浙教版初中数学九年级上册50题（含答案）

浙教版初中数学九年级上册专题50题含答案

一、单选题

1.抛物线y=3/的对称轴是（

A.直线x=3B.直线x=—3C.直线x=0D.直线y=O

2.在一比例尺为1：36000000地图上,量出南宁到北京的直线距离为5.7厘米.南宁

到北京的实地距离为（）

A.5700千米B.3600千米C.2052千米D.2150千米

3.如图，O的内接四边形ABCZ）中,ZD=50°,则为()

A.140°B.130°C.120°D.100°

4.下列事件中,是必然事件的是（).

A.一名运动员跳高的最好成绩是20.1米B.通常加热到100℃时,水沸腾

C.一人买一张火车票，座位刚好靠窗口D.购买一张彩票，中奖

5.某种彩票的中奖机会是1%,下列说法正确的是【

A.买1张这种彩票一定不会中奖

B.买1张这种彩票一定会中奖

C.买100张这种彩票一定会中奖

D.当购买彩票的数量很大时，中奖的频率稳定在1%

6.小明掷一枚硬币，前5次都是正面朝上，掷第6次时正面朝上的概率是（）

A.1B-IC-ID.0

7.如图，R3ABC中，ZACB=90°,NBAC=30。，BC=2cm,绕AC所在直线旋转

一周，所形成的圆锥侧面积是（）

B.871cm2C.4jrcm2D.27TC1T12

)

A.两个三角形是位似图形B.点A是两个三角形的位似中心

C.AB：AC是相似比D.点8与点。、点C与点E是对应位

似点

9.已知：如图，在△408中，ZAOB=90°,AO=3cm,BO=4cm,将AAOB绕顶点

O,按顺时针方向旋转到AA/Oa处，此时线段08/与AB的交点。恰好为4B的中

点，则线段8/。的长度为（）

10.一次函数^=反+。（匕H0）与二次函数卜=以2+云+。（4H0）在同一平面直角坐标系

11.校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP

>PB）,如果AB的长度为lOc/n,那么AP的长度为（）an.

A.5/5-1B.25/5-2C.5A/5-5D.10V5-10

12.若]=]=:*（）,则下列各式正确的的是（）

cod「2x+2yz〃x+ly+lx+1z-2

A.2x=3y=4zB.---------=-C.——=--D.-------

52222-----2

13.对于任意实数m,下列函数一定是二次函数的是（）

A.y=（m-l）2x2B.y=（m+i）2x2

C.y={nr+l）x2D.y=（m2-l）x2

14.将函数y=2f的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线

是（）

A.y=2（x-1）2-3B.y=2（x-l/+3C.y=2（x+l）2-3

D.y=2（x+l）2+3

15.在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是（）

A.2xy+x2=1B.y2-ax+2=0

C.y+f-2=0D.X2-/+4=0

16.如图，AB是。。的直径.若NBAC=43。，那么/A8C的度数是（）

c

17.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元.旅行社对超过30人

的团给予优惠，即旅游团的人数每增加一人，每人的单价就降低10元，若这个旅行社

要获得最大营业额，则这个旅游团的人数是（）

A.55B.56C.57D.58

18.如图，抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A,C两点，与）’轴交于点8,点尸为抛

物线上一动点，过点P作PQ//48交y轴于Q,若点尸从点A出发，沿着直线A3上方

抛物线运动到点8,则点Q经过的路径长为（）

9

C.3D.-

2

19.对于二次函数y=-X2+4X,有下列四个结论：

①它的对称轴是直线x=2；

②设yi=-x/+4xi,y2=-X22+4X2.则当X2>XI时，有y2>yi；

③它的图象与x轴的两个交点是（0,0）和（4,0）；

④当0<x<4时，y>0.

其中正确的结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

20.把抛物线y=（x+l）2+3的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的

图象解析式是（）

A.y=（x-2/+1B.y=（x+2）2+lC.y=（x+4）2+lD.y=（x+4）2+5

二、填空题

21.如图，DE//FG//BC,AD-.DF.FB=2:3:4,如果EG=4,那么AC=

22.若扇形所在圆的半径用「表示，圆心角用〃。表示，圆心角所对的弧长/=9,那么

,关于〃的函数解析式为.（乃取近似值3）

23.一个扇形的弧长为4兀，半径长为4,则该扇形的面积为.

24.如图，矩形A5CD的对角线AC,BD交于点0,分别以点A,C为圆心，A。长

为半径画弧，分别交AD,BC于点E,F.若BD=4,ZCAB=50°,则图中阴影部分

的面积为.（结果保留万）

25.一个三角形三边长度之比为2：5：6,另一个与它相似的三角形最长边为24,则

三角形的最短边为.

26.如图，正方形ABC。中，点E是对角线8。上一点，且连接AE并延

长交CO于G,点尸是BC边上一点，且CF=2B凡连接AF、EF、FG.下列四个结

论：①OG=CG：②A尸=4G；③S4ABF=SAFCG；@AE^EF.其中正确的结论是

—.（写出所有正确结论的序号）

A1)

G

BFC

27.任意抛掷一枚质地均匀的正方体骰子2次，骰子的6个面上分别刻有1到6的点

数，记第一次掷得面朝上的点数为横坐标，第二次掷得面朝上的点数为纵坐标，这样

组成的点的坐标恰好在正比例函数y=x上的概率为.

28.如图，抛物线y=f_l的顶点为C,直线y=x+l与抛物线交于A,B两点.“是

抛物线上一点，过M作轴，垂足为G.如果以A,M,G为顶点的三角形与

相似，那么点M的坐标是.

29.在半径为13cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为24cm,另一条弦长为

10cm,则这两条弦之间的距离为cm.

30.如图，AB为。。的直径，BC为弦,若/A2C=30。，则弧AC的度数为.

31.如图，二次函数尸加+法+c的图像过点(TO),对称轴为直线x=l,给出以下

结论：①必cVO；②3a+c<0；③4”+。2<4℃；④若关于x的一元二次方程

加+fer+c=m(mN0)的解为整数，则胆的值有3个.其中正确的是.(填写

序号)

32.把抛物线y=-1必+1沿着x轴向左平移3个单位得到的抛物线关系式是

33.已知在△ABC中，ZABC=90°,AB=9,BC=12.点Q是线段AC上的一个动

点，过点Q作AC的垂线交射线AB于点P.当APQB为等腰三角形时，则AP的长

为.

34.已知一块圆心角为240。的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不

计)，圆锥的底面圆的半径是20cm,则这块扇形铁皮的半径是cm.

35.如图，正方形ABCD的边长为1cm,E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、

DE,则图中阴影部分的面积是cm?.

36.如图是二次函数产加+服+c图像的一部分.其对称轴为广-1,且过点

(-3,0).下列说法：(1)abc<0；(2)2a—。=0；(3)4a+2fe+c=0；(4)若(-5,

以)，%)是抛物线上两点，则%>必.其中说法正确的是(填序

号)

37.如图，在；ABC中，DEI/BC,且OE把.ABC分成面积相等的两部分.若

AD=4,则£)8的长为.

A

38.如图，己知正方形ABC。的边长为4.将正方形ABC。沿EF对折，使点。恰好

落在边AB的中点G处，点C的对应点为点”，延长EG交CB的延长线于P,连接对

角线B。，交折痕£尸于Q,则线段PQ的长为—.

39.如图，正方形OABC的顶点0是坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，04=3,

点。是8C边的中点，连接0。，点E在0C上且CE：0E=2：1,过点E作所〃0A

交。。于点G,交AB于点儿连接。儿过点G作凡垂足为“，若BC边上

有一点P与点H在同一反比例函数的图象上，则点P的坐标为

三、解答题

40.如图，AB是O的直径，弦（%＞垂直平分OB,交0B于点、E,CD=873.

c

(1)求BZ)的长.

(2)求劣弧AC的弧长.

41.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，ABC的顶点都在格点

(1)请画出绕点C按顺时针方向旋转90。后得到的；线段AC旋转到AC

的过程中，所扫过的图形的面积是.

(2)以点。为位似中心，位似比为2,将百G放大得到△为鸟G.

42.已知坐标平面内的三个点A(3,5),B(3,l),0(0,0),把二A8O向下平移3个单位

再向右平移2个单位后得一DEF.

F的坐标.

(2)画出将AO3绕。点逆时针方向旋转90。后得到的△AO8'

(3)求DE尸的面积.

43.计算题

(1)解方程：x(x-3)-4(3-x)=0；

(2)利用配方法求抛物线y=-x2+4x-3的对称轴和顶点坐标.

EF

44.如图，E、F、G、H分别在矩形ABCD上，EFXGH,若AB=2,BC=3,求丁

GH

值.

45.某小区要用篱笆围成一个四边形花坛.花坛的一边利用足够长的墙，另三边所用

的篱笆之和恰好为18米.围成的花坛是如图所示的四边形ABCZ),其中

ZABC=ABCD=9Q°,且8c=2A8.设AB边的长为x米，四边形ABC。面积为S平方

米.

(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围);

(2)当x是多少时，四边形ABCQ面积S最大？最大面积是多少？

［参考公式：当x=-3时，二次函数丫=加+云+&4=0)有最大(小)值4℃一次］

46.如图，在四边形A8CD中，AD//BC,ABLBC,NBCD=45。，将CD绕点。逆时

针旋转90。至EZ),延长AO交EC于点F.

(1)求证：四边形A8C尸是矩形；

⑵若AQ=2,BC=3,求AE的长.

47.如图正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,只用无刻度的直尺，在给定的

网格中按要求画图.

A

图①图②

(1)在图①中画等腰△ABC,使得NC4B=90。；

(2)在图②中画等腰ADEF,使△ABCSADEF,且相似比为0：1.

48.如图，已知抛物线)=奴2+^*+4的对称轴是直线x=3,且与x轴相交于A,B

两点(B点在A点右侧)与y轴交于C点.

(1)求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；

(2)若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B、C重合)，则是否存在

一点P,使aPBC的面积最大.若存在，请求出^PBC的最大面积；若不存在，试说

明理由；

(3)若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N,当

MN=3时，求M点的坐标.

49.问题探究:

图1图2图3

(1)如图1,已知等腰4BC的顶角NA=120，AB=2,则ABC外接圆半径的长为

(2)如图2,已知:中，BC=6,ZBAC=60°,D为边BC的中点，求AO长的最

大值.

问题解决：

(3)如图3,四边形A88是一个规划中的果园，四条边是果园的围墙，其中墙体

8C紧挨公路，BC=6km,点F是大门的位置且。尸=28/，规划墙体A8、CD与BC

的夹角均为60。，即加。=卬%=60。，且45+8=3。，AC和8。是果园内的两条

小路，在AC与的交点E处建一个凉亭，要使凉亭E到大门F的距离最小，试求

EF取最小值时墙体AB的长.

参考答案：

1.C

【分析】直接根据二次函数的对称轴工=-二，将。力依次代入计算即可求出.

2a

【详解】解：对称轴为直线：x=-二,

2a

其中，a=3,b=0,

•*.x=0,

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称轴直线*=-二是关键.

2a

2.C

【分析】根据比例尺就是图上距离与实地距离之比即可得出结论

【详解】解：比例尺为1：36000000,南宁到北京的直线距离为5.7厘米.

南宁到北京的实地距离为：36000000x5.7-205200000厘米=2052千米

故选：C

【点睛】本题主要考查比例尺的计算，熟练掌握定义和单位换算是解题的关键.

3.B

【分析】直接利用圆内接四边形的性质求解.

【详解】解：•••四边形ABC。为，。的内接四边形，

，ZB+ZD=180°,

,/ND=50。，

ZS=180°-ZD=180°-50°=130°.

故选：B.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质.掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.

4.B

【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确

定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在

一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生

也可能不发生的事件称为随机事件.

【详解】A.一名运动员跳高的最好成绩是20.1米，是随机事件，不符合题意，

B.通常加热到100℃时，水沸腾，是必然事件，符合题意，

答案第1页，共36页

C.一人买一张火车票，座位刚好靠窗口，是随机事件，不符合题意，

D.购买一张彩票，中奖，是随机事件，不符合题意，

故选B

【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键.

5.D

【详解】解：A、因为中奖机会是1%,就是说中奖的概率是1%,机会较小，但也有可能

发生，故本选项错误；

B、买1张这种彩票中奖的概率是1%,即买1张这种彩票会中奖的机会很小，故本选项错

误；

C、买100张这种彩票不一定会中奖，故本选项错误；

D、当购买彩票的数量很大时，中奖的频率稳定在1%,故本选项正确，

故选D.

6.C

【分析】根据概率的意义，概率公式，进行计算即可解答.

【详解】解：小明掷一枚硬币，前5次都是正面朝上，掷第6次时正面朝上的概率是十，

故选：C.

【点睛】本题考查了概率的意义，概率公式，解题的关键是熟练掌握这些数学概念.

7.B

【分析】先在中，利用直角三角形的性质求出AB的长，再根据圆锥侧面积公式

求解即可.

【详解】ZACB=90°,ABAC=30°,BC=2

：.AB=2BC=4

根据圆锥侧面积公式得/=万］。A3=8万（cM）

故选：B.

【点睛】本题考查了直角三角形的性质（直角三角形中，30。所对直角边等于斜边的一

半）、圆锥侧面积公式（5博=乃”，，-为底面半径，/为圆锥母线），熟记性质和公式是解题

关键.

8.C

【分析】根据平行线截得的两个三角形相似证明判断即可.

答案第2页，共36页

【详解】解：•..勿//ED,

：.XABCsMADE,

.ABAC

・・---=---,

ADAE

...两个三角形是位似图形，点4是两个三角形的位似中心点B与点。、点C与点E是对应

位似点，

故选：C.

【点睛】此题考查了相似三角形的判定及性质，位似图形的判定及性质，正确掌握相似三

角形的判定是解题的关键.

9.D

【分析】先在直角△408中利用勾股定理求出AB=5c,〃，再利用直角三角形斜边上的中线

等于斜边的一半得出0力=；48=2.5即.然后根据旋转的性质得到。B/=O3=4c，w,那么

BiD=OBi-0D=\.5cm.

【详解】：在AA0B中，ZAOB=90°,A0^3cm,B0=4cm,

，AB=y/o^+OB2=5cm,

♦.•点。为AB的中点，

/.0D——AB=2.5cm.

2

:将△AOB绕顶点O,按顺时针方向旋转到△A/OB/处，

0Bi=0B=4cm,

：.BID=OBI-0D=\.5cm.

故选：D.

【点睛】本题主要考查勾股定理和直角三角形的性质以及图形旋转的性质，掌握“直角三角

形斜边上的中线等于斜边的一半''是解题的关键.

10.C

【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与），轴的关系即可得出

4、人的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结

论.

【详解】A、•.•二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，

h<0,

答案第3页，共36页

...一次函数图象应该过第二、三、四象限，A不可能;

8、；二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，

：.a>0,b<0,

，一次函数图象应该过第一、三、四象限，8不可能；

C、•.•二次函数图象开口向下，对称轴在），轴左侧，

：.a<0,b<0,

，一次函数图象应该过第二、三、四象限，C可能；

。、：二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，

：.a<0,b<0,

•••一次函数图象应该过第二、三、四象限，。不可能.

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据

b的正负确定一次函数图象经过的象限.

11.C

【分析】利用黄金分割的比值关系进行运算即可.

【详解】解：由黄金分割可得：

APBP

益—而

.AP10-AP

.而一AP

整理得：A尸+10AP-100=0

解得：A片=5后一5,46=-5石-5（舍去）

故答案为：C

【点睛】本题主要考查了黄金分割的比值关系，熟悉掌握比值关系建立式子是解题的关

键.

12.B

【分析】直接利用比例的性质结合已知分别判断得出答案.

【详解】解：：方《;尹。

・••设x=2a,y=3a,z=4a,

A2x^3y/4z,

答案第4页，共36页

故A选项错误；

2x+2y6a+4a4az

--------J=--------=2a=—=——

5522

故B选项正确；

x+l_2a+l3a+l_y+1

故c选项错误；

二不确定a+g是否等于2a—1,

故D选项错误；

故选：B.

【点睛】此题考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键.

13.C

【详解】试题分析：A、当加=1时，（机—1）2=0,函数y=（m-1）2/不是二次函数；

B、当m=~~l时，（m+1）2=0,函数y=（wz+1）2/不是二次函数；

C、无论/"取何值，，泳+1押，所以函数＞=（加+1）田2一定是二次函数；

D、当"?=1或一1时，m2—1=0,函数y=（相2—I）/不是二次函数.

故选C.

点睛：判断函数是否是二次函数，首先是耍看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化筒

的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关

键条件.

14.B

【分析】根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减即可解答.

【详解】解：将函数y=2一的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位,

得到的抛物线是y=2（x-l）?+3,

故选：B.

【点睛】本题考查图象的平移，熟练掌握图象的平移规律是解答的关键.

15.C

答案第5页，共36页

【分析】根据二次函数的定义对四个选项进行逐一分析即可，即一般地，形如）=OX2+6X+C

（“、b、c是常数，存0）的函数，叫做二次函数.

【详解】解：A.2町r2=1当;#0时，可化为产U的形式，不符合二次函数的一般形

2x

式，故本选项错误；

B.V-ax+2=0可化为产=以-2不符合二次函数的一般形式，故本选项错误；

C.y+N-2=0可化为）=犬2+2,符合二次函数的一般形式，故本选项正确；

D./-产+4=0可化为产=必+4的形式，不符合二次函数的一般形式，故本选项错误.

故选C.

【点睛】本题考查的是二此函数的一般形式，即一般地，形如y=a/+云+c（〃、从。是常

数，存0）的函数，叫做二次函数.其中x、y是变量，a、b、c是常量，”是二次项系数，

b是一次项系数，c是常数项.y^ax2+bx+c（a,b、c是常数，原0）也叫做二次函数的一般

形式.

16.B

【分析】根据圆周角定理得/ACB=90。，再根据三角形的内角和定理解答即可.

【详解】解：YAB是。。的直径，

二ZACB=90°,

'：ZBAC=43°,

：.ZABC=180°-ZACB-ZBAC=180o-90°-43o=47°,

故选：B.

【点睛】本题考查圆周角定理、三角形的内角和定理，熟知直径所对的圆周角是90。是解

答的关键.

17.A

【分析】直接根据题意表示营业额，进而利用配方法求解.

【详解】解：设一个旅行团的人数是x人，营业额为y元，根据题意得，

^^x[800-10（x-30）]

=-10x2+1100x

=-10（x2-110x）

=-10（A-55）2+30250

答案第6页，共36页

即当一个旅行团的人数是55人时，这个旅行团可以获得最大的营业额,

故选：A.

【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握相关知识是解题关键.

18.D

【分析】分别求出A,B的坐标，运用待定系数法求出直线AB,PQ的解析式，再求出它

们与y轴的交点坐标即可解决问题.

【详解】解：对于y=-/-2x+3,

令尸0,则）=3,

B（0,3）

令）=0,贝1」一/一2工+3=0

X

解得，>=-3,X2=1

•.•点4在点C的左侧，

（-3,0）

设AB所在直线解析式为y=收+。，

把A,B点坐标代入得La,解得:2

[h=3[b=3

所以，直线A3的解析式为：y=x+3,

,JPQIIAB

二设PQ的解析式为：y-x+a

•••点。经过的路径长是直线PQ经过抛物线的切点与），轴的交点和点B的距离的2倍，

•••方程-x2-2x+3=x+a有两个相等的实数根，

A=9-4（a-3）=0

21

解得，«=v

4

01

•••点。的坐标为（0，?）

当点P与点A重合时，点。与点8重合，此时点。的坐标为（0,3）

点Q经过的路径长为2x（曰-3）=|

故选：D.

答案第7页，共36页

y

【点睛】本题考查的是抛物线与X轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学

生非常熟悉函数与坐标轴的交点的求法.

19.C

【详解】试题分析：利用配方法求出二次函数对称轴，再求出图象与x轴交点坐标，进而

结合二次函数性质得出答案.

解：y=-x2+4x=-(x-2)2+4,故①它的对称轴是直线x=2,正确；

②•.,直线x=2两旁部分增减性不一样，.,.设yi=-xp+4xi,y2=-X22+4x2,则当X2>xi时，

有y2>yi或y2<yi,错误；

③当y=0,贝!Ix(-x+4)=0,解得：xi=0,X2M,

故它的图象与x轴的两个交点是(0,0)和(4,0),正确；

@Va=-1<0,

抛物线开口向下，

•••它的图象与x轴的两个交点是(0,0)和(4,0),

.,.当0<x<4时，y>0,正确.

故选C.

考点：二次函数的性质.

20.A

【分析】直接利用二次函数的平移规律，即左加又减，上加下减进而得出答案.

【详解】解：把抛物线丫=(x+1)2+3的图象先向右平移3个单位，得到：y=(x-2)2+3再

向下平移2个单位，

所得的图象解析式是：y=(x-2)2+1.

故选A.

答案第8页，共36页

【点睛】此题主要考查了二次函数的几何变换，正确掌握平移规律是解题关键.

21.12

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，分别求出AE、GC的长，计算即可.

【详解】；DE〃FG〃BC,

AAE：EG：GC=AD：DF：FB=2：3：4,

VEG=4,

AE=-,GC=—,

33

AC=AE+EG+GC=\2.

故答案为：12.

【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的

关键.

22.r=

n

【分析】根据半径，圆心角利用弧长公式进行分析列出「关于”的函数解析式即可.

【详解】解：由弧长公式/=篙jiTrr，又勿取近似值3,可得9=焉3nr对其进行变形即有

180180

540z小

r=---（〃工0）.

【点睛】本题考查利用弧长公式求函数解析式，熟练掌握弧长公式/=黑v\7■rr是解题关键，

180

注意n的取值范围.

23.8兀

【分析】利用扇形的面积公式S=g/r,可求扇形的面积.

【详解】•；1=4兀,r=4,

，根据扇形的面积公式可得S=g/r=，4兀・4=8兀

故答案为8兀

【点睛】考查扇形的面积，掌握扇形的面积公式S=g方是解题的关键.

〜88万

24.—7T##—

99

【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形AEO和扇形CA9的面积之和，求出圆心角即

可计算.

【详解】解：四边形A88是矩形,

答案第9页，共36页

/.AC=BD=4,OA=OC=OB=OD,AB//CD.

\OA=OC=2rZACD=ZCAB=50°f

ZCAD=ZACB=40°f

••♦图中阴影部分的面积为：2*竺萨=］乃，

O

故答案为：■

【点睛】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形

结合的思想解答.

25.8

【分析】首先设与它相似的三角形的最短边的长为x,然后根据相似三角形的对应边成比

例，即可得方程，解此方程即可求得答案.

【详解】解：设与它相似的三角形的最短边的长为x,则

2x

6-24)

x=8；

二三角形的最短边为8.

故答案为：8.

【点睛】此题考查了相似三角形的性质.此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成

比例定理的应用.

26.①③④

【分析】由正方形的性质证明DEGSBE4,再利用相似三角形的性质可判断①；如图，设

BF=m,而CF=2BF,则CF=2〃?，AB=AD=3m,DG=CG=^m,再利用勾股定理计算可判

断②；过点E作AB的平行线，交A。于M,交BC于N,利用矩形与相似三角形的性质求

解4M=2，〃，DM=m,NC=m,则BN=BC-NC=2m,FN=BN-BF=m,ME=m,EN=2m,再利

用勾股定理计算可判断④；再利用三角形的面积公式进行计算可判断③，从而可得答案.

【详解】解：正方形A8C2

AB//CD,AB=CD,

DEGs.BEA,而BE=2DE,

DGDEIEG

答案第10页，共36页

DG=^AB=^CD,

：.DG=CG,故①正确；

如图，设B尸=根，而CF=2BF,

则CF-2m,AB=AD=3mfDG=CG=彳m,

在对△ABF中，AF7AB?+BF?=Mm,

而AG=y/AD2+DG2=述机，

2

：.AF^AG,故②错误；

过点E作A2的平行线，交AO于M,交BC于N,可得四边形MNCD是矩形,

△AME^/XADG,

AMAE2

-----=——=-,

ADAG3

'：AD=3m,

：.AM=2m,DM=m,NC=m,则BN=BC-NC=2m,FN=BN-BF=m,

■:MD//BN,

AMDESNBE,且相似比g,

ME=m,EN=2m,

在RtAEFN中，EF=-JEN2+FN2=#m,

在RmAME中，AE=y/AM2+AE2=亚m,

.AE=EF,故④正确;

S22

。ABF=—AB»BF=—x3fnx/n=-m,SKG=-FC-CG=-x2m.~m=-m,

222,KC2222

=

SABFSFCG,故③正确;

综上：正确的有：①③④

答案第II页，共36页

故答案为：①③④

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，正方形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形

的判定与性质，熟练的应用相似三角形的性质解决问题是关键.

【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与点（X,y）恰好在

直线y=x上的情况，再利用概率公式求得答案.

【详解】解：列表得:

123456

(1,

1(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)

1)

(1,

2(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)

2)

(1,

3(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)

3)

(1,

4(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)

4)

(1,

5(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)

5)

(1,

6(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)

6)

•.•共有36种等可能的结果，点（x,y）恰好在直线）上的有6种等可能结果，

•••这样组成的点的坐标恰好在正比例函数），=x上的概率为三=工，

366

故答案为3.

【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图法与列表法可以不重复不

遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以

答案第12页，共36页

上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比.

28.(4,15),(一2,3),件g).

【分析】根据抛物线的解析式，易求得A(-1,0),D(1,0),C(0,-1)；则△AC。

是等腰直角三角形，由于可知NBAC=90。；根据。、C的坐标，用待定系数法

可求出直线0c的解析式，而AB〃DC,则直线AB与。C的斜率相同，再加上A点的坐

标，即可求出直线A8的解析式，联立直线A8和抛物线的解析式，可求出B点的坐标，即

可得出AB、AC的长.在RtAABC和RSAMG中，已知了/54C=NAGM=90。，若两三

角形相似，则直角边对应成比例，据此可求出M点的坐标.

【详解】易知：A(-l,0),D(l,0),C(0,-1)；

则0A=O£)=OC=1,

△AOC是等腰直角三角形，

AZACD=90°,AC=yfi；

又//DC,

：.ZBAC=90°；

易知直线BD的解析式为y=xT,

由于直线AB〃OC,可设直线48的解析式为)，=x+b,由于直线AB过点A(T,0)；

则直线AB的解析式为：y=x+l,

y=x+\

联立抛物线的解析式:

y=x2-]

(x=2x=-l

解得.

[y=3y=0

故BQ,3)；

.♦.AP=J(2+1)，3?=3近；

RSBAC和RIAAMG中，/4GM=/¥C=90°,且BA：AC=3y/2：&=3：1；

若以A.M、G三点为顶点的三角形与△8C4相似，则AG：MG=1：3或3：1；

设M点坐标为(加，加2一1),(加〈-1或加＞1)

则有：MG=m2,AG=\m+\\；

①当AM：MG=1：3时，m2-\=3\m+\\,m2-l=±(3m+3)；

当〃?2-1=3机+3时，加2-3加-4=0,解得〃2=1(舍去)，加=4：

答案第13页，共36页

当川2-1=一3”一3时，tn2+3/H+2=0,解得机=一1(舍去)，加=-2；

・・・Mi(4,15),A/2(-2,3)；

②当AM：MG=3：1时，3(m2-1)=依+1|,3〃?2-3=±(m+1)；

4

当3m2-3=帆+1时，3机2-4=0,解得机=一1(舍去)，加=§；

2

当3m2-3=一机-1时，3机2+机-2=0,解得机=-1(舍去)，加=§(舍去)；

47

，加3(§,—).

47

故符合条件的“点坐标为：(4,15),(-2,3),(-,-).

47

故答案为：(4,15),(-2,3),(§,-).

【点睛】本题考查了二次函数，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质与应用.

29.7或17

【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦48和CD在圆心异侧;

作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可.

【详解】解：①当弦A3和8在圆心同侧时，如图，

/.AE-12cm,CF=5cm,

VOA=OC=13cm,

/.EO=5cm,OF=12cm,

：.EF=OF-OE=lc^

②当弦AB和CO在圆心异侧时，如图,

/.AF=12cm,C£=5cm,

答案第14页，共36页

04=。。=13cm,

EO=\2cm,0F=5cm,

：.EF=0F+0E=}7cm.

故答案为：7或17.

【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的

问题再进行计算.

30.60°

【详解】试题解析：连接OC,如图，

:.NAOC=2NABC=60。

...弧AC的度数为60°.

31.①④##④①

【分析】①由抛物线的开口方向判断。与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断C与。的关

系，然后根据对称轴在y轴右侧，可判断出人与o的关系，进而判断①.②由抛物线与x

轴交点情况进行推理抛物线过点（3,0）,再利用对称轴，进而对所得结论进行判断.③由

b=-2a,c=-3a,利用逆向思维进行判断③.④根据抛物线与x轴的交点、对称轴建立等

式；再把x的一元二次方程（〃后0）的解看成两个图像交点的横坐标的值，

进而得到答案.

【详解】解：；抛物线开口向下，

a<0,♦.•抛物线与y轴正半轴相交，

cX）,对称轴在y轴右侧,

二。力异号，

：.abc<0,故①正确，符合题意；

②由对称轴可知：-二=1，

2a

答案第15页，共36页

b=-2a,

•・•抛物线过点(3,0),

・•・9a+劝+。=0,

/.9a-6a+c=0,

・・・3〃+c=0,故②错误，不符合题意；

③由②得：。=-2々,3〃+。=0,

；・c=-3a,

若4a+b2<4ac成立，则4a+(-<-12a2,

则16a2+4〃V0,即4a2+a<0,

由二次函数卬=4/+。<0,可得：

4

与题干条件互相矛盾，故③错误，不符合题意；

b=-2a,c=-3a.

y=ax2-2ar-3a=tz(x-l)'-4a(a<0),

••・顶点坐标为(1,T。)，

由图像得当04y4-4。时，-l<x<3,

其中x为整数时，x=-l,0,l,2,3,

又；x=0与x=2关于直线x=l轴对称；当x=-I与x=3时，机=0；

当x=l时，直线'=小恰好过抛物线顶点，此时方程有整数解.

•••加值有3个.故④正确，符合题意；

故答案为：①④.

【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图像与性质

判断代数式得到符合，确定相应方程的解.

1,

32._y=——(x+3)~+1

【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式，写出抛物线解析式，即可.

【详解】由题意知：抛物线y=-gf+i的顶点坐标是(0,1).

•••抛物线向左平移3个单位

二顶点坐标变为(-3,I).

答案第16页，共36页

•••得到的抛物线关系式是y=-；(x+3)2+1.

故答案为y=_；(x+3)2+1.

【点睛】本题主要考查了二次函数图像与几何变换，正确掌握二次函数图像与几何变换是

解题的关键.

33.5或18

【分析】当4PQB为等腰三角形时，有两种情况：①当点P在线段AB上时，如题图1

所示.由△AQPsaABC即可计算AP的长；②当点P在线段AB的延长线上时，如题图

2所示，利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP.

【详解】VZA+ZAPQ=90°,ZA+ZC=90°,

.,.ZAPQ=ZC.

■:/A=/A,

.,.△APQ^AACB,

在RSABC中，AB=9,BC=12,由勾股定理得：AC=15,

①当点P在线段AB上时，如题图1所示，

VZBPQ为钝角，

二当aPQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ.

VAAPQ^AACB,

嚏巡即甯

—,解得：PB=4,

.\AP=AB-PB=9-4=5；

②当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示,

•••NQBP为钝角，

，当APQB为等腰三角形时，只可能是BP=BQ,

.••ZBQP=ZP,

VZBQP+ZAQB=90°,ZA+ZP=90°,

；./AQB=NA,

；.BQ=AB,

AB=BP,点B为线段AB中点,

；.AP=2AB=2x9=18.

综上所述，当APQB为等腰三角形时，AP的长为5或18.

答案第17页，共36页

故答案是：5或18.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及勾股定理，掌握

相似三角形的判定和性质定理，画出图形，分两种情况讨论并计算，是解题的关键.

34.30

【分析】这块扇形铁皮的半径为Rem,利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长

等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2"'20=黑?£,