圆周角2023年中考数学考点微

考向4.9圆周角专题

例1、（2020•江苏泰州•中考真题）如图，在［。中，点P为A3的中点，弦AO、PC互

相垂直，垂足为V,3C分别与AO、P。相交于点E、N,连接30、MN.

（1）求证：N为BE的中点.

（2）若：。的半径为8,AB的度数为90。，求线段MN的长.

(1)证明：•・•点尸为AB的中点

AP=PB

・•・ZPCE=ZPDE=ZPDB

V/CEM=NDEN

：.ZPCE+/CEM=ADEN+ZPDE

：.4CME=/DNE

■:PCIAD

/EMC=ZDNE=90。

在；。EN和DBN中

/EDN=NBDN

,DN=DN

/DNE=4DNB

：..DEN=DBN

.・・EN=BN

・•・点N为BE中点

(2)解:连接CA,AB,OA,OB,如图所示:

:点P为A3的中点

,AP=PB

NECM=ZACM

在△£MC和A"C中

ZEMC=ZAMC=904

CM=CM

NECM=ZACM

二A£MC=„AMC

：.EM=AM,即M为AE中点

；N为BE中点

MN为△AEB的中位线

又：。的半径为8,4B的度数为90。

N4O8=90°,OA=OB=8

AB=872

MN='AB=4及

2

本题考查了利用圆周角定理的性质结合全等三角形证明中点问题，同时考查了直角三角形的边长的计

算，及中位线的作用，熟知以上知识是解题的关键.

1、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，特别注意：圆周角定理是指以同圆或等圆为前提；

2、在同圆或等圆中，通过同弧或等弧对角的等量关系进行转换。

经典变式练

一、单选题

1.（2021.浙江越城.一模）如图，点A,B,C是00上的三点，若NBOC=50。，则NA的

度数是（)

0

A.25°B,20°C.80°D.100°

2.（2021•山东郸城•一模）有一题目：“已知；点。为A4BC的外心，ZBOC=130°,求ZA.”

嘉嘉的解答为：画A48C以及它的外接圆。，连接OB,OC,如图.由40c=244=130。，

得NA=65。.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，ZA还应有另一个不同的值.“，下列判断正

确的是（）

A.淇淇说的对，且ZA的另一个值是115。

B.淇淇说的不对，ZA就得65°

C.嘉嘉求的结果不对，ZA应得50。

D.两人都不对，NA应有3个不同值

3.（2021・海南乐东•一模）如图，。。是AA8C的外接圆，半径为2cm,若BC=2cm,则ZA

的度数为（）

A.30°B.25°C.15°D.10°

4.（2021•广东•模拟预测）如图,A3是。O直径，若N4OC=140。,则/£＞的度数是（）

5.（2021•山东济南•二模）如图.点A,B,C,D,E均在。。上.ZBAC=15°,NCED=

30。，则NBOD的度数为（）

6.（2021.福建•福州三牧中学二模）如图，在。中，A8所对的圆周角幺8=50。，若尸为

AB上一点，ZAOP=55n,则々的度数为（）

7.（2021•吉林省实验一模）如图，点A、B、C、。在。。上，NAOC=120。，点3是AC的

中点，则/。的度数是（）

二、填空题

8.（2021•江苏•一模）如图,AB是半圆0的直径,AC=AD,OC=2,的CAB=30。,则点O到CD

的距离OE=.

9.（2021•广东阳江•一模）如图，点A,B,C,D在。O上，四边形OBCD是平行四边形,

则NA的大小为.

10.（2021•黑龙江鹤岗•模拟预测）如图，在：。中，AB是直径，弦AC的长为5cm,点。在

圆上，且ZA£»C=30。，则。的半径为.

11.（2021•山东淄川•二模）如图，AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置,

锐角顶点P在半圆上，斜边过点B,一条直角边交该半圆于点Q.若AB=2,则线段BQ的

长为.

12.（2021•浙江杭州•一模）如图，C,。两点在以AB为直径的O上，若AD=3,。的

半径为2,贝IJtanNACD的值为

13.（2021•黑龙江・哈尔滨市第四十七中学三模）如图，圆。的直径AB垂直于弦CC,垂足

是E,ZA=22.5°,OC=4,CO的长为.

14.（2021.广东•珠海市九洲中学一模）如图，在矩形A8C。中，AB=2,BC=3,E是矩

形内部的一个动点，且则线段CE的最小值为.

三、解答题

15.（2021・河北承德•一模）如图，在.ABC中，AC=BC,D是AB上一点，OO经过点A、

C、D,交BC于点E,过点D作。F//8C,交。O于点E求证：

（1）四边形DBCF是平行四边形

(2)AF=EF

一、单选题

1.（2021•广西桂林•中考真题）如图，AB是。O的直径，点C是。。上一点，连接AC,BC,

则NC的度数是（）

A.60°B.90°C.120°D.150°

2.（2021•辽宁鞍山•中考真题）如图,AB为；O的直径，C,。为。上的两点，若ZABD=54°,

则NC的度数D为（）

A.34°B.36°C.46°D.54°

3.（2021.辽宁阜新.中考真题）如图，A,B,。是。。上的三点，若NO=70。，则NC的度

数是（）

&

A.40°B.35°C.30°D.25°

点B,为。。上的三点，ZAOB=^ZBOC

4.（2021•黑龙江牡丹江•中考真题）如图,A,Cf

ZBAC=30°,则NAOC的度数为（）

A.100°B.90°C.80°D.60°

5.（2021•贵州黔东南•中考真题）如图，在放AACB中,ZACB=90°,AC=6,BC=8,若

以AC为直径的O。交AB于点。，则。。的长为（)

cB

12-13-24

A.—B.—C.—D.5

6.（2021.湖北荆州•中考真题）如图，矩形O4BC的边Q4,OC分别在x轴、）'轴的正半轴

上，点。在。4的延长线上.若A（2,0）,0（4,0）,以。为圆心、0。长为半径的弧经过点6,

交轴正半轴于点E,连接DE,BE、则的度数是（）

A.15°B.22.5°C.30°D.45°

7.（2021•湖南邵阳•中考真题）如图，点A,B,C是。上的三点.若NAOC=90。,

ZBAC=30°,则NAOB的大小为（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

8.（2021.辽宁锦州•中考真题）如图，AABC内接于。O,AB为。。的直径，。为。。上一

点（位于AB下方），8交AB于点E,若/8OC=45。，BC=6&,CE=2DE,则CE的长

为（）

9.（2021・辽宁盘锦・中考真题）下列命题正确的是（）

A.同位角相等B.相等的圆心角所对的弧相等

C.对角线相等的四边形是矩形D.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

10.（2021・西藏・中考真题）如图，△8C。内接于。O,ZD=70°,04_LBC交于点A,

连接AC,则NOAC的度数为（）

D.

A.40°B.55°C.70°D.110°

11.（2021•贵州遵义・中考真题）如图，点C是以点。为圆心，A8为直径的半圆上一点，连

接AC,BC,OC.若AC=4,BC=3,则sin/BOC的值是（）

12.（2021.内蒙古赤峰.中考真题）如图，点C,。在以A8为直径的半圆上，ZADC=nO°,

点E是"）上任意一点，连接BE,CE,则/8£C的度数为（）

13.（2021.广西贵港.中考真题）如图，点A,B,C,。均在。。上，直径48=4,点C是8。

的中点，点力关于AB对称的点为E,若/£>CE=100。，则弦CE的长是（）

A.2后B.2C.y/3D.1

14.（2021.广东•中考真题）如图，是。。的直径，点C为圆上一点，AC=3,ZABC的

平分线交AC于点。，CD=\,则。。的直径为（）

D.

A.GB.2旧C.1D.2

15.（2021.广西梧州•中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A（0,1）,B（0,-5）,若

在x轴正半轴上有一点C,使/ACB=30。，则点C的横坐标是（）

A.3G+4夜B.12C.6+35/3D.

二、填空题

16.（2021.广西河池.中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以M（2,3）为圆心，A3为直径

的圆与x轴相切，与y轴交于A,C两点，则点B的坐标是.

17.（2021•江苏淮安•中考真题）如图，A8是。。的直径，C。是。。的弦，NCAB=55。,

则/。的度数是

18.（2021.江苏徐州•中考真题）如图，A3是O的直径，点C、O在O上，若4M»C=58。,

则ZBAC=°.

rC

B

19.（2021.辽宁本溪•中考真题）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A,B,C

都在格点上，以为直径的圆经过点C和点。，贝iJtanNA£>C=.

E®j

20.（2021•湖南怀化•中考真题）如图，在。中，04=3,ZC=45。，则图中阴影部分的

面积是_________.（结果保留》）

21.0（2021・辽宁盘锦•中考真题）如图，在平面直角坐标系x。），中，点A在x轴负半轴上，

点B在y轴正半轴上，。。经过4,B,O,C四点，NACO=120。,AB=4,则圆心点。的

坐标0是________

22.（2021・湖北鄂州•中考真题）如图，四边形A8OC中，AC=BC,ZACB=90°,AD1BD

于点。.若BD=2,CO=4&,则线段A3的长为_____________

1

23.（2021•山东威海•中考真题）如图，在正方形ABC。中，AB=2,E为边AB上一点，F

为边BC上一点.连接OE和■交于点G,连接BG.若=则BG的最小值为

cB

D

24.（2021.广东.中考真题）在3ABe中，ZABC=9O°,AB=2,BC=3.点。为平面上一个

动点，ZAD8=45。，则线段CO长度的最小值为

参考答案

1.A

【详解】

VZBOC=50°,

AZA=-ZBOC=25°.

2

故选A.

【点拨】本题考查圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的

一半.

2.A

【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案.

【详解】

解：如图所示：

VZBOC=1300,

ZA=65°,

ZA还应有另一个不同的值NA，与NA互补.

故/A'=180°-65°=115°.

故选：A.

【点拨】此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键.

3.A

【分析】连接0B和OC,证明AOBC为等边三角形，得到NBOC的度数，再利用圆周角

定理得出/A.

【详解】

解：连接OB和OC,

•••圆O半径为2,BC=2,

...△OBC为等边三角形，

ZBOC=60°,

.•.ZA=30°,

故选A.

【点拨】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助

线.

4.A

【分析】根据邻补角的性质，求出NBOC的值，再根据圆周角与圆心角的关系求出ND的

度数即可.

【详解】

VZAOC=140°,

ZBOC=180°-ZAOC=40°,

VZBOC与/BDC都对BC，

.*./D=g/BOC=20。，

故选A.

【点拨】本题考查了圆周角定理，知道同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键.

5.D

【分析】首先连接5E,由圆周角定理即可得N3EC的度数，继而求得N3EO的度数，然后由

圆周角定理，求得/BOO的度数.

【详解】

解：连接

丁NBEC=NBAC=15°,ZCED=30°,

，NBED=NBEC+NCED=45。,

：.NBOD=2NBED=90。.

故选:D

【点拨】本题主要考查「圆周角定理的应用，做题的时候分清楚每一个角是解此类题的关键.

6.B

【分析】根据圆心角与圆周角关系定理求出NAOB的度数，进而由角的和差求得结果.

【详解】

解：VZACB=50°,

，ZAOB=2ZACB=iOO°,

•・•ZAOP=55°,

・•・ZPOB=45°,

故选B.

【点拨】本题是圆的一个计算题，主要考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等

于它所对的圆周角的2信倍.

7.A

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到/AOB=g/AOC,再根据圆周角定理解答.

【详解】

连接0B,

•••点B是AC的中点，

ZAOB=|ZAOC=60°,

由圆周角定理得，ZD=^-ZAOB=30°,

故选：A.

【点拨】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同

弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键.

8.O

【详解】

试题分析：；NCAB=30。，AC=AD,OA=OC,，NACD=75。，ZACO=30°,.\ZOCE=45°,

VOE±CD,.•.△OCE为等腰直角三角形，VOC=2,：.OE=五.

考点：（1）、圆的基本性质；（2）、勾股定理

9.30°

【分析】连接OC,根据平行四边形的性质得到BC=OD,得到AOBC为等边三角形，根据

等边三角形的性质得到ZBOC=60°，根据圆周角定理解答即可.

【详解】

解：连接OC,

B

,/四边形OBCD是平行四边形，

，BC=OD,

BC=OB=OC,

...△OBC为等边三角形，

ZBOC=60°,

山圆周角定理得，NA=；/BOC=30。，

故答案为:30。.

【点拨】本题考查的是圆周角定理、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆

周角定理是解题的关键.

10.5cm

【分析】连接8c山题意易得4WC=NWC=30。，进而问题可求解.

【详解】

解：连接8C,如图所示：

ZA£>C=30°,

/.ZABC=ZADC=30°,

・・•AB是直径，

・•・ZACB=90°,

AC=5cm,

AB=2AC=10cm,

**-O的半径为5cm；

故答案为5cm.

【点拨】本题主要考查圆周角定理及含30。直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理及含30°

直角三角形的性质是解题的关键.

11.企

【分析】连接AQ,BQ,根据圆周角定理可得出N04B=NP=45,N4Q8=90。，故」AQ8

为等腰直角三角形，再根据锐角三角函数即可得出答案.

【详解】

连接AQ,BQ,

.ZP=45,

•••NQA8=NP=45,且NAQ8=90",

为等腰直角三角形

AB=2,

...._.QB_QB_>/2

,,sinN/QrABo=sin45=----=-----=—

AB22

QB=6

【点拨】本题主要考查了圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题关键.

12.9

7

【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可得NACD=/DBA,根据AB为。。是直径，可知

An

ZADB=90°,然后利用勾股定理求出BD,则lan/ACD=lanNDBA=彷.

【详解】

解：・・,同弧所对的圆周角相等，

.,.ZACD=ZDBA,

又TAB为。。是直径，

.'.ZADB=90°,

VAD=3,AB=4,

•*-BD=7AB2-AD2=V16-9=V7，

tanZACD=tanZDBA=,

BDy/17

故答案为：短.

7

【点拨】本题考查求一个角的正切及圆周角，解题的关键是掌握同弧或等弧所对的圆周角相

等.

13.4夜

【分析】先求解ZCOE=45°,再由可得CE=OE,N0£：C=9O。，再利用

sinNCOE='CE=一CE=sin45。，解方程，从而可得答案.

OC4

【详解】

解：.ZA=22.5°,

/.ZCOE=45°,

AB±CD,

:.CE=DE,/OEC=90。,

0C=4,

CECE

・•・sinZCOE=—=—=sin45°,

OC4

CE=2>/2,

:.CD=2CE=4夜，

故答案为：40.

【点拨】本题考查的是垂径定理，圆周角定理，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题

的关键.

14.9-1

【分析】根据北上况，可得到点E的运动轨迹是以48的中点。为圆心，A2长为直径的

圆，连接0C交圆。于点E’,从而得到当点E位于点E'位置时，线段CE取最小值，再

利用勾股定理即可求解

【详解】

解：AEA.BE,

.•.点E的运动轨迹是以A8的中点。为圆心，AB长为直径的圆，如图所示，

当点E位于点E位置时，线段CE取最小值,

在矩形ABC。中，ZABC=90°,

,/Afi=2,

：.OA=OB=OE'=1,

BC=3,

,,OC=4OB'+BC!=Jl2+3'=>/10,

CE'=0C-OE'=历-\

故答案为：Vio-i

【点拨】本题主要考查了圆周角定理，圆的基本性质及矩形的性质，勾股定理，根据

AELBE,可得到点E的运动轨迹是以48的中点。为圆心，A8长为直径的圆是解题的关

键

15.(1)证明见解析；(2)证明见解析

【分析】(1)利用等腰三角形的性质证明NA4c=NB,利用平行线证明加尸=NB,利

用圆的性质证明NBAC=/CFD,再证明8。//C£即可得到结论；

(2)如图，连接AE,利用平行线的性质及圆的基本性质再利用圆内接四边

形的性质证明NE4F=ZB,从而可得结论.

【详解】

证明：(1)AC=BC,

ABAC=AB,

DFIIBC,

:.ZADF=ZB,

又NBAC=NCFD,

ZADF=ZCFD,

:.BD//CF,

，四边形。8c尸是平行四边形.

(2)如图，连接A£

ZADF=ZB,ZADF=ZAEF

:.NAEF=NB

1•四边形AECF是。的内接四边形

ZECF+ZEAF=\SO"

BDHCF

NECF+NB=180°

.-.ZEAF=ZB

:.ZAEF=ZEAF

：.AF=EF

B

【点拨】本题考查平行四边形的判定，圆的基本性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的

性质，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键.

1.B

【分析】直接根据宜径所对的圆周角是直角进行判断即可.

【详解】

解：•.•A8是。。的直径，点C是。O上一点，

；.NC=90°

故选：B

【点拨】此题主要考查了：半圆（或直径）所对的圆周角是宜角，灵活掌握半圆（或直径）

所对的圆周角是直角是解答此题的关键.

2.B

【分析】连接A。，如图，根据圆周角定理得到NA£>B=90。，/C=/4,然后利用互余计

算出NA,从而得到NC的度数.

【详解】

解：连接A。，如图，

A8为。的直径，

ZADB=90°,

ZA=90°-ZABD=90°-54°=36°,

.♦.NC=ZA=36°.

故选B.

【点拨】本题主要考查了同弦所对•的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在

于能够熟练掌握相关知识进行求解.

3.B

【分析】根据圆周角定理即可求解.

【详解】

NO=70°,

，NC=//O=35°

故选B.

【点拨】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆周角定理的性质.

4.C

【分析】根据圆周角定理得出NCOB=2/84C=60。，结合已知得出NAOB=gN8OC=20。，

从而得出/AOC的度数

【详解】

解：「SC对的圆心角为/8OC，BC对的圆周角为/BAC,/BAC=30。，

ZBOC=2ZCAB=60°,

,：ZAOB=^ZBOC,

NAO8=20°,

ZAOC=ZAOB+N8OC=80。，

故选：C

【点拨】本题考查了圆周角定理，能根据圆周角定理得出NCO8=2NCA8是解此题的关键.

5.C

【分析】根据勾股定理求得AB的长，然、根据直径所对圆周角为9()。得到NADC=90。，然

后根据三角形面积即可求解.

【详解】

在/?/△ACB中，AB=>JAC2+BC1=后+8?=10-

：AC为二。的直径，

ZADC=90°,

：.S=--AC-BC=--AB-CD,

"ABHC22

..AC-BC6x824

..CD=----------=------=—,

AB105

故选C.

【点拨】本题考查了圆周角定理，勾股定理，关键是判断乙4£2=90。.

6.C

【分析】连接08,由题意易得/8。/)=60。，然后根据圆周角定理可进行求解.

【详解】

解：连接OB,如图所示：

y

・・・A(2,0),0(4,0),

・・.OA=2,OB=OE=OD=4,

・•・OA=-OB

2f

;四边形。钻。是矩形，

NOW=90。,

JNOBA=30。，

ZBOD=90°-ZOBA=60°,

・・・/BED=-/BOD=30°；

2

故选c.

【点拨】本题主要考查圆周角定理、矩形的性质及含30。的直角三角形的性质，熟练掌握圆

周角定理、矩形的性质及含30。的直角三角形的性质是解题的关键.

7.B

【分析】首先根据圆周角定理求得N8OC的度数，根据44OC的度数求

NAQ8=Z4OC-N8OC即可.

【详解】

解：'：ABAC=30°

：.ZBOC=2ABAC=2x30°=60°,

•；ZAOC=90°,

\?AOB?AOC?BOC90?60?30?,

故选:B.

【点拨】考查了圆周角定理及两锐角互余性质，求得N8OC的度数是解题的关键.

8.D

【分析】连接CO,过点。作DGLAB于点G,连接AD,因为CE=2DE,构造△DGE^/XCOE,

求出OG=3,设GE=x,贝ijOE=2x,£>G=3,则4G=6-3x,BG=6+3x,再利用

XAGDsXADB,列出方程即可解决.

【详解】

解：连接CO,过点。作DGJ_A8于点G,连接AD,

VZBDC=45°,

：.ZCAO=ZCDB=45°f

・・,43为。。的直径，

/.NAC8=NAO8=90。，

AZCAB=ZCBA=45O,

・：BC=6五,

:・AB=OBC=12,

•：OA=OB,

：.COLAB,

AZCOA=ZDGE=90°,

■:/DEG=/CEO,

・••△DGEsAcOE,

.DEGE_DG

，9~CE~~OE~2~CO"

■:CE=2DE,

设GE=x,则OE=2xtDG=3,

.*.AG=6-3x,8G=6+3x,

*/ZADB=NAG£>=90。，

NDAG=NBAD,

2

：.DG=AG*BGf

：.9=(6-3x)(6+3x),

Vx>0,

**.X=A/3,

：.OE=26

在於AOCE中，由勾股定理得:

CE=dOE2+OC2=J12+36=>

故选：D.

【点拨】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助

线构造出心OGEsaCOE是解题关键

9.D

【分析】根据平行线的性质、圆周角定理、矩形的判定方法及直角三角形的性质分别判断后

即可确定正确的选项.

【详解】

解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，不符合题意；

8、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意；

C、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；

0、直角三角形斜边上的中线等了斜边的一半，正确，符合题意；

故选：D.

【点拨】考查了命题与定理的知识，解题的关键是「解平行线的性质、圆周角定理、矩形的

判定方法及直角三角形的性质等知识，难度不大.

10.B

【分析】连接OC,根据圆周角定理得到N8OC=2N/)=140。，根据垂径定理得到

NCO4=；/BOC=70。，根据等腰三角形的性质即可得到结论.

【详解】

解：连接。3,OC,

VZD=70°,

・・・/3。。=2/。=140。,

VOA1BC,

/.ZCOA=-ZBOC=70°,

2

♦：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA=-(180°-70°)=55°,

2

故选：B.

D

【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，等腰三角形性质，三角形的内角和

定理，正确的作出辅助线是解题的关键.

11.B

【分析】如图，过点C作于从利用勾股定理求出A8,再利用面积法求出C”,

可得结论.

【详解】

解：如图，过点C作于，.

是直径,

ZACB=90°,

：AC=4,BC=3,

•*-A8=VAC2+BC2="2+32=5>

OC—^AB=I",

,•>54BC=1-AB-CH=・AGBC,

3x4_12

••C/7--------

55

12

5_24

：.sinZBOC=—=

OC525

2

故选:B.

【点拨】本题考查圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用面积法求出

C”的长，属于中考常考题型.

12.B

【分析】根据圆内接四边形的性质可得ZABC=60。，连接AC,得NACB=90。，进一步得

出NBAC=30。，从而可得结论.

【详解】

解：连接AC,如图,

VA,B,C,。在以AB为直径的半圆上，

二ZADC+ZABC=18O°

'：NADC=120。

ZABC=1800-ZADC=180°-120°=60°

为半圆的直径

ZACB=90°,

二4c=30°

/.ZBEC=ABAC=30。

故选：B.

【点拨】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，正确作出辅助线构造直

角三角形是解答此题的关键.

13.A

【分析】连接AD、AE,OD、OC、OE,过点。作于点H,根据圆内接四边形

的性质得NDAE=80。，根据对称以及圆周角定理可得ZBQ£>=ZfiOE=80。，由点C是B。的

中点可得ZBOC=NC8=40。，ZCOE=ZBOC+^BOE=120°,根据等腰三角形以及直角三角

形的性质即可求解.

【详解】

解：连接A。、AE.OD、OC、OE,过点。作LCE于点H,

ZDCE=iOO°,

ZDAE=1800-ZDCE=80°,

点D关T-AB对称的点为E,

ZBAD=^BAE=40°,

:.ZBOD=ZBOE=SO°,

.,点C是B0的中点，

:.ZBOC=ZCOD=40°,

/COE=ZBOC+ZBOE=120°,

OE=OC,OHICE,

:.EH=CH,NOEC=NOCE=30。,

.,直径/W=4，

:.OE=OC=2,

EH=CH=43,

:.CE=2y/3.

故选：A.

【点拨】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形以及直角三角形的性质,

求出NCOE=120°是解题的关键.

14.B

【分析】过。作垂足为E,先利用圆周角的性质和角平分线的性质得到DE=DC=l,

再说明R3DEB却14DCB得到BE=BC,然后再利用勾股定理求得AE,设BE=BC=x,

AB=AE+BE=x+C,最后根据勾股定理列式求出x,进而求得48.

【详解】

解：如图：过。作垂足为E

是直径

ZACB=90°

•••/48C的角平分线BD

：.DE=DC=\

在Rt4DEB和RmDCB中

DE=DC、BD=BD

/./?/△DEBQRtADCB(HL)

：.BE=BC

在RtXADE中，AD=AC-DC=3-1=2

但YJAD2-DE2=>/22-l2=6

设BE=BC=x,AB=AE+BE-X+43

在心△A8c中，AB2=AC2+BC2

则(x+G)2=32+*,解得广百

+5/3=25/3

故填：

D

13

【点拨】本题主要考查了圆周角定理、角平分线的性质以及勾股定理等知识点，灵活应用相

关知识成为解答本题的关键.

15.A

【分析】如图，作A8C的外接圆。，连接过。作EW轴丁”，作

轴丁G,则四边形DGQH是矩形，再证明△ABD是等边三角形，再分别求解OH,CH即可

得到答案.

【详解】

解：如图，作aABC的外接连接D4,D8,OC,过。作DHLx轴于H,作。轴

于G,则四边形Z7GQH是矩形，

A(0,1),8(0,-5),ZACB=30。，

AB=6,ZADB=60°,DA=DB,

.•../即是等边三角形，

AG=BG=3,DG=462=3百,

:.()H=DG=3®DH=OG=AG-AO=2,

：.CH=y/CD2-DH2=762-22=4&,

OC=()H+CH=3』+4>/i

.-.C(3V3+4>/2,0).

故选：A.

【点拨】本题考查的是坐标与图形，三角形的外接圆的性质，圆周角定理，等边三角形的判

定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理分应用，灵活应用以上知识解题是解题的关键.

16.(4,3-5)

【分析】如图，连接BC,设圆与x轴相切于点。，连接交BC与点E,结合已知条件,

则可得勾股定理求解房0,进而即可求得B的坐标.

【详解】

如图，连接8C,设圆与x轴相切于点。，连接M£＞交8c与点E,

则MD_Lx轴，

QAB为直径，则NACB=90。，

.•.BC〃x轴，

M（2,3）,

：.MB=MD=3,CE=EB=2,

ME=y/MB2-EB2=y/^-22=5/5-CB=4，

:.DE=MD-ME=3-5

.BC〃x轴，

J?（4,3—5/5）.

故答案为：（4,3-石）.

【点拨】本题考查了圆的性质，直径所对的圆周角是直角，垂径定理，切线的性质，勾股定

理，坐标与图形，掌握以上知识是解题的关键.

17.35°

【分析】根据直径所对的圆周角是直角推出/AC8=90。，再结合图形由直角三角形的性质

得到N8=90。-NCA8=35。，进而根据同圆中同弧所对的圆周角相等推出N£»=N8=35。.

【详解】

解：•.28是。。的直径，

ZACB=90°,

,/ZCAB=55°,

：.ZB=90°-ZCAB=35°,

：.ZD=ZB=35°.

故答案为：35°.

【点拨】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，解题的关键在

于能够熟练掌握相关知识进行求解.

18.32

【分析】由同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角为90。然后根据三角形内角和即可求

出N8AC的度数.

【详解】

ZADC=58°,

：.ZABC=ZADC=58°,

又「AB是直径，

ZACB=90%

，N8AC=90°—58°=32°.

故答案为：32.

【点拨】此题考查J'同弧所对圆周角的性质和直径所对圆周角的性质，解题的关键是熟练掌

握同弧所对圆周角的性质和直径所对圆周角的性质.

19.-

2

【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得NA8C=NAOC,再利用正切的定义求解即可.

【详解】

解：VZABC=ZADC,

3

tanZ.ADC=tanZABC=—,

2

3

故答案为：—.

【点拨】本题考查同弧所对的圆周角相等、求角的正切值，掌握同弧所对的圆周角相等是解

题的关键.

20.羽-2

42

【分析】由ZC=45°,根据圆周角定理得出2408=90。,根据“朽SS必；可得

出结论.

【详解】

解：VZC=45°,

ZAOB=90°,

:,S阴行S展推AOB-SA0B

_949

，

42

97r9

故答案为：———.

42

【点拨】本题主要考查圆周角定理、扇形的面积计算，根据题意求得三角形与扇形的面积是

解答此题的关键.

21.。(-百，1)

【分析】先利用圆内接四边形的性质得到/A2O=60。，再根据圆周角定理得到AB为。。的

直径，则。点为48的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到08=2,OA=

2上,所以A(-2石，0),8(0,2),然后利用线段的中点坐标公式得到。点坐标.

【详解】

解：•••四边形A