一次函数的图象和性质(解析版)2021年中考数学二轮复习之难点突破热点解题方法

专题12一次函数的图象和性质

一、单选题

1.如图，点C、B分别在两条直线y=-3*和丫=1«上，点A、D是x轴上两点，若四边形ABCD是正方

•°23

A.3B.2C.-D.一

32

【答案】D

【分析】

3机

设点C的横坐标为m,则点C的坐标为（m,-3m）,点B的坐标为（——，-3m）,根据正方形的性质,

k

即可得出关于k的分式方程，解之经检验后即可得出结论.

【详解】

解：设点C的横坐标为m,

,点C在直线y=-3x上，二点C的坐标为（m,-3m）,

四边形ABCD为正方形，

，BC〃x轴，BC=AB,

又点B在直线y=kx上，且点B的纵坐标与点C的纵坐标相等,

.•.点B的坐标为（-2—,-3m）,

k

3m

------m=-3m,

k

3

解得：k=-,

2

3

经检验，k=±是原方程的解，且符合题意.

2

故选：D.

【点睛】

本题考查正方形的性质，正比例函数的图象与性质以及解分式方程等知识点，灵活运用性质是解题的关键.

二、解答题

2.如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，直线A8与X轴、y轴分别交于8、A两点，OA=OB,

AOB的面积是8.

（1）求点A坐标；

（2）点P是第二象限直线A3上一动点，连接0P,把线段0尸绕点。逆时针旋转90。得到线段0C,设

点P的横坐标为匕点C的横坐标为加，求出，"与f的关系式，（不要求写出，的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，且f=—2时，过点P作轴于“，在PH上取点K,连接3K,过点”作

HI上BK于I,延长”/交PB于点/，连接K/，若NPKJ=NHKB,求K点坐标.

【答案】（1）点A的坐标为（0,4）;（2）加=，—4；（3）点K的坐标为（一2，3）.

【分析】

（1）利用三角形面积公式求得OA、OB的长即可求解；

（2）先求得直线AB的解析式，可求P（f,-，+4）,如图1,过点P作PD_Lx轴，垂直为D,过点C作CELx

轴，垂直为E；通过已知证明AOPD丝AOCE即可求解；

（3）点K的坐标为（—2，a）,求得tan/HKB=9,利用待定系数法先后求得直线BK,HJ的解析式，

a

再求得直线HJ与直线AB的交点J的坐标，作JG_LPH,求得tan/PKJ=——空——，列式即可求得a

36-a--6a

的值，即可求解.

【详解】

（1）AOB=g°AxOB=8，OA=OB,

OA=OB=4.

•.•点A在y轴的正半轴，

...点A的坐标为(0,4);

(2)由(1)得A的坐标为(0,4).B的坐标为(4,0),

设直线AB的解析式为y=kx+4,

把B的坐标为(4,0)代入得：0=44+4,

解得：左=一1,

直线AB的解析式为y=-％+4,

设点P的横坐标为f,则点P的坐标为("4-0./<0,

如图1,过点P作PDJ.X轴，垂直为D,过点C作CE_LX轴，垂直为E；

,NPOD+NOPD=90°,

线段OP绕点O顺时针旋转90。至线段OC,

/.ZPOC=90°,OP=OC,

，ZPOD+ZEOC=90°,

AZOPD-ZEOC,

.,.△OPD^AOCE(AAS),

；.OE=PD,

•••点c的横坐标为“2,且点C在第三象限，点P的坐标为(f,4-Z),且点P在第二象限,

：.OE=~m,PD=4-1,

/.—m=-t+4,即，〃=f-4；

(3)•••/=—2,

.♦.点P的坐标为(一2，6),点H的坐标为(一2，0),

设点K的坐标为(一2,。)，艮。>0,则HK=。，HB=2+4=6,

HB6

tan/HKB=

设直线BK的解析式为y=,

44+4=0

1出+伪工解得:

直线BK的解析式为y=—XH—Cl,

63

•:HJ工BK,

二设直线HJ的解析式为丁=色》+4，

a

把点H的坐标为（一2，0）代入得：b2=一,

a

...直线H.J的解析式为y=2x+一，

aa

4a-12

612x---------

y=——xH---。+6

解方程组，a。，得：

36

y=一冗+4y~~

。+6

...点J的坐标为（色二生，工

。+6。+6

过点J作JG_LPH,垂直为G,

,,,4〃一12小6。GK=336-a2-6a

贝ijJG=------+2=----

Q+6Q+6。+6。+6

6a

tanz^PKJ=—=Q+6

GK36-a2-6a36—ci~16。

。+6

V4KJ=zdHKB，

6a_6

/.tanNPKJ=tan/HKB,即

36-a2-6aa

整理得：/+3。-18=0,即（。+6）（。-3）=0,

解得：a=-6（舍去），a=3，

经检验a=3是方程的解且符合题意，

.♦.点K的坐标为（-2，3）.

【点睛】

本题是一次函数与几何的综合题，考查r一次函数的图象及性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函

数，解一元二次方程等知识：熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键.

3.如图I,在平面直角坐标系中，直线/]：）=履+3与直线4：y=-X-6交于点A,已知点A的横坐标为

[8

--—,直线4与x轴交于点3,与y轴交于点C,直线4与x轴交于点F,与y轴交于点。.

（1）求直线4的解析式；

9

（2）将直线4向上平移5个单位得到直线4,直线4与y轴交于点E,过点E作），轴的垂线％,若点M为

垂线乙上的一个动点，点N为4上的一个动点，求QM+MN的最小值；

（3）已知点P、。分别是直线卜4上的两个动点，连接砂、EQ、PQ,是否存在点P、Q,使得AEP。

是以点。为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点。的坐标若不存在，说明理由.

39/~~

【答案】（1）y=—x+3：（2）-V2；（3）。的坐标为:

221)

【分析】

（1）先求解A的坐标，再把A的坐标代入4：y=H+3,从而可得答案;

3可得：（）作。关于（,的对称点。，则）过

（2）先求解：4为：y=—%—j00,—6,Q[0,3,

2

&作QNL%于N,交乙于则"。="2,此时：DM+MN=Q3最短,设N（x,一%—6）,利用勾

股定理求解x,从而可得答案;

（3）如图，过。作QP_Ly轴交》轴于R过P作尸交QR于“，证明：口P"。空QEE,可得:

PH=QF,HQ=EF,设。（加，一加一6）,利用点的平移表示P的坐标，再把P坐标代入4的解析式求解加

即可得到答案.

【详解】

1Q

解：（1）•••直线直线/2：3?=一彳一6过点4点人的横坐标为一匚,

»身一6T

-55

1812

A—，----

55

直线，：＞=后+3过点4

.更心3〜丝,

55

,3

:.k=—,

2

3

所以直线4为：y=gX+3.

9

（2）直线4：y=-工―6向上平移1个单位得到直线/3,

93

「•A为：y=-x-6+-,B[Jy=-x——,

0(0,—6),

39

--

作D关于z4的对称点2,则Q]E=DE=22

.-.Q(0,3),

过2作于N,交乙于"，则"。=VQ1,

此时：DM+MN=Q3最短,

设N（x,-x-6）,

由勾股定理可得：DM+QN=DQ：,

x2+（-x-6+6）~+x2+（—x—6—3）'=（3+6）2,

9

：.x=—或x=0（舍去）

2

(3)如图，过。作QE_Ly轴交》轴于R过p作PH上QF交QF于H,

NPHQ=NQFE=90。,

：.NHPQ+NHQP=90。,

,:QP=QE,NPQE=90°,

：.NPQH+NEQF=90°,

NHPQ=NEQF,

：DPHQ^：QFE,

：.PH=QF,HQ=EF,

设。(加，一加一6),

39

QF=-m=PH,EF=---(-/n-6)=,〃+万="Q,

由平移可得：”［一-6),pf——2m-6j,

同理可得,：。2卜f2了1三3

综上：Q的坐标为：［一］，—］］或（一1,一；

【点睛】

本题考查的是利用待定系数法求解一次函数解析式，一次函数的图像的平移与性质，点的平移的坐标规律，

轴对称的性质，勾股定理的应用，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解

题的关键.

4.如图，已知一次函数y=3x+3与y轴交于点4,与x轴交于点5,直线AC与x正半轴交于点C,且AC

=BC.

(1)求直线AC的解析式；

(2)点。为线段AC上一点，点E为线段CO的中点，过点E作x轴的平行线交直线48于点巴连接。尸

交x轴于点G,求证：AD=BG；

(3)在(2)的条件下，线段EF、DG分别与)，轴交于点例、N,若NAFD=2/BAO,求线段MN的长.

【分析】

(1)先求得A、B两点的坐标，设OC=x,则AC=BC=x+l,在RtAAOC中，依据勾股定理可求得x的值，

从而可求得点C的坐标，最后，利用待定系数法求解即可；

(2)过点D作DHIIX轴，则NHDF=NBGF.由平行线分线段成比例定理可得到FG=DF,接下来，再证明

△BGF要AHDF,从而可得到HD=BG,然后再证明△ADH为等腰三角形，最后，通过等量代换可得到问题

的答案；

(3)连接AG,过点C作CH±AB,垂足为H,先求得AB、AH、CN的长，从而可证明△FAD-△CAB,则4GAD

为直角三角形，然后可求得0G的长，从而得到点G的坐标，然后，再求得点D的坐标，从而可求得DG的

解析式，然后可求得ON的长，最后，再依据MN=ON-OM求解即可.

【详解】

解：(1)当x=0时，y=3,

...A(0,3).

令y=0得：3x+3=0,解得：x=-1,

：.B(-1,0).

设OC=JG则AC=BC=X+1.

在RlZVlOC中，由勾股定理可知：OAZ+OGuAC2,

即32+/=(x+1)2,解得：x=4,

：.C(4,0).

4Z+Z?=03

设直线AC的解析式为丁=公;+〃，则〈，解得：k=----,6=3,

Z?=34

3

・・・直线AC的解析式为y=--x+3.

4

(2)如图所示：过点。作QH〃x轴，则

9

\HD//EF//CGf石为CD的中点，

・・・尸为。G的中点.

：.FG=DF.

・.,在△BGF和△”£>/中，/HDF=/BGF,DF=FG,NHFD=NGFB,

：./\BGF^/^HDF(ASA).

：.HD=BG.

'：AC=BCf

：.ZCAB=ZABC.

•JHD//CG,

・・・NAHD=NABC,

：.ZHAD=ZAHD.

:・AD=DH,

:・AD=BG.

(3)如下图所示：连接AG,过点C作C77LA8,垂足为巴

在RtZXAOB中，依据勾股定理可知A8=痴.

'：CB^CA,CH±AB,

：.AH=-AB=^-,ZBCA=2ZACH

22

RtABCW中，依据勾股定理可知CH=2叵

2

tanZBAO=tanZACH=—.

3

，ZBAO=ZACH

：.ZBCA=2ZBAO

又丁/AFD=2/BA0

：.4AFD=4BCA

又•:NFAD=NBAC

:.△FADsXCAB

：.AF=DF

又•：GF=FD

.♦.△GAO为直角三角形

OG*OC^OA2

,9

••0G=一

4

9

.**G(----»0)

4

5

：.AD=BG=-

4

439

，。点的横坐标=-AO=1,。点的纵坐标=3AD=—

554

设直线DG的解析式为y^kx+b,

k+b=l

解得左=2,6=—

1352

981

二直线DG的解析式为y=RX+豆

81

0N=—

52

19

乂；。加=一|。、|=一

28

45

：.MN=ON-0M=——

104

【点睛】

本题主要考察的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式和全等三角

形的性质和判定，掌握本题的辅助线作法是解题的关键.

5.如图1,在AABC中，BC=5,tanZABC=2,tanZACB=-,以边BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，

2

使得y轴经过点A,过点C作AB的平行线，交y轴于点D.

(1)求直线CD的解析式；

(2)如图2,点P是直线CD上一个动点，

①连接AP、BP,直线AP把四边形ABPC的面积分成2：3的两部分，求点P的坐标；

②当NPBC=2NBAO时，直接写出此时点P的坐标.

【答案】（1）y=2x-8；（2）①（』，-3）或（W,-±）；②（2,-4）或（14,20）.

233

【分析】

（1）设OB=a,根据三角函数的定义可用含a的代数式表示出OA与OC,由OB+OC=5可解出a,进而可

得点A、B、C的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式，由CD〃AB和点C的坐标即可求出直线

CD的解析式；

（2）①由AB〃CP可得SAABP：SAACP=AB：CP,然后分AB：CP=2：3与AB：CP=3：2两种情况，设出

点P坐标，过点P作PQLx轴于点Q,画出图形，利用△PCQs^ABO,可得OA：PQ=2：3或OA：PQ=3：

2,列出关于点P横坐标的方程，解方程即可求出结果；

②在OA上取点M,使MB=MA,根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得NBMO=2NBAO,进而

可得/BMO=NPBC,然后在Rt^OBM中根据勾股定理可求出OM的长，进而可得NOMB的正切值，亦

即/PBC的正切，然后分点P在x轴下方和点P在x轴上方两种情况，构建直角三角形，利用三角函数建

立关于点P横坐标的方程求解即可.

【详解】

解：（1）,an/ABC=2,/.OA：OB=2,

设OB=a,则AO=2a,

VtanZACB=—,AOA：OC=1：2,

2

AOC=4a,

VBC=5,Aa+4a=5,解得a=l,

AB(-1,0)、A(0,2)、C(4,0),

设直线AB的解析式是y=kx+b,

b=2\k-2

把点A、B的坐标代入，得《,,八，解得<…

一人+8=0[8=2

所以直线AB的解析式是y=2x+2,

：CD〃AB,

...可设直线CD的解析式是y=2x+p,

把点C的坐标代入，得8+p=0,解得p=-8,

直线CD的解析式是y=2x-8：

(2)①；AB〃CP,

•"•SAABP：SAACP=AB：CP,

当SAABP：SAACP=2：3时，AB：CP=2：3,

设点P(n,2n-8),过点P作PQ，x轴于点Q,如图,

VZCQP=ZAOB=90°,NPCQ=NABO,

AAPCQ^AABO,

AOA：PQ=2：3,即2:尸。=2:3,.♦.PQ=3,

.,.|2〃-8|=3,解得〃=|或”（不合题意，舍去）,

此时点P的坐标是（°,-3）；

2

当SMBP：SAACP=3：2时，AB：CP=3：2,

4

同上可得OA：PQ=3：2,即2:PQ=3:2,解得尸。=],

/.|2n-8k-,解得〃=3或〃=好（不合题意，舍去），

11333

104

此时点P的坐标是（一,—）；

33

综上，直线AP把四边形ABPC的面积分成2：3的两部分时，点P的坐标是（3,-3）或（此,-士）:

233

②在OA上取点M,使MB=MA,如图，

贝ijZMBA=ZBAO,ZBMO=ZMBA+ZBAO=2ZBAO,

.\ZBMO=ZPBC,

设MB=MA=y,则OM=2—y,

,3

在RiZXOBM中，根据勾股定理得：l2+（2-y）~=/,解得旷=^，

OBI4

tanZBMO=tanZPBC=OM33，

4

当点P在x轴下方时，过点P作PEJ_x轴于点E,如图，

解得n=2,

.♦.点P的坐标是（2,-4）；

当点P在x轴上方时，过点P作PFLx轴于点F,如图,

,PF42〃一84

则——-----=—解得n=14,

BF3〃+13

二点P的坐标是（14,20）；

综上，当NPBC=2NBA0时，点P的坐标是（2,-4）或（14,20）.

【点睛】

本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征、锐角三角函数、相似三角形

的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，综合性较强，熟练掌握上述知识、灵活应用数形

结合的思想是解题的关键.

4

6.如图，直线y=gx+4与x轴、y轴分别交于点A和点B.

（1）求A,B两点的坐标；

（2）过B点作直线与x轴交于点P,若4ABP的面积为8,试求点P的坐标.

（3）点M是OB上的一点，若将aABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点Bi处，求出点M的坐标.

（4）点C在y轴上，连接AC,若AABC是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点C的坐标.

【答案】（1）点A、8的坐标分别为（-3,0）、（0,4）；（2）点P的坐标为（1,0）或（-7,0）；（3）点

M的坐标为（0,1.5）；（4）点C的坐标为（0,9）或（0,-1）或（0,-4）.

【分析】

（1）分别令y=0和x=0,即可得到A、B两点的坐标;

（2）设点P（x,0）,则由AABP的面积可得关于x的方程，解方程即可得到点P的坐标：

（3）由（1）可得OA、OB,再由勾股定理可得AB,从而得到用的坐标，设点M的坐标为（0,m）,再由

MB=MB、可得关于m的方程，解得m可得点M的坐标；

（4）设点C（0,t）,则当AB=BC或AB=AC时分别可以得到关于t的方程，解方程即可得到点C的坐标.

【详解】

44

解：（1）对于y=孑x+4,令y=0,即y=1X+4=0,解得x=-3,令x=0,贝y=4,

故点A、B的坐标分别为（-3,0）、（0,4）；

（2）设点P（x,0）,

则△A8P的面积=LxAPxO8=Lx4x|.r+3|=8,解得x=l或-7,

22

故点P的坐标为（1,0）或（-7,0）；

（3）由点A、8的坐标知，。4=3,8。=4,则AB=JAO?+BO2=5=O8i,

故点囱的坐标为（2,0）,

设点M的坐标为（0,m）,

由题意得：即/+4=2,解得"?=1.5,

故点例的坐标为（0,1.5）；

（4）设点C（0,八，

则A8=5,AC=j32+*，

当A8=BC时，则5=|r-4|,解得f=9或-1,

当AB=AC时，即25=9+产，解得f=4（舍去）或-4,

故点C的坐标为（0,9）或（0,-1）或（0,-4）.

【点睛】

本题考查图形与函数和方程的综合运用，熟练掌握一次函数的图象与性质、一元一次方程和一元二次方程

的解法是解题关键.

7.如图1,一次函数y=-2x+2的图象与>轴交于点A，与X轴交于点8,过点B作线段8C_LAB且

BC=AB,直线AC交x轴于点O.

（1）点A的坐标为，点8的坐标为；

（2）直接写出点。的坐标,并求出直线AC的函数关系式；

（3）若点P是图1中直线AC上的一点，连接0P,得到图2.当点P在第二象限，且到％轴，＞轴的距离

相等时，求出口AOP的面积；

（4）若点。是图1中坐标平面内不同于点3、点。的一点，当以点C,D,。为顶点的三角形与

全等时，直接写出点。的坐标.

【答案】⑴（0,2）,（1,0）；（2）（3,1）y=~x+2；⑶3；⑷Q（8,1）,Q2（2,3）,23（7,-2）

【分析】

（1）利用函数解析式即可解决问题；

（2）过点C作轴于M，由口4。3丝△BMC,推出点C的坐标为（3,1）,再利用待定系数法即

可解决问题；

（3）点尸在直线AC上，且点尸的纵坐标为3,把y=3代入y=—；x+2,得x=—3,过点P作尸

轴于点N,推出PN=3,根据5cMp=g.QA-PN计算即可；

（4）如图4中，以点6,D，。为顶点的三角形与△BCO全等时，点。有三种情形如图所示.

【详解】

解：（1）•••把x=0代入y=-2x+2中，得y=2

.♦.点A的坐标为（0,2）

•.•把y=0代入y=-2x+2,得一2x+2=0,解得x=l

...点3的坐标为（1,0）.

故答案是：（0,2）,（1,0）

（2）过点。作CM_Lx轴于A/,如图1：

OM

图1

二ZAOB=ZBMC=90°

-：AB1BC

：.ZABC=90°

：.ZABO+ZCBM=90°

•：ZABO+ZOAB=90°

：.NOAB=NCBM

在DAOB和△BMC中

NOAB=NCBM

<ZAOB=NCMB

AB=BC

：.OAOB^QBMC(AAS)

：.BM=OA^2,CM=OB=1

：.OM=3

...点C的坐标为(3,1)

设直线AC的解析式为y="+〃

3k+b=l

由题意可得〈

b=2

解得《

b=2

：.直线AC的解析式为y=-1x+2.

（3）如图2：

♦.•点P在直线AC上，且点P的纵坐标为3

二把y=3代入y=-；x+2,得x=—3

过点P作PNLy轴于点N

二PN=3

：.S=-OA-PN=-x2x3=3；

OAAPP22

（4）以点C,D，。为顶点的三角形与△BCD全等时，点。有三种情形如图所示:

当3C2。是平行四边形时

.•.点2（8,1）

当△BCD/口。2co

BC=CQ2,BD=Q2D

：.垂直平分8。2

ZBCA=ZACQ2

•••点A的坐标为（0,2），点B的坐标为（1,0），点C的坐标为（3,1）

二AB=45=BC

NACB=45°=ZACQ2

过C作CM_LBD于M，作Q2NLCM于N

：.ZBCM+ZCBM=90°,NBCM+NQ?CN=90°,NQ2NC=NBMC=90°

ZCBM=NQ?CN

：.QBCM^0CQ2N（AAS）

：.CM=Q2N=\,CN=BM=2

••.Q（2,3）

同理可求0（7,—2）

综上所述:Q（8,1）,Q（2,3）,。3（7,-2）

【点睛】

本题考查一次函数综合题，待定系数法，三角形的面积，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是

灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问

题.

8.如图，直线了=区+6与X轴、y轴分别相交于点E、/，点£的坐标为（一8,0）,点A的坐标为（-6,0）,

点尸（x,y）是第二象限内的直线上的一个动点.

（1）求A的值.

（2）在点P的运动过程中，写出口024的面积S与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.

（3）已知。（0,-2）,当点P运动到什么位置时，直线PQ将四边形EPOQ分成两部分，面积比为1:2,

请直接写出P点坐标.

【答案】（1）k=,2）S=（x+18（-8cx<0）；（3）［一了二）或（一7，］

【分析】

（1）把点E的坐标（一8,0）代入直线y=H+6,即可求得答案；

（2）根据三角形的面积公式列出解析式，根据题意求出臼变量x的取值范围；

（3）根据“分得的两个二角形面积之比为1:2”的不确定性，进行分类讨论，再由同高三角形面枳之比即

为底之比可求得对角线交点的坐标，进而可求得直线的解析式，进而利用两一次函数解析式求得交点P

的坐标.

【详解】

解：⑴•.•点£（一8,0）在直线产履+b上

二0=—8Z+6

k=~.

3

.♦•直线的解析式为：y=-x+6

4

3

P点在>=^%+6上，

,设+“

3,

：.□OPA以Q4为底的边上的高是:x+6

丁点。在第二象限

33

:.—x+6=—x+6

44

•.•点A的坐标为(-6,0)

:.OA=6

6|^x+6)…

飞=乂/3+1葭即s=；-X+18

1

24

P点在第二象限

•••自变量X的取值范围是：—8<x<0

9

.••口OQ4的面积S与x的函数表达式为：S=-x+18(-8<x<0).

(3)根据题意，PQ是四边形EPOQ的对角线

•.•不确定分得的两个三角形的比为1:2还是2:1

.••有两种情况

52

①当三屿=］时，《。与x轴交于耳，如图：

3P}QO1

・・・EQ=8

•••e(o,-2)

3

・♦・直线HXQ的解析式为y=_彳x_2

J-y^--4x-2

y-x+6

I4

16

x=-----

3

J=2

•••丹《，2；

I

②当「工=5时，鸟。与X轴交于”2，如图:

NP2QO

区（*,0

e（o,-2）

3

・・・直线HQ的解析式为y二—三工一2

28

3c

y-——x-2

8

3°

y=—x+6

4

64

x=-----

9

2

y

3

综上所述，当点P为或［-时，直线PQ将四边形EPOQ分成两部分，面积比为1:2.

【点睛】

本题考查了一次函数的知识，渗透了分类讨论、数形结合的数学思想，掌握待定系数法求一次函数解析式

的一般步骤、根据三角形的面积公式列出解析式、根据三角形的面积关系求得点的坐标是解题的关键.

9.如图，在平面直角坐标系中，A（，”,0）、8（0,〃），加、w满足（加一〃>+|根一4|=0.点。是x轴正半

轴上一动点.

（1）08的长度为；

（2）若点P是线段A3上一动点，且PO=PD,DELATE.

①如图，当点。在线段04上时，尸石与A8的数量关系为；

②如图，当点。在线段Q4的延长线上时，①中结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；

（3）如图，当点。在线段。4的延长线上时，连接80，以80为腰在其右侧作等腰向V3OE,

ZBDF=90°，连接用并延长交,轴于G点，请问线段BG的长度是否发生改变？若改变，请求出它的

变化范围；若不变，求出它的长度.

【答案】（1）4；（2）①AB=22E：②成立，理由见解析；（3）BG=8是定值

【分析】

（1）利用平方式和绝对值的非负性求出，"和〃的值，得到A、B坐标，求出0B长；

（2）①过点D作。04于点D,并延长0P于•点N,证明口3尸0空1加小（445）,就可以证得结论;

②作于点D,并延长交OP于点N,口5。尸前MVP就可以证得结论；

（3）作FHLx轴于点H,利用等腰直角三角形的性质证明口08。出也甲（445）,得到△A//F和

△Q4G也是等腰直角三角形，就可以证明BG的长是定值.

【详解】

解：(1)'：(m-n)2+\m-4\=0,(m-«)2>0,|/n-4|>0,

/.m=n=4,

/.A(4,0),3(0,4),

OB=4：

(2)①如图，过点D作。M1OA于点D,并延长OP于点N,

ZDME=ZEDM=45°,

AE=DE=EM，

'：PO=PD，

：.4P0D=/PD0,

•：N8OD=N7VDO=90°,

二ABOD-4POD=ANDO-APDO,即ABOP=4NDP,

BOUND,

/.NBOP=4PND,

：.4PND=4NDP,

：.PD=NP=OP,

在ABPO和/\MPN中,

PO=PN

<NBPO=ZMPN,

4B0P=4MNP

：.QBPO^]MPN（AAS）,

BP=PM，

二PE=PM+ME=AE+BP，

,:AB=PE+AE+BP，

AB=2PE-

②如图，作MD_LOA于点D,并延长交OP于点N,

同理可得AE=OE=£M，

■:OP=OD,

：.ZPOD=ZODP.

ZPOD+4PND=90°,ZPDO+ZPDN=90°，

/.乙PND=LPDN,

：.PD=PN=OP'

可得口3。「出肱VP，

/.BP=MP,

•；AB=AP+BP，PE-AP+AE，

AB=2PE-.

(3)不变，BG=8,

如图，作轴于点H,

,/UBDF是等腰宜角三角形，

:•BD=DF,4BDF=第。,

•：ABDO+ZOBD=90°,ZBDO+ZHDF=90°,

/./OBD=AHDF,

在口。3。和口”£）尸中，

4B0D=NDHF

<ZOBD=ZHDF,

BD=DF

：.aOBD^HDF（AAS）,

：.OB=HD,OD=FH,

：.AH=AD+DH=AD+OB=AD+OA-OD=FH,

AA/2是等腰直角三角形，

ZFAH=45°,

二NO4G=45°,△QAG是等腰直角三角形，

•*.OG=OA=4,

/.BG=OB+OG=8.

【点睛】

本题考查一次函数和几何综合，解题的关键是利用数形结合的思想，掌握全等三角形的性质和判定，等腰

直角三角形的性质等几何定理，在平面直角坐标系中进行求解.

10.如图，已知直线y=；x+l与X轴交于点4,与y轴交于点B,将△AOB绕点。顺时针旋转90°后得

到△COD.

(1)点C的坐标为，线段AD=；

(2)点M在C。上，且抛物线y=x2+/zr+c经过点C,M,求抛物线的解析式；

(3)如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点尸在直线AC上，那么在(2)中的抛物线上是否存在点尸，

使得以C,E,F,P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长/；若不存在，请说明理由.

7

【答案】(DC(0,3),AD=4；(2)y=x2--x+3：(3)存在，周长/为18拒一8或1。血.

【分析】

(1)把x=0代入直线解析式中，再把y=0代入直线解析式中，再由旋转性质即可得到结果；

(2)根据等角的余角相等得到NMOD与NMDO相等，得到OM与MD等再导出CM=MD,通过M是CD

中点，得到M的坐标，把C点和M点代入抛物线解析式即可求出结论；

(3)分两种情况：当CE为边时，设F的坐标，表示出P的坐标，再利用P在抛物线上，用抛物线的解析

式表示P点坐标，纵坐标相等求出F坐标，求出菱形边长FC,即可求出周长；当CE为对角线时，利用FP

和CE互相垂直平分，即可得到F与P关于y轴对称，再通过设F的坐标得到P的坐标，再根据P在抛物线

上的特点，表示P的坐标，纵坐标相等列方程，即可得到F的坐标，再算出菱形边长FC即可求出周长.

【详解】

解：(1)•直线y=+l与x轴交于A,与y轴交于B,

・二y=0时,x=-3,x=0时,y=l,

AA(-3,0),B(0,1)

AOA=3,OB=1,

XVAAOB绕O点顺时针旋转90°得到

AOC=OA=3,DO=OB=1,

：.c(0,3),线段AD的长为4；

(2)VCM=OM,

AZOCM=ZCOM,

ZOCM+/ODM=ZCOM+ZMOD=90°,

ZODM=ZMOD,

，OM=MD=CM,

；.M是CD的中点,

13)

AM

2'2)'

c=3

J_3

把C(0,3)M代入抛物线的解析式中得，〈

1422

b」

解得《2,

c=3

,7

二抛物线的解析式是y=x2--x+3；

(3)存在，设过A(-3,0)C(0,3)的直线解析式为丫=1«+1),

-3k+b=0k=i

可得《,"解得《

b=3b=3

...AC的直线解析式为：y=x+3,

①当CE为边时，如图，设F(t,t+3),则CF=

•.•四边形是CEPF是菱形,

.♦.PF//CE,PF=CF,

：.P（t,t+3-0t）

又•••点P在抛物线上，

7

；.P点的坐标为（t,t2一一1+3）,

2

L27c

..t+3-yj2t=Z—t+3

9/—

解得，ti=O（舍），t2=—>/2,

2

此时菱形CEPF的周长为/=4.01=18拉-8，

，F与P关于y轴对称，

设点F(t,t+3),则P设，t+3)

乂：P在抛物线上，

7

.•・P点坐标还可以表示为(-t,/+—，+3),

2

27

・・t+3=tH—t+3,

2

5

•.tl=O»t2=---，

菱形CFEP的周长/=10V2，

综上所述，菱形的周长/为18^-8或10

【点睛】

本题考查二次函数综合应用和菱形的性质和判定，-次函数与坐标轴交点问题，根据已知进行分类讨论不

要漏解.

11.如图所示，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2,0）,点B坐标为（3,1）,将直线AB沿x轴向左

平移经过点C（1,I）.

（1）求平移后直线L的解析式；

（2）若点P从点C出发，沿（1）中的直线L以每秒1个单位长度的速度向直线L与x轴的交点运动，点

Q从原点O出发沿x轴以每秒2个单位长度的速度向点A运动，两点中有任意一点到达终点运动即停止，

设运动时间为t.是否存在t,使得aorQ为等腰三角形?若存在，直接写出此时t的值：若不存在，请说明

理由，

【答案】（1）y=x；（2）存在3使得△OPQ为等腰三角形，其中£=土史，互,2-V2

73

【分析】

（1）先求出AB解析式，再根据平移k不变即可求出平移后直线L的解析式；

（2）用时间t表示出AORQ的三边的长，再分类讨论解方程即可.

【详解】

（1）设AB解析式为丁=履+人

二点A坐标为（2,0）,点B坐标为（3,1）

0=2k+b

1=3%+。

k=l

解得＜

b=-2

AAB解析式为y=x-2

设AB平移后直线L的解析式为y=x+a

•.•平移经过点C(1,1)

，1=1+。

解得a=0

AAB平移后直线L的解析式为y=x

(2)过P作PD_LOA与D,

由题意得CP=f,OQ=2f,0<fWl

VC(1,1)

/.ZC0A=45°，0C=yf2

OP=OC-CP=42-t

；•PD=0D=—0P=—(^2-t)=\--t

222

:.QD=OQ-OD=2t-(\-^t)=2t-\+^-t

,PQ1=DQ2+PD2=(2r-1+r)+(1-0=4r2-4r(l-r)+2(1-o

①当OP=OQ时，72-r=2r＞解得”注：

3

②当OP=PQ时，（&一=4/-4f（1一*/）+2（1-日7）2

解得/=0（舍去），或,=2-VI

②当OQ=PQ时,⑵）2=4/_4f（1一f）+2（1-f）2

解得.=8(舍去)，或r=上史

综上所述存在t,使得△OPQ为等腰三角形，其中「=土史，立，2-J5

73

【点睛】

本题考查动点问题中的等腰三角形存在性问题，解题的关键是用时间t表示三角形的边长，计算量有点大,

但是如果注意计算技巧不是太难.

12.如图1,在平面直角坐标系xOy中，矩形A8CD的边AB=8,3c=20,若不改变矩形A8CO的形

状和大小.

(1)当矩形顶点c在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点8始终在y轴的正半轴上随之上下移

动.当NOC8=30°时，求点A的坐标.

(2)如图2、3,长