浙江省2021年中考真题汇编2：解答题压轴题含解析

2021年浙江省中考真题汇编

专题2：解答题压轴题

1.（2021・台州）如图，8。是半径为3的。。的一条弦，BD=46，点A是。。上的一个动点（不与点B,

（1）如图2,若点A是劣弧曲的中点.

①求证：是菱形；②求oABCD的面积.

（2）若点A运动到优弧数上，且口AB8有一边与。O相切.

①求AB的长；②直接写出口ABCQ对角线所夹锐角的正切值.

2.（2021・绍兴）如图，矩形A8CQ中，44=4,点E是边A。的中点，点尸是对角线上一动点,

/404=3。0.连结《凡作点。关于直线EF的对称点P.

（1）若EF±BD,求QF的长.

（2）若PE.LBD，求。尸的长.

（3）直线尸£交8。于点Q,若△曾心旦是锐角三角形，求。尸长的取值范围.

3.（202卜衢州）如图1,点C是半圆。的直径A8上一动点（不包括端点），4石=6cni，过点C作CD±AB

交半圆于点。，连结AQ,过点C作虚//4D交半圆于点E,连结EB.牛牛想探究在点C运动过程中EC

与EB的大小关系.他根据学习函数的经验，记4C=xcm，EC=yfm,悬石=丁产01.请你一起参与

探究函数片、力随自变量x变化的规律.

通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画

出了不完整图象.

x...0.300.801.602.403.204.004.805.60...

片...2.012.983.463.332.832.111.270.38...

力…5.604.953.952.962.061.240.570.10...

（1）当工=3时，%=.

（2）在图2中画出函数Pi的图象，并结合图象判断函数值%与力的大小关系.

（3）由（2）知“AC取某值时，有忿仁=与如图3,牛牛连结了。E,尝试通过计算EC,EB的长来验

证这一结论，请你完成计算过程.

4.（2021•衢州）如图,

（1）【推理】

如图1,在正方形A8C。中，点E是C。上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE,

CF,延长CF交AC于点G

求证：&BCE也X8G.

（2）【运用】

如图2,在（推理）条件下，延长交AQ于点H.若验=£，

CE=9,求线段。E的长.

HPJ

（3）【拓展】

将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF,延长CF,BF交直线AZ）于G,两点，若叁=上,

袈=■!，求餐的值（用含火的代数式表示）.

Hl*□XL

5.（2021•绍兴）问题：如图，在中，AB=E，〃笛=5，ZDAR,/Z/C的平分线AE,

BF分别与直线CO交于点E,F,求EF的长.

答案：商尸=2.

（1）探究：把“问题”中的条件"4B=g'去掉，其余条件不变.

①当点E与点尸重合时，求A8的长；②当点E与点C重合时，求EF的长.

（2）把“问题”中的条件"AB=^4曾=5'去掉，其余条件不变，当点C,D,E,尸相邻两点间的距离

相等时，求绵的值.

6.(2021•金华)在平面直角坐标系中，点A的坐标为(—标',())，点B在直线=上，过点8作

AB的垂线，过原点。作直线/的垂线，两垂线相交于点C.

(1)如图，点B,C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D

①若BA=BO>求证：CD=CO

②若ZCBO=4Se.求四边形4JSOC的面积.

(2)是否存在点B,使得以4耳？为顶点的三角形与△ECO相似？若存在，求。8的长；若不存在,

请说明理由.

7.(2021・丽水)如图，已知抛物线L：y=x2+bx+c经过点A(0,-5),8(5,0).

(1)求b,c的值;

(2)连结4B,交抛物线L的对称轴于点M.

①求点M的坐标；

②将抛物线L向左平移，w(m>0)个单位得到抛物线过点M作轴，交抛物线必于点N.P

是抛物线山上一点，横坐标为-1,过点P作PE〃》轴，交抛物线乙于点E,点E在抛物线乙对称轴

的右侧.若PE+MN=10,求帆的值.

8.（2021•丽水）如图，在菱形A8C。中，NABC是锐角，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A按逆时

针方向旋转，交直线CD于点F.

（1）当AEJ_BC,NEAF=/ABC时，

①求证：AE=AF；

②连结8。，EF,若祟=&，求卢丝一的值；

皿、QjSJSNtCD

（2）当/EAF=时，延长BC交射线AF于点M,延长OC交射线AE于点N，连结AC,

MN,若A8=4,AC=2,则当CE为何值时，AAMN是等腰三角形.

9.（2021•金华）背景：点A在反比例函数歹=4（左＞0）的图象上，4B_Lx轴于点从dC_Ly轴于点

C,分别在射线4G石。上取点QN,使得四边形4JSED为正方形.如图1,点A在第一象限内，当

4c=4时，小李测得CD=3

探究：通过改变点A的位置，小李发现点Q,A的横坐标之间存在函数关系.请帮助小李解决下列问题.

图1E2

（1）求Z的值.

（2）设点4Q的横坐标分别为X.Z,将Z关于x的函数称为“Z函数”.如图2,小李画出了X〉。时“Z

函数''的图象.

①求这个“Z函数”的表达式.

②补画X＜。时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）.

③过点（马2）作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标.

10.(2021•杭州)在直角坐标系中，设函数y=ax^+bx+l(a,b是常数，a/0)»

(1)若该函数的图象经过(1,0)和(2,1)两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；

(2)写出一组〃、〃的值，使函数产以2+公+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由.

(3)已知a=b=1-当x=P，7(P,，是实数，p/g)时，该函数对应的函数值分别为P,。。

若p+q=2,求证：P+Q>6=

11.(2021・湖州)已知在AAC。中，尸是C。的中点,8是A。延长线上的一点，连结8C,AP。

(1)如图1,若NACD=30。，ZCAD=60°,BD=AC,AP=百,求8C的长；

(2)过点。作OE〃AC,交AP延长线于点E,如图2所示，若NCAQ=60。，BD=AC,求证：BC=2AP；

(3)如图3,若NC4£>=45。，是否存在实数，小当时，BC=2AP?若存在，请京谈号出机的值;

若不存在，请说明理由。

12.（2021・湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数歹=8图像上的一个动点，连

结AO,A。的延长线交反比例函数y=i（上>0，XV。）的图像于点瓦过点A作AE_L>轴于点瓦

（1）如图1,过点B作引」X轴于点F,连结EF,

①若fc=L求证：四边形AEF。是平行四边形；

②连结BE,若七=4，求ABOE的面积。

（2）如图2,过点E作EP〃A8,交反比例函数y=t（k>0,x<0）的图像于点P,连结。P。

试探究：对于确定的实数匕动点A在运动过程中，APOE的面积是否会发生变化？请说明理由。

13.（2021•杭州）如图，锐角三角形ABC内接于。O,/BAC的平分线AG交。。于点G,交BC边于点F,

连结BG。

（1）求证：AASGS/VIFC；

（2）已知AB=a,AC=AF=b，求线段FG的长（用含a,占的代数式表示）；

（3）已知点E在线段AF上（不与点A,点尸重合），点。在线段AE上（不与点A,点E重合），ZABD=

NCBE,求证：B（f-=GE-GD»

14.（2021・嘉兴）已知二次函数y=-/+6x-5.

（1）求二次函数图象的顶点坐标；

（2）当1-4时―，函数的最大值和最小值分别为多少？

（3）当时，函数的最大值为〃？,最小值为〃，若〃?-〃=3,求f的值.

15.（2021•宁波）如图

（1）（证明体验）

如图1,AD为的角平分线，/4QC=60。，点E在44上，=求证：口氏平分

LADE

（2）（思考探究）

如图2,在（1）的条件下，F为4J5上一点，连结FC交4曾于点G.若FB=FC，ZX?=2，8=3,

求ao的长.

（3）（拓展延伸）

如图3,在四边形4B8中，对角线4c平分/方皿UC4=2/曾C4,点E在ACh,

/悬DC=/ABC.若BC=5,CD=2^,AD=2AE，求4C的长.

16.（2021咛波）如图1,四边形due内接于。O，HQ为直径，7万上存在点E,满足2=a，

连结H超并延长交8的延长线于点下，H直与WJD交于点G

（1）若ZDBC=a请用含以的代数式表列£AGB

（2）如图2,连结CE,CK=4G.求证；EF=DG

（3）如图3,在（2）的条件下，连结CGAG=2

17.（202卜温州）如图，在平面直角坐标系中，经过原点O,分别交X轴、P轴于X2.0）1的8），

连结4耳直线CM1分别交于点D，松（点ZJ在左侧），交X轴于点C（17,0）-连结AE.

（1）求的半径和直线CM■的函数表达式.

（2）求点D，检的坐标.

（3）点尸在线段4c上，连结尸况当/4E/与△。右。的一个内角相等时，求所有满足条件的OP

的长.

18.（2021・嘉兴）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCQ绕

点A顺时针旋转a（0°<a<90°）,得到矩形连结BQ.

［探究1］如图1,当a=90。时，点C恰好在。B延长线上.若AB=1,求8C的长.

［探究2］如图2,连结AC,过点。作。加〃AC交BO于点M.线段。M与OM相等吗？请说明理由.

［探究3］在探究2的条件下，射线分别交A。，4c于点尸，N（如图3）,发现线段。N,MN,

PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明.

2021年浙江省中考真题汇编解析版

专题2：解答题压轴题

1.（2021・台州）如图，8。是半径为3的。。的一条弦，BD=46，点A是。。上的一个动点（不与点B,

（1）如图2,若点A是劣弧曲的中点.

①求证：是菱形；②求的面积.

（2）若点A运动到优弧数上，且0ABs有一边与。O相切.

①求AB的长；②直接写出。ABCQ对角线所夹锐角的正切值.

【答案】（1）解：①二•点A是劣弧曲的中点，；.AD=AB'=

；四边形ABCD是平行四边形，...平行四边形ABCD是菱形；

②连接A。，交BD于点E,连接。£）,

•.•点A是劣弧数的中点，0A为半径，.•.OA±BD^OA平分BQ,DE=BE=2^'

•••平行四边形A8CD是菱形，为两对角线的交点，

在Ri/\QD¥3OE=^OD^-D^=bd&=2,,S皿口=）皿AEx2=啦;

（2）解：①如图，当CO与0。相切时，连接。0并延长，交AB于点F,

A

与0。相切，DF±CD<AAB=2BF，

♦.•四边形ABC。是平行四边形，...AB//CD，•••DF±AB，

在尸中，jjF1=JSb1-DF1=32-（OF+S）2>

在Ri△石OF中，01^=9-OF1'­-32-（。尸+3?=9-OF2*解得。产=，，

:.b尸=/亚，二数=25产=号亚；

如图，当BC与。。相切时，连接B。并延长，交AO于点G,

同理可得AG=DG=母也,OG=%所以AB=\jEG1+AGl=4^

综上所述，AB的长为号亚或4夜；

②过点A作

由（2）得：5。=4亚dD=g亚3G=3+彳=号，根据等面积法可得^BD-AH=^AD-BG>

解得/7=等，在在RtZ\HD日中，DH=^ADl-AHi=|^&/=班一看亚=号亚,

,tanN==g有.

【解析】【分析】（1）①利用弧的中点可证得弧4。=弧48,利用圆心角、弧、弦之间的关系定理可证得

AD=AB；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论；②连接A0,交BD于点、E,连接。。,

利用垂径定理可求出。E的长，利用菱形的性质及勾股定理求出0E的长，即可得到AE的长；然后利用三

角形的面积公式可求出四边形ABCD的面积.

（2）①当CQ与O。相切时，连接。。并延长，交AB于点、F,利用切线的性质可证得OFLCZ）,利

用垂径定理，可得至IJAB=28R再利用平行四边形的性质可推出AB〃C£>,同时可证得。FLAB；然后利

用勾股定理建立关于O尸的方程，解方程求出0尸的长，继而可求出BF、AB的长；当BC与（3。相切

时，连接80并延长，交A。于点G,先求出4G、0G的长；利用勾股定理求出A8的长；②过点A作

AH±BD,可求出BO,AD,BG的长，利用面积法求出AH的长；再利用勾股定理求出OH的长，从而可

求出出的长；然后利用锐角三角函数的定义求出的值.

2.（2021•绍兴）如图，矩形ABCD中，44=4,点E是边A。的中点，点尸是对角线BQ上一动点,

ZADB=30e.连结EF,作点D关于直线EF的对称点P.

（1）若KF±BD，求QF的长.

（2）若PE_LBD，求。F的长.

（3）直线PE交BQ于点Q,若△工）百色是锐角三角形，求。F长的取值范围.

【答案】（1）解：如图1,矩形ABC。中，

KI

^BAD=9Qe，VZADB=300，AB=4,二加）=4百，

点E是中点，_-.ZJ£=2^..学产JL&3，•••△£「£）为直角三角形,

,:座=志，^ADB=30-：.cos£ADB=^=^--DF=3

U1LZ

（2）解：第一种情况，如图2,

/尸即=60°，由对称性可得，EF平分ZPKD,1DEF=3Qe>£DEF=£EDF=3Q0

△£）邱•是等腰三角形，过点如£等,

•.•在/?也。例尸中，DM=&^ADB=30°ADF=7.

第二种情况，如图3,

BC

图3

延长PE交8。于M

PK±RD'.ZEMD=90°-：£ADB=30eZDEM=6QaAZPED=l20a，

•点D关于直线EF的对称点P：.FE垂直平分PD交PD于H：./HED=60。,NHDE=30°；.ZWDF=60°

：.ZEFD=3O0.-.△普斯是等腰三角形，...FE垂直平分。F

•.•在出△£＞〃£中，DE=2^3'^ADB=30eDM=3

,/DF=2DM=e管尸=6综上：。尸的长为2或6.

（3）解：：△曾方旦是锐角三角形.•.当PE_L8£＞时。F最小，当PEL4。时，DF最大

由（2）可得当/力0£=9。0时，曾产=2（如图2）或6（如图3）.

当/曾£0=90"时，第①种情况，如图4,

N4

EF平分/FEZ），^DEF=4Sa.

过点尸作/MJ-ZZ）于点〃，设EM=a<则FM=a-DM=^3a'；.后a+a=2^，

.4=3-E，DF=6一痘,.2<DF<6-2^3

第②种情况，如图5,

EF平分4AEQ,£MEF=45°-过点F作产”L4曾于点M,

设EM=a＞则FM=a，口”=E。，...后4一”=域，二.”=3+E，DF=6+域，

=6+油＞8,。尸最大值为8,「.6＜曾产近&

综上：2VZJ尸V6—动'或6〈曾产£3

【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，结合中点的性质，根据含30。直角三角形的性质求解即可；

（2）由根据对称的性质可得AOEF是等腰三角形，分两种情况讨论，叩尸在矩形内或矩形外，分别画出图

形，根据含30。直角三角形的性质求解即可；

（3）当尸£，8。时。尸最小，当尸EL4O时，。尸最大，过点F作产M_LZZ）于点M,连接PD,分两

种情况画出图形，根据中点的定义以及特殊角的直角三角形的性质分别求出EM、FM、QM的值，然后利

用勾股定理求出。尸的值，结合（2）中求得的QF的值即可得出a的范围.

3.（202卜衢州）如图1,点C是半圆。的直径A8上一动点（不包括端点），4石=6cni，过点C作CD±AB

交半圆于点。，连结AQ,过点C作虚//4D交半圆于点E,连结EB.牛牛想探究在点C运动过程中EC

与EB的大小关系.他根据学习函数的经验，记4C=xcm，EC=yfm,悬石=丁产01.请你一起参与

探究函数片、力随自变量x变化的规律.

通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画

出了不完整图象.

x...0.300.801.602.403.204.004.805.60...

片...2.012.983.463.332.832.111.270.38...

力…5.604.953.952.962.061.240.570.10...

D.____F»---4

6》(cm)

（1）当工=3时，%=________.

（2）在图2中画出函数上!的图象，并结合图象判断函数值K与力的大小关系.

（3）由（2）知“AC取某值时，有忿仁=与如图3,牛牛连结了。E,尝试通过计算EC,EB的长来验

证这一结论，请你完成计算过程.

【答案】（1）3

（2）解:函数”的图象如图2所示,过两图象的交点M作x轴的垂线,垂足为N,则垂足N表示的数x~2.

..从图象可以看出：当XH2时，片=%；当0令＜2时，为＜%;当x＞2时，

（3）解：如图3,连结O。，过点E作于点

HB

图3

由⑵的初步判断，当XH2时，％=%，HPEC=EB.

不妨取AC=x=2,此时，OC=l，OD=3

•••在Ri/\ODC'^,CD=^OZJ^-OC1=I2=2^"

设OH=m，则S=l+m，EH=Joi?2-Off2==g_R

,:AD〃CE,：.乙DAC=4EC0.又丫/U仁4=/QC=90。，；.△ZUC-△gCH.

两边平方并整理得，3m1+4m—7=。.解得，m]=l方2=一，（不合题意，舍去）

：.HC=0H+0C=l+\=2,EH=^9-mi=*-P=班

EC=^C^+EH1=e+^y=厄=期

1

又：HB=0B-0H=3-1=2,：.EB=^BH^+EH=也=眄=域二EC=EB.

,通过以上计算可知，当取AC=2时，（2）中的结论EC=EB成立.

【解析】【解答】解：（1）当x=3时，动点C与圆心。重合，此时，第=。£=3.

故答案为：3

【分析】（1）当43时，动点C与圆心。重合，即可求出OE（yi）的值.

（2）过点M作MNLt轴于点M可得到点M的横坐标约等于2,分情况讨论：当XH2时;当04<2时;

当x>2时，利用函数图象，可得到yi与户的大小关系.

（3）连结。£>,过点E作E&JL多于点“，利用（2）的判断可知EC=BE,取AC=x=2,此时，可求

出OC,。。的长；利用勾股定理求出CD的长，设。”=，小可表示出CH的长，利用勾股定理表示出E”

的长；再证明△D4CS/\ECH,利用相似三角形的性质可建立关于山的方程，解方程求出符合题意的皿的

值；由此可求出”C,E”的长；然后利用勾股定理求出EC的长及E8的长，由此可证得结论.

4.（2021•衢州）如图，

「“jGH

图1图2备用图

（1）【推理】

如图1,在正方形ABCC中,点、E是CD上一动点,将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE,

CF,延长CF交A。于点G

求证：RBCK限b8G.

（2）【运用】

如图2,在（推理）条件下,延长BF交AD于点H.若驳=J，庭=9,求线段QE的长.

H1*□

（3）【拓展】

将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF,延长CF,BF交直线A。于G,两点，若叁=上，

骇=1,求萼的值（用含火的代数式表示）.

HI*□XL

【答案】（1）证明：如图1,

:△J3FF由△bC百折叠得到，.\BE±CF<：.^ECF+£BEC=9Qe

又;四边形ABC。是正方形，」./笛=/石庭=9。。，J.Z£CF+ZCGD=900，

..£BEC=£CGD，又\•正方形4BCQ，bC=CD.,△bCE色△80（449

（2）解：如图，连接EH，

由（1）得&BCE些&8G,，CE=DG=%

由折叠得2JC=4f，CE=FE=9^£BCF=£BFC

•四边形ABCD是正方形，；.4D"BC，ZBCG=£HGF>

又£BFC=£HFG，：.LHFG=£HGF，：.HF=HG

•.能=§，DG=9,二《71=4,HF=HG=5'：£D=£HFE=9Qa

ffFl+Fif1=DJJ^+DJ?2*.,.S1+91=41+D£2-..DE=3jio（Q君=一司高舍去）

（3）解：如图，连结HE,

由已知可设DH=4m<HG=5m>可令=x>

①当点”在。点左边时，如图，

同（2）可得，HF=HG>..DG=9m>由折叠得BE±CF，ZECF+ZBEC=90°，

又V^D=90°.ZECF+^CGD=90e-，士BEC=/CGD，

又•./石废=/曾=90。，△8G-△石庭，..怨=赛，

-C0_幺•_『•_上-OR_物3_•rjEi_

,BC-BC一.CE_1'・.16―E・・un—丘•

：6=LHFE=90°.：.HFL+FEi-=£）〃+ZU?2，」.（Sn，+（智）'=（4才+（誓『，

.（审3舍去）..DE

-x~3x~3"EC~3

②当点后在D点右边时，如图，

同理得HG=HF，..DG=m同理可得^BCE-XCDG,

可得CE=^=FE,，ZXE=胃，

'：HFl+FK1=ZM71+以序，」.（渥+（等）"=（4才+（华『,

,-.x=^5?+7（x=-©P+1舍去）.二薨=迪壮+1

【解析】【分析】（1）利用折叠的性质可证得BE，CF,利用正方形的性质可得到BC=CQ,ZD=ZBCE,

利用余角的性质可得到NBEC=NCG£＞；然后利用AAS可证得结论.

（2）利用全等三角形的性质可求出。G的长，利用折叠的性质可得到BC=8尸，CE=EF=9；再证明N"FG=

NHGF,利用等角对等边可证得HF="G,结合已知条件可求出“尸的长；再利用勾股定理建立关于

QE的方程，解方程求出。E的长.

（3）连结”E,设。〃=4机，HG=5m,黑=m，①当点”在。点左边时，同理可证得”尸=HG,可得

到。G=9,利用折叠的性质及余角的性质可推出NBEC=/CGD,利用有两组对应角相等的两三角形相似,

可证得△CCGS/^BCE,利用相似三角形的性质，可表示出CE的长，即可得到。E的长；然后利用勾股定

理，可求出x的值，即可得到。E与EC的比值；②当点后在口点右边时，如图，同理可证得ACOGs

△BCE,利用相似三角形的性质，可表示出CE的长，即可得到OE的长；然后利用勾股定理，可求出x

的值，即可得到QE与EC的比值.

5.（2021・绍兴）问题：如图，在口疑CD中，"=8，4Q=5，ZDAB,14BC的平分线AE,

8尸分别与直线CQ交于点E,F,求EF的长.

答案：忌产=2

（1）探究：把“问题”中的条件"d石=§’去掉，其余条件不变.

①当点E与点尸重合时，求A8的长；②当点E与点C重合时，求EF的长.

（2）把“问题”中的条件"4石=8，血=5’去掉，其余条件不变，当点C,D,E,尸相邻两点间的距离

相等时，求维的值.

AB

【答案】（1）解：①如图1,四边形ABCQ是平行四边形，

图1

..AB/fCD>：.£DEA=£EAB.

•.M平分工DAB，±DAE=2EAB.：.£DAK=IDEA：.DE=AD=5

同理可得：后？=£?产=5，,点£与点尸重合，「.融=^曾=1。

②如图2,点E与点C重合，

图2

同理可证DE=DC=AD=5,：.°ABCD是菱形，

'：CF=BC=5,二.点F与点。重合，：.EF=DC=5

（2）解：情况1,如图3,

图3

可得AD=DE=EF=CF，­-'^=5

情况2,如图4,

==

又DF=FE=CE<T

由上，同理可以得到HD=Q£,Cb=CF,又\FD=DC=CE<•■^=^=2

综上：^的值可以是彳，,，2

【解析】【分析】（1）①根据角平分线的定义，结合平行线的性质得出/D4E=N£»E4则知OE=">=5,

同理求出BC=CF=5,从而求出0c的长，即可解答；

②根据①的方法求得Q/BCD的四条边相等，得出-ABCD是菱形，则知点尸与点。重合，即可解

答；

（2）由于E、/点的位置不可确定，则应分情况讨论，根据每种情况，利用A£>=Z）E,CF=CB,结合点

C,D,E,尸相邻两点间的距离相等分别构建等式求解即可.

6.（2021.金华）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（一标",0），点8在直线/：j=|X±,过点3作

A8的垂线，过原点。作直线/的垂线，两垂线相交于点C.

①若BA=BO<求证：CD=CO

②若^CBO=45°>求四边形的面积.

（2）是否存在点8,使得以4耳C为顶点的三角形与△2JC。相似？若存在，求。8的长；若不存在,

请说明理由.

【答案】（1）解：①证明：如图1,

,/BA=BQ，：.Z1=2?/.BA1.BC，AZ2+25=90°

而N4=/5，,Z2+24=90°

■:OB工OC，:.Z1+23=90°/./3=14，:.CD=CO

②如图1,过点A作M_LOB于点”.由题意可知tan/1=卷，

Ct

ATI%

在△中,；.设

RtAHOtan/1=7\J5f5iA=maAH=3&irOH=8na

21^+。必=0/,；•(加>+(防)2=(^?7]“，解得m=l­-AH=3.OH=^

,:ZCBO=45a，/ABC=9N,：.£ABH=4Sa，

BH=^^=*AB=^^=班；.OB=OH-BH=5

•:OB±OC^.CBO=A5a,：.OC=O5xtan450=52?C="£^p'=5\^>

t'COrt-T»

.,.+x班X5亚=15SMJ»=¥"XOC=Gx5x5=亨:

•，•$四边flU«OC=SA41c+SFjBO=等

(2)解：过点A作4H■_L0B于点凡则有AH=3<OH=8.

①如图2,当点C在第二象限内，/4Cb=/CBO时，设OB=t

£ACB=£CB。，：•ACI!OB

又,:AH±OBrOC±OB,：.AH=OC=3

•：AH^OB,AB^BC,：.2：1+22=90°,22+23=90°,A/l=/3，

...AJH5-/\BOC,：.甥=卷，，彳=号，整理得、一殴+9=0,解得f=4±

0石=4±标

②如图3,当点C在第二象限内，/4庭=/石^。时，延长交于点G,

图3

则△48典△GCB,•••AB=GB

又•/yJ_CW.OC_LO!B,£AHB=ZGOB=90e.

而2ABH=2GBO，：•RASH些&GBO,：.OB^HB=^OH=A

③当点C在第四象限内，时，4c与05相交于点E，则有BE=CE

3）如图4,点B在第三象限内.

图4

在亚△JJ3C中，21+22=90°,2JCJ+2C^B=90°,/.£2=£CAB

,AE=BE=CE^又,:AH±OB,OC±OB,£AHE=£COE=9C°

而2AEH=£CEO：.△JHN"△COE,；.HE=OE=^OH=A

■­AE==5-二BE=5，：*OB=BE+OE=9

S）如图5,点B在第一象限内.

在拉C中^ACB+^CAB=9Ce^£CBO+£ABE=9Qa

:.£CAB=£AB£，•••AE=BE=CE

又•.8_LCW,•••£AHE=^COE=9Q0

而£AEH=£CRO，：•A/\COE：.HE=OE=^OH=4

AE=I1AH1+HE1=5--**BE=5>•*.OB=BE-OE=\

综上所述，OS的长为4+64-斫,4>%1.

【解析】【分析】(1)①利用等腰三角形的性质可证得/1=/2,利用垂直的定义及余角的性质可证得/

3=/4,利用等角对等边可证得结论；②过点A作于点”，利用解直角三角形求出A“与。”的比值，因

此设A/7=3m,0H=8m,利用勾股定理建立关于加的方程，解方程求出，”的值，可得到A”，0H的长；再

利用解直角三角形求出84，0C,利用三角形的面积公式求出AABC的面积和ACBO的面积；然后根据四

边形ABOC的面积等于"BC和ACB。的面积之和，即可求解.

(2)过点A作A乩LOB于点4,当点C在第二象限内，NACB=NCBO,设。8=r,易证AC〃B。，再求

出0C的长，同时可证得/1=/3,；再证明△A”BSZ\BOC,利用相似三角形的性质，建立关于f的方程卖

家发错求出f的值，即可得到。8的长；当点C在第二象限内，NACB=NBCO,延长AB,C。交于点G,

利用全等三角形的性质和判定，可求出。8的长；当点C在第四象限内，NACB=NCBO,可得到8E=C民

点8在第三象限内，利用全等三角形的性质和勾股定理求出BE的长，根据。B=8E+0E,代入计算求出

0B的长；点B在第一象限内，利用全等三角形的判定和性质可求出HE的长,利用勾股定理求出AE的长；

然后根据OB=BE-OE,代入计算求出B0的长.

7.(2021・丽水)如图，已知抛物线L：丫=炉+法+。经过点A(0,-5),B(5,0).

(1)求匕，c的值；

(2)连结AB,交抛物线L的对称轴于点M.

①求点M的坐标；

②将抛物线L向左平移m(m>0)个单位得到抛物线L.过点M作轴，交抛物线h于点N.P

是抛物线心上一点，横坐标为-1,过点尸作「后〃》轴，交抛物线乙于点E,点E在抛物线乙对称轴

的右侧.若PE+MN=10,求”的值.

【答案】(1)解：由题意得:

答：b,c•的值分别为-4,-5.

(2)解：①设直线AB的解析式为产自+〃(原0),

VA(0,-5),8(5,0).\

♦.y/-4x-5=(x-2)2-9抛物线乙的对称轴是直线42,

当42时，产x-5=-3,..点M的坐标是(2,-3)；

②：将抛物线L向左平移加(m>0)个单位得到抛物线...设抛物线L的解析式为y=(x-2+m)-9,

:MN/)，轴，.点N的坐标是(2,加2-9),点P的横坐标为-1,.P点的坐标是(-1,

设PE交抛物线Li于另一点。，.抛物线口的对称轴是直线：x=2-m,PE//x

点。(5-2机，加当点N在点M的下方时ovmgjg，如图1，

PQ=5-2m-（-1）=6-2/7?,MN=・3-（m2-9）=-m2+6

2

利用平移可知QE=m,/.PE=6-2m+ni=6-mfVPE+MN=\O.*.6-m-/?7+6=10

解之：团尸1,m2=2（不符合题意，舍去）；

当点N在点M的上方时，点Q在点尸右侧，如图2,

*<JR<mPE=6-m,MN=m2-9+3=rn2-6PE+MN=10,6-m+m2-6=10

解之：E_独1（舍去），「雨（舍去），

m

叫一22-2

当点N在点M的上方，点。在点P的左侧时

m>3,PE=6m,MN=m1-9+3=m2-6

・"E+MN=10,....+〃_6=10解之：_曲慢.（舍去），_-1+y65,...，〃的值为1或

m\=2ml-2

【解析】【分析】（1）利用待定系数法，利用点A,8的坐标，建立关于b,c的方程组，解方程组求出

b,c的值.

（2）①利用待定系数法求出直线AB的函数解析式；将k2代入直线4B的函数解析式，求出对应的函

数值，可得到点例的坐标；②利用二次函数平移的规律可得到抛物线心的解析式为y=（x-2+%）-9,利用函

数解析式表示出点N,点、P的坐标；设PE交抛物线L于另一点Q,可表示出点Q的坐标；再分情况讨论：

当点N在点M的下方时ovmwjg,如图1；当点N在点M的上方时，点Q在点尸右侧，如图2；当

点N在点M的上方，点。在点P的左侧时；分别表示出PE,MN的长，根据PE+MN=10,建立关于，力的

方程，解方程求出，〃的值，即可得到符合题意的，"的值.

8.（2021•丽水）如图，在菱形ABC。中，NABC是锐角，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A按逆时

针方向旋转，交直线CD于点F.

(1)当AE_LBC，时,

①求证：AE-AF-,

②连结,EF,若祟=看，求&%叱，的值;

(2)当/EAF=时，延长BC交射线AF于点M,延长OC交射线AE于点N,连结AC

MN,若A8=4,AC=2,则当CE为何值时，AAMN是等腰三角形.

【答案】(1)解：①：菱形A8C£>,：.AB=AD,ZABC=ZADC,AD//BC,

\'AELBC,J.AELAD,：.ZEAF+XDAF=ZBAE+ZABE=()0o,

"：公AF=AABC,：.NDAF=NBAE,

在AABE和△AOF中

(/£ADC

\£DAF=£BAE

：./\ABE^/\ADF(A5A)

：.AE=AF.

②连接AC,

:菱形ABC。，:.AB=BC=CD,AC1BD,VAABE^AADF,：.BE=CF,：.CE=CF

：尸：：△.ECEF2

4E=A.AC1EF.BD//FE,:.CEFs/\CBD,BC~BD~S

设EC=2mAB=BC=5x,BE=3a,=电&】_9az=%,:嚼=能'NEAF=NABC,

…"妊=（筹），佬『春号:娑少紧套

(2)解：：菱形ABC。，；.NBAC=*/BAD,•：ZEAF^^ZBAD,J.ZBAC^ZEAF,:.NBAE=N

CAM,

：：同理可知：△

'AB//CD,.NBAE=NANC,NAMC=NNAC,.,.MACs/MNC,'"CN~"NA'

当AAMN时等腰三角形，当4W=AN时,

(^ANC=ZCAM

在"NC和AM4c中^AM^AN.♦.△4NC丝△MAC(AS4):.CN=AC=2,

\£AMC=£NAC

■:ABHCN,：./\CEN^/\BEA,.\­~='：AB=BC=4：.1解之:

C£=1:

当NA=MN时

NNMA=NNAM,"：AB=BC,ZBAC=ZBCA,VZBAC=ZEAF,:.NNMA=NNAM=NBAC=N

BCA,

:.AANMs/\ABC,：.=嗡=，，等==2•**CN=2AC=4=AB

解之：4c=2"：/\CEN^/\BEA(AAS):.CE=BE=2；

当M4=MN时，

图4

易证NMV4=NMAN=NB4C=/BC4,，/XAMN^^ABC：.=靠==2.，（2界。=1

△CEN