浙江省2021届高考数学模拟试卷(一)(3月份)(含答案解析)

浙江省2021届高考数学模拟试卷（一）（3月份）

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）

1.已知集合M=%={%|-3<x<1},N={x\x<3},则集合<一3或%>1]=()

A.MCNB.MUNC.CM(MCIN)D.CM(MUN)

2.复数z满足z(l—i)=|3+4i|,则z=()

A1,7.「55.C5_i_5•

A--2+2lB.1+C.---iD-2+2l

2222

3.已知向量〃=(x+z,3),h=(2,y-z),且。.若x,y满足不等式|x\+|y|<1,则z的取值

范围为（）

A.[-2,2]B.[-2,3]C.[-3,2]D.[-3,3]

4.周长为1,圆心角为Isd的扇形的面积等于（）

5.下列图象中，函数f（%）=（e"一。一"力讥%,%£[-兀,网图象的是（）

6.已知集合上={l,a},5=[1,2,3),则“以=3”是"AGB”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.在数列｛aj中，an=；（n€N*）,从数列｛即｝中选出k（k23）项并按原顺序组成的新数列记为

｛bn）,并称｛4｝为数列｛an｝的左项子列.例如数列;、i：为｛an｝的一个4项子列.若｛勾｝为数

ZO3O

列｛an｝的一个上（人》3）项子列，且｛%｝为等差数列，则｛九｝的公差”的最小值为（）

8.已知双曲线0右支上的一点0到左焦点距离与道右焦点的距离之差为S,且两条渐近

线的距离之积为□，则双曲线的离心率为()

A.0B.0C.0D.0

9.函数以乃=2/一：/在区间[0,6]上的最大值是()

A.vB.当C.12D.9

33

10.设正数a、b、c&R,a+b+c=l,M=(l-i)(l-i)(l-i),贝lj()

A.MG(—oo,—8]B.ME(—8,0)C.MG[0,8)D.MC[8,+oo)

二、单空题(本大题共7小题，共36.0分)

11.仇章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一棱垂直

于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图中

12.已知(1+ax)5=1+10尤+6刀2+…+a's,贝必=.

13.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是mb,c,若竺色丝笔ZSi竺=2sinC,则4c的大

asinB

小为.

22

14.曲线今—3=i(a>0,b>0)的一条渐近线与圆(x-V3)+(y-I)=1相切，则此双曲线的离

心率为______

15.为贯彻“科学防疫”，某复课学校实行“佩戴口罩，不相邻而坐”，现针对一排8个座位，安

排4名同学就坐，那么不同的安排方法共有种.(用数字作答)

16.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，则其中含红球个数的

数学期望是.

17.已知四边形ABC。是边长为3的正方形，若屁=2无，万^2成，则荏•万的值为.

三、解答题(本大题共5小题，共74.0分)

18.函数、=5也(3刀+8)(3>0,|9|<柒在同一个周期内，当％=?时，y取最大值1,当％=工时,

y取最小值-1.

(1)求函数y=/(x)的单调递减区间；

(2)若函数/(%)满足方程/(x)=a(0<a<1),求在[0,2初内的所有实数根之和.

19.如图，在棱长为1的正方体48CD-A/iCWi中，点E是棱名。的

中点，点尸在棱上且&F=2FB.

(1)求证：EF14G；

(2)求平面AEF与平面ABCQ所成角的余弦值.

20.若数列｛斯｝同时满足条件：①存在互异的p,q6N*使得％=aq=c(c为常数)；

②当n丰p且n*q时，对任意nGN*都有斯>c,则称数列｛即｝为双底数列.

(1)判断以下数列｛。工是否为双底数列(只需写出结论不必证明)：

①an=n+*@an=siny；③斯=|(n-3)(n-5)|；

(2)设斯=楙'O'若数列国"是双底数列，求实数的值以及数列｛。"的前〃项和

S"；

(3)设即=(kn+3)舄)%是否存在整数k,使得数列｛斯｝为双底数列？若存在，求出所有的k的值，

若不存在，请说明理由.

21.(本小题满分14分)

已知椭圆C：目+[=1办0)的离心率为左，且经过点中琲

alr

(1)求椭圆C的方程;

(2)直线f：y=ir+t(t#0,)与椭圆C有两个交点4B.若线段通的中点为U，求

证：直线QM的斜率与直线［的斜率的乘积为定值.(。为坐标原点)

22.已知函数，y=f(x)=—炉+。/+力小力£R)

(I)要使/(X)在(0.1)上单调递增，求a的取值范围；

(n)当a>0时，若函数f(%)的极小值和极大值分别为1、试求函数y=f(x)的解析式；

(DI)若x6［0,1］时,y=/(x)图象上任意一点处的切线倾斜角为。，当0W。W*时，求a的取值范围.

【答案与解析】

1.答案：C

解析：解：因为集合”={刈-3<工<1},N=[x\x<3},

所以MnN={x|-3<x<1},

MUN={x\x<3},

则CM(MCN)={x\x<-3或x>1},

CM(MUN)={x\x>3},

故选：C.

根据题意和交、并、补集的运算，分别求出MnN、MUN、CM(MCN)、CM(MUN),即可得答案.

本题考查交、并、补集的混合运算，属于基础题.

2.答案:2

解析：解：|3+4i|=V32+42=5>

:.z=——5=--S-(-l+-i-)-=一5+,5-.1.

1-i(l-i)(l+i)22

故选：D.

先求复数的模，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.

3.答案：D

解析：由题意db得2x+3尸z,而|M+|y|<1表示的区域如图阴影所示，根据线性规划知识

2z_

可知：直线y=--x+—通过A(0,l)时，z取得最大值，且=2x0+3x1=3；

33

2z

当直线y=+?通过8(0,-1)时,Z取得最小值，且Zmin=2x0+3X(-1)=一3.故ze[-3,3].

4.答案：D

解析：

根据扇形的面积公式进行求解即可.

本题主要考查扇形的面积计算，根据扇形的面积公式和弧长公式是解决本题的关键.

解：设扇形的半径为匕弧长为/,

贝〃+2r=1,

•••圆心角为Irad的弧长1=r,

11

・•・3r=1,则r=7I—

则对应的扇形的面积S=|x/r=|x|x|="^,

NZ33lo

故选：D.

5.答案：D

解析:解：根据题意,/(久)=xx则xxxx

(e-e~)sinxff(-%)=(e~—e)sin(—x)=(e-e~)sinx=/(%),

则f(%)为偶函数，排除8。，

在区间(0,冗)上,(ex-e-x)>0,sinx>0,则有f(x)>0,排除A；

故选：D.

根据题意，分析可得/(%)为偶函数且在区间(0,7T)上，/(%)>0恒成立，据此由排除法分析可得答案.

本题考查函数的图象分析，注意分析函数的奇偶性、单调性或特殊值.

6.答案：A

AcS<=>a=2或a=3

解析：二1=3"是的充分不必要条件.

7.答案：A

解析：

本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列通项公式的运用，以及不等式的证明，考查推理能力，

属于难题.

解：由题意，知12儿>…〉员>0,

所以

d=b2-bl<0.

假设人=1,由｛%｝为｛的J的一个上项子列，得尻式右

1-1

所以因为瓦=瓦+

d=b2-b1<--l=--f(k-l)d,bk>0,

111

所以(k—l)d=bk-b[=bk-1>—1,即d>一二y—~~p这与d<-->

所以假设不成立，即瓦

所以瓦

所以当瓦=?,尻=§坛=5时｛砥｝公差最小，此时公差为一七

N36o

故选A.

8.答案：D

解析：试题分析：依题意，0,又双曲线的渐进线方程为冈，又点区两条渐近线的距离之

积为叵]，则叵1,而点区在双曲线上，叵],

冈，代入国求得冈，二区，选D

考点：双曲线的性质，点到直线的距离公式.

9.答案：A

解析：

考查利用导数求函数的最值，属中档题，当函数在一区间上有唯一的极值时，该极值即为相应的最

值.

求导数/''(X)，根据导数的符号变化可求函数的极大值，易判断该极大值即为最大值.

解：A(x)=4%-x2=—x(x—4),

当04x44时,f'[x)>0,f(x)递增；

当4<xW6EI寸，1(%)<0,/'(X)递减；

.••刀=4时/0)取得极大值，也即最大值，

"f(X)max=/(4)=2X16-1x43=y,

故选：A.

10.答案：A

解析：解：Q+b+c=1,

=（答）（铠皑

=-OOO

<_呼）雪）呼）=-8.

当且仅当a=b=c时，取等号.

故选A.

.利用题中条件：“a+b+c=1”将式子M：M=（1（1—一｝进行转化成：一（誓）（等）（等）,

最后利用基本不等式即可求得M的取值范围即可.

本小题主要考查基本不等式等基础知识，考查运算求解能力与转化思想.属于基础题.

11.答案：V3

解析:

本题考查了四棱锥与三棱柱的三视图与体积计算公式，考查了空

间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题.

如图所示，由已知中的三视图可得：该几何体是一个四棱锥与三

棱柱的组合体，其直观图如下图所示，分别利用体积计算公式即

可得出.

解：如图所示，由已知中的三视图可得：该几何体是一个四棱锥与三棱柱的组合体,

其直观图如下图所示：

,该几何体的体积为=lxixl-x+ixl2-x,

623

解得x=V3.

故答案为V5.

12.答案:40

解析：由条件可知Cba=10且C：-a2=b,

b=40.

13.答案：；

asinA+bsinB-csinC

解析：解：在△4BC中,=2sinC

asinBf

由正弦定理可得：贮空W=2sinC,

ab

•••由余弦定理可得：cosC=a+°~c==sinC,

2ab2ab

V2sin(C-J)=0,可得：sin(C-^)=0,

vce(0,TT),c-e

c—£=o,可得：c=£

44

故答案为：a

由已知及正弦定理，余弦定理可得cosC=sinC,利用两角差的正弦函数公式可求sin(C-》=0,结

合范围C*€(_%,),即可得解C的值.

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思

想，属于基础题.

14.答案：2

解析：解：•••双曲线渐近线为bx土ay=0,与圆相切，

••・圆心到渐近线的距离为黑粤=1或骞粤=1，求得百a=b，

Va2+b2Va2+b2

・•・=Q2+匕2=4a2,

/.e=-=2.

a

故答案为：2.

先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离为圆的半径求得a和〃的关

系，进而利用c2=a2+b2求得。和c的关系，则双曲线的离心率可求.

本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等.考查了学生数

形结合的思想的运用.

15.答案：120

解析：解：根据题意，分2步进行分析：

①一排8个座位，安排4名同学就坐，有4个空座位，先将4个空座位排好，

②空座位排好后，有5个间隔，在5个间隔中任选4个，安排4名同学，有4g=120种安排方法，

故答案为：120

根据题意，分2步进行分析：①先将4个空座位排好，②空座位排好后，有5个间隔，在5个间隔

中任选4个，安排4名同学，由排列数公式计算可得答案.

本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

16.答案：1.2

解析：解：设含红球个数为f,f的可能取值是0、1、2,

当《=0时，表示从中取出2个球，其中不含红球，

当f=1时，表示从中取出2个球，其中1个红球，1个黄球，

当$=2时，表示从中取出2个球，其中2个红球，

=。)=修=04，

P&=1)=等=0.6

GS

=2)=1=0.3

:.Ef=0x0.1+1x0.6+2x0.3=1.2.

故答案为：1.2.

由题意知6的可能取值是0、1、2,当6=0时，表示从中取出2个球，其中不含红球，当f=l时，

表示从中取出2个球，其中1个红球，1个黄球，当f=2时，表示从中取出2个球，其中2个红球，

这三种情况根据古典概型概率公式得到结果，求出期望.

本题这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理

科考试必出的一道问题.不过大多数题目是以解答题的形式出现的.

17.答案:9

解析：解：•.•屁=2正，.,・屁=|玩=|而,

又CF=2'FB,=^AD,

・・・AE=AD+DE=^AB+AD,

，,,—>i—>

・・・4F=AB-^BF=AB+-A。，

3

•.....?,一一—一>”一一一>1-一…一»

・・・AE-AF=(“B+AD)•(AB+海)

=-AB2+-AD2+—AB•AD

339

=-X32+-X32+0=9.

33

故答案为：9.

由平面向量基本定理，用荏和而作基底表示向量荏和方，由数量积的运算可得.

本题考查平面向量数量积的运算，用向量荏和而作基底来表示题中的向量是解决问题的关键，属中

档题.

18.答案：解：(1)函数'=新(3%+0)(3>0,|例<)在同一个周期内,

当时，y取最大值1,当％=工时，y取最小值一1.

蜡--尸居吗所以?=拳

解得3=.277=3-,由于|9|<今77

所以当刀=:时，//)=sin弓一3)=1,

解得8=一?所以/（%）=sin（3x_：）,

令］+2/OTS3比一段2/OT+萼（k£Z）,

解得?+|k兀+工(keZ),

所以函数的单调递减区间为《+1上兀,|上兀+工］(忆6Z),

(2)函数/(x)满足方程f(x)=a(0<a<1),在［0,2河内恰有3个周期.

所以6个实数根的关系满足/+右=泉x+x=耳，&+配=等，

434bO

所以在［0,2兀］内的所有实数根之和为T+邛+等=

ZooZ

解析：(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质，求出函数的单调递减区间.

(2)利用函数函数/'(x)满足方程/(x)=a(0<a<1),在［0,2司内恰有3个周期，所以有6个实数根,

故％1+次=三X+X=苑+0=¥，进一步求出和.

Z346o

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的对称性的应

用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.

19.答案：(1)证明：连D$i，DB,

&G1D$T，又BBi1面IBiQDi，41cl1BB、,

又BBinDB=Bi，ACl^iDBB1D1,

又,.・EFu面。口占。］,［A［Ci-LEF.

(2)解：由ED1面ABCD,FBiffiABCD,

得AABD^LA4FE在面ABC。内的投影图形，

S〉ABD=-xlxl=-,又AF=Jl+,=

AE=ll+-=-f

y]42

在OE上取点G,使。G=B尸=：,贝IJEG=±

36

.•.在Rt△EGF中，EF=12=?，

・•,cosz.EAF—2康36,_言...sinZ-EAF=—,

10io

3

・•・S^AEF=171E-AF-sinZ-EAF

=-1x-V5xV—10x-7y-[2

22310

7

-12f

设二平面AEF与ABCD所成角为仇

则COS。=^Xy=|,

即二平面AEF与A8CC所成角余弦值为*

解析：(1)连。1当，DB,D$i，DB,由已知得&C]J■面。8当。1，由此能证明_LEF.

(2)由EDiffiABCD.FB1面A8CD,得△AB。是△AFE在面ABC。内的投影图形，由此求出4尸=乎,

4E=渔，在。E上取点G,使。G=BF=j贝|EG=；,由此能求出二平面AEF与ABCO所成角余

236

弦值.

本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能

力的培养.

20.答案：解：⑴在①中,4=«+：是双底数列;

在②中，即=sin式不是双底数列；

在③中，5=|(n—3)5—5)|是双底数列.

(2)•••即=｛器踪"，数列5｝是双底数列，

51-50

:.a50=劭1，即101—100=2+m=2+?n,解得m=-1,

当1<n<50时，an—101—2n,

｛册｝是首项为由=99,公差d=—2的等差数列，

2

Sn=99n-x2=lOOn-n；

n50

当nA51时，an=2--1,

a-

•••Sn=(%+@2---@50)+(51----1Qn)

2(1-2n-5。)

2

=100X50-50+-1_2---(n-50)

=2n-49-n+2548；

⑶斯=(kn+3)舄)以假设存在整数k,使得数列｛4｝为双底数列，

根据题意，k<0,

11

由回=即+1，得(而+3)•舄)=[k(n+i)+刃.舄严】,

整理，得n=9

vkEZ,:.k=-1或k=-3.

解析：⑴在①中，册=71+；是双底数列；在②中，an=sin段不是双底数列；在③中，an=|(n-

3)(n-5)|是双底数列.

(2)由。50=。51，能求出实数胆的值以及数列｛斯｝的前"项和土.

(3)假设存在整数A,使得数列｛an｝为双底数列，由即=*1，得(碗+3)•舄尸=收〃+1)+3]•

舄严从而"=9崂，由此能求出结果・

本题考查双底数列的判断，考查实数值、数列的前〃项和的求法，考查满足双底数列的实数值的求

法，考查等差数列、双底数列的性质等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中

档题.

21.答案：(1)

由题意得,

fl2="+，

(a=2

解得•所以求椭圆C的方程为+X-=1

43

⑵

y=fc+t

由消y得3f+4(虹+卅=12，

T+Y=1

即0+肥*+腕r+4p-12=0

设贴疗)，双。%)，则工％=一品，

所以线段AR的中点为V的坐标为((一