•.•点A(n,1),

AG=OE=n,BG=AE=1,

.*.B(n+1,1-n),

k=nX1=(n+1)(1-n),

整理得:n2+n-1=0,

解得：n=T遍（负值舍去）,

2

••II-------,

2

.•.k=M；

2

故答案为：返工.

2

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、

解方程等知识；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征，证明三角形全等是解

决问题的关键.

16、（3分）（2017•常德）如图，有一条折线A1B1A2B2A3B3A4B4…,它是由过Ai

（0,0）,Bi（2,2）,A2（4,0）组成的折线依次平移4,8,12,…个单位得

到的，直线y=kx+2与此折线恰有2n（n2l,且为整数）个交点，则k的值为-

【分析】由点Ai、A2的坐标，结合平移的距离即可得出点An的坐标，再由直线

y=kx+2与此折线恰有2n(n2l,且为整数)个交点，即可得出点Ami(4n,0)

在直线y=kx+2上，依据依此函数图象上点的坐标特征，即可求出k值.

【解答】解:VAi(0,0),A2(4,0),A3(8,0),A4(12,0),...»

AAn(4n-4,0).

•.•直线y=kx+2与此折线恰有2n(n?l,且为整数)个交点，

.•.点An+i(4n,0)在直线y=kx+2上，

0=4nk+2,

解得：k=-J_.

2n

故答案为：-L.

2n

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化中的平

移，根据一次函数图象上点的坐标特征结合点An的坐标，找出0=4nk+2是解题

的关键.

17、(4分)(2017•怀化)如图，在菱形ABCD中，ZABC=120°,AB=10cm,点

P是这个菱形内部或边上的一点.若以P,B,C为顶点的三角形是等腰三角形,

则P,A(P,A两点不重合)两点间的最短距离为10立-10cm.

【分析】分三种情形讨论①若以边BC为底.②若以边PB为底.③若以边PC

为底.分别求出PD的最小值，即可判断.

【解答】解：连接BD,在菱形ABCD中，

,/ZABC=120°,AB=BC=AD=CD=10,

/.ZA=ZC=60o,

.'.△ABD,4BCD都是等边三角形，

①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，

此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点

P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10；

②若以边PB为底，NPCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC

相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足aPBC是等腰三角形，当

点P在AC上时，AP最小，最小值为10«-10；

③若以边PC为底，NPBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC

上的点A与点D均满足APBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小,

显然不满足题意，故此种情况不存在；

综上所述，PD的最小值为10^3-10（cm）；

故答案为：10a-10.

【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等

知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.

18、（4分）（2017•岳阳）如图，。0为等腰aABC的外接圆，直径AB=12,P

为弧前上任意一点（不与B,C重合），直线CP交AB延长线于点Q,。。在点

P处切线PD交BQ于点D,下列结论正确的是②③④.（写出所有正确结论

的序号）

①若NPAB=30。，则弧康的长为兀；②若PD〃BC,则AP平分NCAB；

③若PB=BD,则PD=6在；④无论点P在弧宙上的位置如何变化，CP・CQ为定

值.

【分析】①根据NPOB=60。，0B=6,即可求得弧康的长；②根据切线的性质以

及垂径定理，即可得到尾或，据此可得AP平分NCAB；③根据BP=B0=P0=6,

可得aBOP是等边三角形，据此即可得出PD=6我；④判定△ACPs/^QCA,即

可得到里空，即CP・CQ=CA2,据此可得CP・CQ为定值.

CACQ

【解答】解：如图，连接0P,

VAO=OP,ZPAB=30°,

.•.ZPOB=60°,

VAB=12,

，0B=6,

弧前的长为60X兀><6=2兀,故①错误;

180

：PD是。O的切线，

/.OP±PD,

•.•PD〃BC,

AOPIBC,

•••CP=BP-

.*.ZPAC=ZPAB,

...AP平分NCAB,故②正确；

若PB=BD,则NBPD=NBDP,

VOP±PD,

，ZBPD+ZBPO=ZBDP+ZBOP,

/.ZBOP=ZBPO,

，BP=B0=P0=6,即ABOP是等边三角形，

/.PD=V3OP=6V3，故③正确；

VAC=BC,

，NBAC=NABC,

又YNABCMNAPC,

二/APC=NBAC,

又；NACP=/QCA,

.".△ACP^AQCA,

...生=生，即CP・CQ=CA2（定值），故④正确;

CACQ

故答案为：②③④.

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，切线的性质以及

弧长公式的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形，解题时注意：

垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.

19、（3分）（2017•张家界）如图，在正方形ABCD中，AD=2炳,把边BC绕点

B逆时针旋转30。得到线段BP,连接AP并延长交CD于点E,连接PC,则三角

形PCE的面积为9-5亚.

【分析】根据旋转的想知道的PB=BC=AB,ZPBC=30°,推出AABP是等边三

角形，得到NBAP=60。，AP=AB=2«,解直角三角形得到CE=2«-2,PE=4

-243,过P作PFJ_CD于F,于是得到结论.

【解答】解：•••四边形ABCD是正方形，

.,.ZABC=90°,

•.•把边BC绕点B逆时针旋转30。得到线段BP,

；.PB=BC=AB,NPBC=30°,

/.ZABP=60o,

.•.△ABP是等边三角形，

/.ZBAP=60o,AP=AB=2«,

•.•AD=2«,

，AE=4,DE=2,

，CE=2a-2,PE=4-2我，

过P作PF±CD于F,

.,.PF=^.PE=2A/3-3,

...三角形PCE的面积=LCE・PF=Lx(273-2)X(2e-3)=9-5r,

22

故答案为：9-5^3-

【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，解

直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键.

20、(3分)(2017•株洲)如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧,

其图象与x轴交于点A(-1,0)与点C(X2,0),且与y轴交于点B(0,-2),

小强得到以下结论：①0Va<2；②-IVbVO；③c=-1；④当［a|=|b|时X2>代

-1；以上结论中正确结论的序号为①④.

【分析】根据抛物线与y轴交于点B(0,-2),可得c=-2,依此判断③；由

抛物线图象与x轴交于点A(-1,0),可得a-b-2=0,依此判断①②；由［a|=|b|

可得二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y=L,可得X2=2,比较大小即可判断④；

2

从而求解.

【解答】解：由A(-1,0),B(0,-2),得6=2-2,

•.•开口向上,

/.a>0；

•.•对称轴在y轴右侧,

--L>o,

2a

...-^=2>0,

2a

a-2V0,

/.a<2；

/.0<a<2；

...①正确；

•••抛物线与y轴交于点B（0,-2）,

.".c=-2,故③错误；

•••抛物线图象与x轴交于点A（-1,0）,

.\a-b-2=0,无法得到0VaV2；®-l<b<0,故①②错误；

'/|a|=|b|,二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，

.,.二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y=A-,

.♦.X2=2>遥-1,故④正确.

故答案为：①④.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系：二次函

数y=ax?+bx+c（aWO）,二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，

抛物线向上开口；当aVO时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a

共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a

与b异号时（即abVO）,对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点.抛

物线与y轴交于（0,c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，-4ac>0时，

抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；

-4acV0时，抛物线与x轴没有交点.

21、（3分）（2017•连云港）如图，已知等边三角形OAB与反比例函数y=K（k

X

>0,x>0）的图象交于A、B两点，将AOAB沿直线OB翻折，得至【J4OCB,

点A的对应点为点C,线段CB交x轴于点D,则毁的值为返工.(已知

DC—2一

sinl5°=2/^-^.)

4

【分析】作辅助线，构建直角三角形，根据反比例函数的对称性可知：直线0M：

y=x,求出NB0F=15。，根据15。的正弦列式可以表示BF的长，证明△BDFs4

CDN,可得结论.

【解答】解：如图，过。作OMLAB于M,

VAAOB是等边三角形，

.*.AM=BM,NAOM=NBOM=30。，

:.A、B关于直线0M对称，

•••A、B两点在反比例函数y=K(k>0,x>0)的图象上，且反比例函数关于直

X

线y=x对称，

直线OM的解析式为:y=x,

AZBOD=45°-30。=15。，

过B作BF_Lx轴于F,过C作CN_Lx轴于N,

sinZBOD=sin15°=^-=V^

OB4

VZBOC=60°,ZBOD=15°,

.•.NCON=45。,

•.△CNO是等腰直角三角形,

，CN=ON,

设CN=x,则OC=&x,

OB=^/2x,

•BF二遍

,,而

.*.BF=_（金1区,

2

•.•BFJ_x轴，CN_Lx轴，

，BF〃CN,

/.△BDF^ACDN,

•BDBF=2'=V3~1

**CD^CNx2~

故答案为：返1L

2

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、等边三角形的性质、等

腰直角三角形的性质和判定、三角函数、三角形相似的性质和判定、翻折的性质，

明确反比例函数关于直线y=x对称是关键，在数学题中常设等腰直角三角形的直

角边为未知数x,根据等腰直角三角形斜边是直角边的我倍表示斜边的长，从而

解决问题.

22、（3分）（2017•苏州）如图，在矩形ABCD中，将NABC绕点A按逆时针方

向旋转一定角度后，BC的对应边BC交CD边于点G.连接BB\CC'.若AD=7,

CG=4,AB'=B'G,则里■二匹.（结果保留根号）.

BB'-5一

【分析】先连接AC,AG,AC,构造直角三角形以及相似三角形，根据aABB，

^△ACC,可得到CC，二或,设AB=AB，=X,则AG=扬，DG=x-4,RtAADG

BB'AB

中，根据勾股定理可得方程72+（x-4）2=（小）2,求得AB的长以及AC的

长，即可得到所求的比值.

【解答】解：连接AC,AG,AC,

由旋转可得，AB=AB',AC=AC',ZBAB'=ZCAC,

•AB=AB，

••而AC，，

/.△ABB'^AACC,

•CC1_=AC

•.BB，利

VAB'=B'G,ZAB'G=ZABC=90°,

/.△AB,G是等腰直角三角形，

.•.AG=V2AB',

设AB=AB'=x,则AG=V5<,DG=X-4,

VRtAADG^1,AD2+DG2=AG2,

：.12+（x-4）2=（&x）2,

解得xi=5,X2=-13（舍去）,

，AB=5,

,RtZSABC中，

•CCy-AC--/74

••--------一..————,

BB'AB5

故答案为：恒.

5

【点评】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角

形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助

线构造直角三角形以及相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例，将岑举

化为迫，并依据直角三角形的勾股定理列方程求解，从而得出矩形的宽AB,这

AB

也是本题的难点所在.

23、(3分)(2017•宿迁)如图，矩形ABOC的顶点O在坐标原点，顶点B,C

分别在x,