统计学课后答案第七八章

6.1调节一个装瓶机使其对每个瓶子的灌装量均值为〃盎司，通过观察这台装瓶机对每

个瓶子的灌装量服从标准差。=10盎司的正态分布。随机抽取由这台机器灌装的9个瓶子

形成一个样本，并测定每个瓶子的灌装量。试确定样本均值偏离总体均值不超过0.3盎司

的概率。

解：总体方差知道的情况下，均值的抽样分布服从的正态分布，由正态分布,

标准化得到标准正态分布：z=^N（0,l）,因此，样本均值不超过总体均值的概率P

为：

=P(-0.9<z<().9)=20(0.9)-1,查标准正态分布表得0(0.9)=0.8159

因此,P(|x-//|<0.3)=0.6318

6.2在练习题6.1中，我们希望样本均值与总体均值〃的偏差在0.3盎司之内的概率达

到0.95,应当抽取多大的样本？

解：网，一〃区。3）=。［密"悬卜。［蒜

=2①(0.34)一1>0.95=>①(0.3〃)20.975

6.3Z,,Z2,……，Z6表示从标准正态总体中随机抽取的容量，n=6的一个样本,

试确定常数b,使得

解：由于卡方分布是由标准正态分布的平方和构成的：

设Z1，……，今是来自总体20,1）的样本，则统计量

服从自由度为刀的x2分布，记为x2〜x2（n）

66/6\

因此，令/则％2=Zz：r（6）,那么由概率Mb=095,可知:

b-),查概率表得：b=12.59

6.4在习题6.1中，假定装瓶机对瓶子的灌装量服从方差4=1的标准正态分布。假定

我们计划随机抽取1。个瓶子组成样本，观测每个瓶子的灌装量，得到10个观测值，用

这10个观测值我们可以求出样本方差晓(片7TM氏一,)2)，确定一个合适的范围使得有

较大的概率保证S?落入其中是有用的，试求b1,b2,使得

解：更加样本方差的抽样分布知识可知，样本统计量：

此处，n=10,cr2=1,所以统计量

根据卡方分布的可知：

又因为：

因此：

则：

查概率表：忌£9)=3.325,总8⑼=19.919,则

匕迄0=0369,8=狐®=1.88

199

7.1从一个标准差为5的总体中采用重复抽样方法抽出一个样本容量为4。的样本，样本

均值为25。

(1)样本均值的抽样标准差等于多少

(2)在95%的置信水平下，估计误差是多少？

7.2某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额。在为期3周的时间里选取49名顾

客组成了一个简单随机样本。

(1)假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差。

a-==2=2.143

GV49

⑵在95%的置信水平下，求边际误差。

由于是大样本抽样，因此样本均值服从正态分布，因此概率度1=2叽

因此，A=r­(T-=Za/2cy-=zOO25-(T-=1.96X2.143=4.2

(3)如果样本均值为12。元，求总体均值的95%的置信区间。

置信区间为：

(x-A-,x+A_)=(120-4.2,120+4.2)=(115.8,124.2)

7.4从总体中抽取一个n=100的简单随机样本,得到了=81,s=12o

要求:

大样本，样本均值服从正态分布：x或亍

[n)

5_12

置信区间为:=1.2

&Vioo

⑴构建〃的90%的置信区间。

Z0/2=ZO.O5=L645,置信区间为：(81-1.645x1.2,81+1.645x1.2)=(79.03,82.97)

⑵构建〃的95%的置信区间。

za/2=z0.025=1.96,置信区间为：(81-1.96x1.2,81+1.96x1.2)=(78.65,83.35)

⑶构建〃的99%的置信区间。

zo/2=z0^5=2.576,置信区间为：(81-2.576x1.2,81+2.576x1.2)=(77.91,84.09)

7.5利用下面信息，构造总体均值的置信区间。

(1)x=25cr=3.5〃=60l-a=95%

(2)1=119.65=23.89n=75l-a=98%

(3)1=3.4195=0.974〃=32l-a=90%

7.6利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。

(1)总体服从正态分布，且已知元=8900CT=500〃=151-a=95%

(2)总体不服从正态分布，且已知5=8900CT=500〃=35l-a=95%

(3)总体不服从正态分布，o未知，元=89005=500〃=35l-a=90%

(4)总体服从正态分布，o未知，元=8900cr=500〃=35l-a=99%

7.7某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取重复抽样方法随机

抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据(单位：小时)：

3.33.16.25.82.34.15.44.53.2

4.42.05.42.66.41.83.55.72.3

2.11.91.25.14.34.23.60.81.5

4.71.41.22.93.52.40.53.62.5

求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%,95%和99%。

解：

(1)样本均值工=3.32,样本标准差s=1.61;

(2)抽样平均误差：

重复抽样：=—j=«=1.61/6=0.268

=0.268XJ0.995=0.268X0.998=0.267

(3)置信水平下的概率度：

\—a=0.9,t=ZO/2=Z005=1.645

1-«=0.95,t=za/2=z0025=1.96

1-«=0.99,t=za/2=z0005=2.576

(4)边际误差(极限误差)：

1-«=0,9,&=fq=z&/2・q=z0.05-crT

重复抽样：=za/2(Tv=z005cr-=1.645X0.268=0.441

不重复抽样：△了=za/2■<y-=z005•=1.645X0.267=0.439

1-«=0.95,怎=rg=za/2.(TX=Z0,025•?

=

重复抽样：△了=z«/2,°xzo.o25,bq=1.96x0.268=0.525

az

不重复抽样：=za/2,x~o.o25,c-=1.96x0.267=0.523

1-«=0.99,A=fq=Z./2-q=z0()05•/

重复抽样：-za12-(T-=z0005<T-=2.576X0.268=0.69

不重复抽样：Ay=Za/2-=Z0.005,=2.576X0.267=0.688

(5)置信区间：

1—a=0.9,

重复抽样：(x-As,x+AT)=(3.32-0.441,3.32+0.441)=(2.88,3.76)

不重复抽样：(x-A_,x+A-)=(3.32-0.439,3.32+0.439)=(2.88,3.76)

\—a=0.95,

重复抽样：(x-As,x+A-)=(3.32-0.525,3.32+0.525)=(2.79,3.85)

不重复抽样：(x-A-,x+A_)=(3.32-0.441,3.32+0.441)=(2.80,3.84)

l-a=0.99,

重复抽样：(x-A-,x+A.)=(3.32-0.69,3.32+0.69)=(2.63,4.01)

不重复抽样：(x-A.,x+)=(3.32-0.688,3.32+0.688)=(2.63,4.01)

7.8从一个正态分布总体中随机抽取样本容量为8的样本，各样本值分别为：10,8,12,

15,6,13,5,11。求总体均值的95%的置信区间。

解：元=10,$2=12,S=3.4641

7.9某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16个人组成的一个随机

样本，他们到单位的距离(单位：km)分别是：

103148691211751015916132

假定总体服从正态分布，求职工上班从家里到单位平均距离的95%的置信区间。

解：小样本，总体方差未知，用t统计量

均值=9.375,样本标准差s=4.11

置信区间:

1-«=0.95,n=16,心/2（〃_1）=’0025（15）=2.13

9.375-2.13x^11,9.375+2.13x^11^=

（7.18,11.57）

V16V16）

7.10从一批零件中随机抽取36个，测得其平均长度为149.5,标准差为1.93

(1)试确定该种零件平均长度的95%的置信区间

S1.93

或者亍土Z0/2=149.5+z.=149.5+0.630455

4n0025

7.11某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为100g。现从某天生

产的一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查，测得每包重量(单位：g)如下:

每包重量(g)包数

96-982

98~1003

100-10234

102~1047

104-1064

合计50

已知食品包重量服从正态分布，要求：

⑴确定该种食品平均重量的95%的置信区间。

解：大样本，总体方差未知，用z统计量

样本均值=101.4,样本标准差s=L829

置信区间:

=196

1-«=0.95,Z„/2=ZO.O25-

=101.4-1.96x142,101.4+1.96x^2]=(100.89,101.91)

(V50V50)

⑵如果规定食品重量低于100g属于不合格，确定该批食品合格率的95%的置信区间。

解：总体比率的估计

大样本，总体方差未知，用z统计量

样本比率=(50-5)/50=0.9

置信区间：

l-a=0.95,Za/2=Zoo25=L96

=0.9—1.96X『，9°。),0.9+].96x/90。)=(0.8168,0.9832)

7.13一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间，为此随机抽取

了18个员工。得到他们每周加班的时间数据如下(单位：小时)：

62117207081629

381211921251516

假定员工每周加班的时间服从正态分布。估计网络公司员工平均每周加班时间的90%

的置信区间。

解：小样本，总体方差未知，用t统计量

均值=13.56,样本标准差s=7.801

置信区间：

l-a=0.90,n=18,%2(〃-l)=ho5(17)=1.7369

=[13.56-1.7369x^21,13.56+1.7369x2^21|=(10.36,16.75)

IV18V18)

7.15在一项家电市场调查中.随机抽取了200个居民户，调查他们是否拥有某一品牌

的电视机。其中拥有该品牌电视机的家庭占23%。求总体比例的置信区间，置信水平

分别为90%和95%O

解：总体比率的估计

大样本，总体方差未知，用z统计量

样本比率=0.23

置信区间：

1-«=0.90,za/2=z0025=1.645

((0.23(1-0.23),0.23(1-0.23)^

=0.23-1.645x.——i------,0.23+1.645x.——------->-

V200V200

\/

=(0.1811,0.2789)

l-a=0.95,Za/2=Zoo25=L96

Jo.23.1%产3。-。•均,o.23+L96x、pE^]=(0,1717,0.2883)

V200V200

7.16一位银行管理人员想估计每位顾客在该银行的月平均存款额，他假设所有顾客存款

额的标准差为1000元，要求估计误差在200元一位，置信水平为99%,则应选取多大

的样本？

2

“2/，1000.._

解：〃之z“/2=z0.005=165.87

7.17计算下列条件下所需要的样本量

(1)£=0.02万=0.41—a=96%

(2)£=0.04万未知l—a=95%

(3)E=0.05万=0.551—a=90%

7.20顾客到银行办理业务时往往需要等待一段时间，而等待时间的长短与许多因素有

关，比如，银行业务员办理业务的速度，顾客等待排队的方式等。为此，某银行准备

采取两种排队方式进行试验，第一种排队方式是：所有顾客都进入一个等待队列；第

二种排队方式是：顾客在三个业务窗口处列队三排等待。为比较哪种排队方式使顾客

等待的时间更短，银行各随机抽取10名顾客，他们在办理业务时所等待的时间(单位:

分钟)如下：

方式16.56.66.76.87.17.37.47.77.77.7

方式24.25.45.86.26.77.77.78.59.310

要求：

⑴构建第一种排队方式等待时间标准差的95%的置信区间。

解：估计统计量

经计算得样本标准差s；=3.318

置信区间:

l-a=0.95,n=10,//2(〃T)=总025⑼=19.02,力乙”5-忌975⑼=2.7

"(»-l)S2(〃-1此、<9x0,22729x0.2272]

?=(0.1075,0.7574)

&/2(〃-1)'显叽(〃-1),I19.02-Z7-)

因此，标准差的置信区间为(0.3279,0.8703)

⑵构建第二种排队方式等待时间标准差的95%的置信区间。

解：估计统计量

经计算得样本标准差，:=0.2272

置信区间：

l-a=0.95,n=10,//2(〃-1)=就025(9)=19.02,zL/2(«-l)=Zo.975(9)=2.7

(监里,¥40=(四里咨斗(1.57,11,06)

1。/2(〃一1)ZL/2(»-1)JI19.022.7J

因此，标准差的置信区间为(1.25,3.33)

⑶根据(1)和(2)的结果，你认为哪种排队方式更好?

第一种方式好，标准差小!

7.22从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，他们的均值和标准差如下表所示:

来自总体1的样本来自总体2的样本

样本均值为25样本均值为23

样本方差为16样本方差为20

S2=(4=■四二1871429

「(仆-1)+(%-1)7

7.23下表是由4对观察值组成的随机样本。

配对号来自总体A的样本来自总体B的样本

120

257

3106

485

⑴计算A与B各对观察值之差，再利用得出的差值计算Z和力o

J=1.75,sd=2.62996

⑵设A和〃2分别为总体A和总体B的均值，构造出=必-〃2的95%的置信区间。

解：小样本，配对样本，总体方差未知，用t统计量

均值=1.75,样本标准差s=2.62996

置信区间:

1-a=0.95,n=4,%/2（鹿_1）=’0025（3）=3.182

696696

1.75-3.182x?^,1.75+3.182x?^（-2.43,5.93）

V4"

7.24一家人才测评机构对随机抽取的10名小企业的经理人用两种方法进行自信心测试,

得到的自信心测试分数如下:

人员编号方法1方法2

17871

26344

37261

48984

59174

64951

76855

87660

98577

105539

构建两种方法平均自信心的分之差的95%的置信区间

解：2=11,s(;=6.531973

7.25从两个总体中各抽取一个仆=%=250的独立随机样本，来自总体1的样本比例

为％=40%,来自总体2的样本比例为p2=30%。要求：

(1)构造多-%的90%的置信区间。

(2)构造%-巧的95%的置信区间。

解：总体比率差的估计

大样本，总体方差未知，用z统计量

样本比率pl=0.4,p2=0.3

置信区间：

1-a=0.90,za/2=z0025=1.645

0.1."心必gE"0.1+"世E必03(1-0.3)

V250250V250250

=(3.02%,16.98%)

1-a=0.95,Za/2=Z（）o25=L96

」0.1一1.96*/^17¥^,0.1+1.96><、^^+。3。叫

V250250V250250

\7

=（1.68%,18.32%）

7.26生产工序的方差是工序质量的一个重要度量。当方差较大时，需要对序进行改进以

减小方差。下面是两部机器生产的袋茶重量（单位：g）的数据：

机器1机器2

3.453.223.93.223.283.35

3.22.983.73.383.193.3

3.223.753.283.33.23.05

3.53.383.353.33.293.33

2.953.453.23.343.353.27

3.163.483.123.283.163.28

3.23.183.253.33.343.25

要求：构造两个总体方差比其/点的95%的置信区间。

解：统计量：

置信区间：

s；=0.058,sf=0.006

nl=n2=21

=

\-a=0.95,以2（4-1,^2-1）^oO25（20,20）=2.4645,

&«/2（4T，%T）=《975（20,20）=--（；020）=64058

=（4.05,24.6）

%2（勺一1，〃2-1）K-a/2（〃1—1，〃2—1）

7

7.27根据以往的生产数据，某种产品的废品率为2%。如果要求95%的置信区间，若

要求边际误差不超过4%,应抽取多大的样本？

l-a=0.95,za/2=z0025=1.96

z；/2,“，（1一〃）_L962x002x0.98

n==47.06,取n=48或者50。

0.042

7.28某超市想要估计每个顾客平均每次购物花费的金额。根据过去的经验，标准差大

约为120元，现要求以95%的置信水平估计每个顾客平均购物金额的置信区间，并

要求边际误差不超过2。元，应抽取多少个顾客作为样本？

z2

解：〃-，1-«=0.95,Za/2=Zoo25=L96,

1.962X1202

j=138.3,取n=139或者140,或者150。

4202

7.29假定两个总体的标准差分别为：5=12,4=15,若要求误差范围不超过5,相

应的置信水平为95%,假定〃产丐，估计两个总体均值之差4-4时所需的样本量为

多大?

Z：/2・(b；+b；)

解：nl=n2=w，1—a=0.95,Za/2=Zoo25=L96,

z；/2,9；+/)_1.96?x”+15?)

nl=n2=«=56.7,取n=58,或者60。

52

7.30假定边际误差E=0.05,相应的置信水平为95%,估计两个总体比例

之差々-有时所需的样本量为多大？

Z12.[Pl(l—R)+P2(l—P2)]

解:nl=n2=n,1-a=0.95,za/2=z0025=1.96,取

pl=p2=0.5,

z"p"l-Pj+P2(l-必)]_1.962x(0.52+0.52)

nl=n2=/i==768.3,取n=769,

0.052

或者780或800。

8.1已知某炼铁厂的含碳量服从正态分布N(4.55,0.1082),现在测定了9炉铁水，其

平均含碳量为4.484o如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量为

4.55(显着性水平为0.05)?

解：Ho：片4.55;Hu〃看4.55

已知：x=4.484=0.108,n=9

检验统计量:

z=4484-455=L833

s/4n0.108/V9

当a=0.05,查表得Za〃=1.96。因为z>-z,,all，故不拒绝原假设，说明可以现在生产的铁

水平平均含碳量为4.55。

8.2一种元件，要求其使用寿命不得低于700小时。现从一批这种元件中随机抽取36

件，测得其平均寿命为68。小时。已知该元件寿命服从正态分布,b=60小时，试

在显着性水平0.05下确定这批元件是否合格。

解：Ho：〃>700;Hi：〃V7OO

已知：x=680o-=60

由于n=36>30,大样本，因此检验统计量：

x—680—700°

当a=0.05,查表得z“=1.645。因为zV-z“，故拒绝原假设，接受备择假设，说明这批

产品不合格。

8.3某地区小麦的一般生产水平为亩产250kg,其标准差为30kg。现用一种化肥进行试

验，从25个小区进行抽样，其平均产量为270kgo这种化肥是否使小麦明显增产

(cz=0.05)?

解：Ho：〃<250;Hi：〃>0.05

已知：x=270cr=30,n=25

270-250___

z=——j=r=f]—,=3.33

c]4n30,/V25

当a=0.05,查表得Za/2=L96。因为ZAZ,。，故拒绝原假设，这种化肥是否使小麦明显

增长。

8.4糖厂用自动打包机打包，每包标准重量是100千克。每天开工后需要检验一次打

包机工作是否正常。某日开工后测得9包重量(单位：千克)如下：

99.398.7100.5101.298.399.799.5102.1100.5

已知包重服从正态分布，试检验该日打包机工作是否正常3=0.05)?

解：Ho：〃=100;Hu〃片100

经计算得：%=99.9778S=l.21221

检验统计量:

”斗曹.977邛=0055

s/y/n1.21221/\J9

当a=0.05,自由度1=9时，查表得做(9)=2.262。因为“〈秘，样本统计量

落在接受区域，故接受原假设，拒绝备择假设，说明打包机工作正常。

8.5某种大量生产的袋装食品，按规定不得少于250克。今从一批该食品中任意抽取

50袋，发现有6袋低于250克。若规定不符合标准的比例超过5%就不得出厂，问

该批食品能否出厂(a=0.05)?

解：Ho：万＜0.05;7/1:乃＞0.05

已知：0=6/50=0.12

检验统计量：

Z=Pf=0.12-0.05=2271

个%(1-)/"/0.05x(1-0.05)

V50

当a=0.05,查表得z°=1.645。因为z＞z“，样本统计量落在拒绝区域，故拒绝原假设,

接受备择假设，说明该批食品不能出厂。

8.6某厂家在广告中声称，该厂生产的汽车轮胎在正常行驶条件下超过目前的平均水平

25000km。对一个由15个轮胎组成的随机样本做了实验，得到的样本均值和标准

差分别为27000km和5000km。假定轮胎寿命服从正态分布，问该厂家的广告是

否真实(a=0.05)?

解：”:25000;M：〃＞25000

经计算得：%=27000S=5000

检验统计量：

克-〃0_27000-25000

=1.549

s/s/n—5000/V15

当a=0.05,自由度刀-1=14时，查表得"14)=1.76131。因为t＞。，样本统计量落

在拒绝区域，故拒绝原假设，即该厂家的广告真实。

8.7某种电子元件的寿命x(单位：小时)服从正态分布。现测得16只元件的寿命如下:

159280101212224379179264

222362168250149260485170

问是否有理由认为元件的平均寿命显着地大于225小时(a=0.05)?

解：Ho：〃<225;Hi：〃>225

经计算知：亍=241.5s=98.726

检验统计量：

当a=0.05,自由度刀-1=15时，查表得J。5)=1.753。因为tvr“，样本统计量落在

接受区域，故接受原假设，拒绝备择假设，说明元件寿命没有显着大于225小时。

8.8随机抽取9个单位，测得结果分别为为：855966813557556366

以a=0.05的显着性水平对下述假设进行检验：Ho：^<100;Hi：『>100

2

fr..2(n-l)58x215.752小、

解：x—j=7TT=17,26>Z005(8)=15.50731

(To1UU

所以拒绝原假设，即方差显着大于100

8.9A,B两厂生产同样材料。已知其抗压强度服从正态分布，且成=63?虎=572,

从A厂生产的材料中随机抽取81个样本，测得另=1070依/。然2；从B长生产的材

料中随机抽取64个样品，测得舄=1020依/a"。根据以上调查结果，能否认为A,

B两厂生产的材料平均抗压强度相同(a=0.05)?

解：H。：%B=°乩:4-〃“°

另一片_1070—1020

=5.00587>z0025=L96所以不能认为A,B两厂生产的材

6,+57

8164

料平均抗压强度相同

8.10装配一个部件时可以采用不同的方法，所关心的问题是哪一个方法的效率更高。

劳动效率可以用平均装配时间反映。现从不同的装配方法中各抽取12件产品，记录

各自的装配时间（单位：分钟）如下：

甲方法：313429323538343029323126

乙方法：262428293029322631293228

两总体为正态总体，且方差相同。问两种方法的装配时间有无显着不同（a=0.05）?

解：建立假设

Ho：〃1一优=07/1：一〃2片0

总体正态，小样本抽样，方差未知，方差相等，检验统计量

根据样本数据计算，得〃1=12,4=12,X,=31.75,5,=3.19446,x2=28.6667,

s2=2.46183o

(12-l)x0.922162+(12-l)x0.710672

=8.1326

12+12-2

=2.648

Q=0.05时，临界点为期（4+吗-2）=机25（22）=2.074,此题中故拒绝原

假设，认为两种方法的装配时间有显着差异。

8.11调查了339名50岁以上的人，其中205名吸烟者中有43个患慢性气管炎，在

134名不吸烟者中有13人患慢性气管炎。调查数据能否支持“吸烟者容易患慢性气

管炎”这种观点（a=0.05）?

解：建立假设

H。:万14兀2；:71\>712

/?!=43/205=0.2097nl=205R=13/134=0.097n2=134

检验统计量

(0.2098-0.097)-0

0.2098(1-0.2098)0.097(1-0.0