三省三校2024届高二数学第二学期期末学业质量监测试题含解析

三省三校2024届高二数学第二学期期末学业质量监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．有，，，四种不同颜色的花要（全部）栽种在并列成一排的五个区域中，相邻的两个区域栽种花的颜色不同，且第一个区域栽种的是颜色的花，则不同栽种方法种数为（）A．24 B．36 C．42 D．902．集合，则（）A． B． C． D．3．从装有除颜色外完全相同的个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取次，设摸得黑球的个数为，已知，则等于（）A． B． C． D．4．2017年1月我市某校高三年级1600名学生参加了全市高三期末联考，已知数学考试成绩（试卷满分150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为A．120 B．160 C．200 D．2405．已知定义在上的函数的图象关于对称，且当时，单调递增，若，则的大小关系是A． B． C． D．6．已知命题p：∀x∈R，2x>0；q：∃x0∈R，x＋x0＝－1．则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(┐p)∧(┐q) C．(┐p)∧q D．p∧(┐q)7．某村庄对改村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示：每年体检每年未体检合计老年人7年轻人6合计50已知抽取的老年人、年轻人各25名.则完成上面的列联表数据错误的是()A． B． C． D．8．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（）2017201620152014……654321403340314029…………11975380648060………………201612816124……362820………A． B．C． D．9．已知定义在R上的增函数f(x)，满足f(－x)＋f(x)＝0，x1，x2，x3∈R，且x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值()A．一定大于0 B．一定小于0C．等于0 D．正负都有可能10．用反证法证明命题“若，则方程至少有一个实根”时，应假设（）A．方程没有实根B．方程至多有一个实根C．方程至多有两个实根D．方程恰好有两个实根11．使得的展开式中含有常数项的最小的n为()A． B． C． D．12．设fx=sinxcosA．12 B．32 C．-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．直线为曲线，的一条切线，若直线与抛物线相切于点，且，，则的值为________.14．计算的结果为______.15．若一组数据x1，x2，x3，…，xn的总体方差为3，则另一组数据2x1，2x2，2x3，…，2xn的总体方差为_____．16．若(x-ax2)6三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数讨论函数的单调性；当时，求函数在区间上的零点个数.18．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)把的参数方程化为极坐标方程：(2)求与交点的极坐标.19．（12分）如图，在中，，点在线段上.过点作交于点，将沿折起到的位置（点与重合），使得.（Ⅰ）求证：.（Ⅱ）试问：当点在线段上移动时，二面角的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由.20．（12分）2018年6月14日，国际足联世界杯足球赛在俄罗斯举行了第21届赛事.虽然中国队一如既往地成为了看客，但中国球迷和参赛的32支队伍所在国球迷一样，对本届球赛热情似火，在6月14日开幕式的第二天，我校足球社团从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：收看没收看男生6020女生2020（1）根据上表说明，能否有99%的把握认为，是否收看开幕式与性别有关?（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取12人参加志愿者宣传活动.（i）问男、女学生各选取了多少人？（ⅱ）若从这12人中随机选取3人到校广播站开展足球项目的宣传介绍，设选取的3人中女生人数为X，写出X的分布列，并求.附：，其中.0.100.050.0250.010.0052.7063.8415.0246.6357.87921．（12分）如图，在中，，D是AE的中点，C是线段BE上的一点，且，，将沿AB折起使得二面角是直二面角．（l）求证：CD平面PAB；（2）求直线PE与平面PCD所成角的正切值．22．（10分）设函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）当时，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】分析：可以直接利用树状图分析解答.详解：这一种有12种，类似AC,各有12种，共36种，故答案为：B.点睛：(1)本题主要考查排列组合，考查计数原理，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题可以利用排列组合解答，分类讨论比较复杂.也可以利用树状图解答，比较直观.2、B【解题分析】,，故选B.3、C【解题分析】

根据二项分布的数学期望计算，即可得出答案。【题目详解】根据题意可得出，即所以故选C【题目点拨】本题考查二项分布，属于基础题。4、C【解题分析】结合正态分布图象的性质可得：此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为.选C.5、D【解题分析】分析：由题意可得函数为偶函数，再根据函数的单调性，以及指数函数和对数函数的性质比较即可得到结果详解：定义在上的函数的图象关于对称，函数的图象关于轴对称即函数为偶函数，，当时，单调递增故选点睛：本题利用函数的奇偶性和单调性判断函数值的大小，根据单调性的概念，只要判定输入值的大小即可判断函数值的大小。6、D【解题分析】分析：分别判断p，q的真假即可.详解：指数函数的值域为(0，＋∞)，对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；x2＋x＋1＝2＋>0恒成立,不存在x0∈R，使x＋x0＝－1成立，故q为假命题，则p∧q，┐p为假命题，┐q为真命题，┐p∧┐q，┐p∧q为假命题，p∧┐q为真命题．故选：D.点睛：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了指数函数的性质与二次函数方面的知识.7、D【解题分析】分析：先根据列联表列方程组，解得a,b,c,d,e,f,再判断真假.详解：因为，所以选D.点睛：本题考查列联表有关概念，考查基本求解能力.8、B【解题分析】

数表的每一行都是等差数列，从右到左，第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M，由此可得结论．【题目详解】由题意，数表的每一行都是等差数列，从右到左，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，故从右到左第1行的第一个数为：2×2﹣1，从右到左第2行的第一个数为：3×20，从右到左第3行的第一个数为：4×21，…从右到左第n行的第一个数为：（n+1）×2n﹣2，第2017行只有M，则M=（1+2017）•22015=2018×22015故答案为：B．【题目点拨】本题主要考查归纳与推理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.9、A【解题分析】因为f(x)在R上的单调增,所以由x2＋x1>0，得x2>-x1,所以同理得即f(x1)＋f(x2)＋f(x3)>0,选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行10、A【解题分析】分析：直接利用命题的否定写出假设即可,至少的反面是一个都没有。详解：用反证法证明命题“若，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是方程没有实根．故选：A．点晴：本题主要考察反证法，注意反证法证明问题时，反设实际是命题的否定11、B【解题分析】二项式展开式的通项公式为，若展开式中有常数项，则，解得，当r取2时，n的最小值为5，故选B【考点定位】本题考查二项式定理的应用．12、A【解题分析】

曲线在点π6,fπ【题目详解】∵f∴f【题目点拨】本题考查函数求导及导数的几何意义，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】

分别根据两曲线设出切线方程，消去其中一个变量，转换为函数零点问题【题目详解】设切线与曲线的切点为，则切线的方程为又直线是抛物线的切线，故切线的方程为且，消去得，即，设，则令，则，在上递增，此时，上无零点；在上递减，可得，时，有解，即时符合题意，故【题目点拨】本题考察利用导数研究函数的单调性，利用导数求切线方程及零点存在性定理的应用。需注意直线是两条曲线的共切线，但非公共点。14、【解题分析】

利用指数运算、对数运算的性质即可得出．【题目详解】原式

．

故答案为：．【题目点拨】本题考查了指数运算性质，对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15、12【解题分析】

先设这组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则另一组数据的平均数为，再根据已知方差以及方差公式可得答案.【题目详解】设这组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则另一组数据2x1，2x2，2x3，…，2xn的平均数为，依题意可得，所以所求方差.故答案为：.【题目点拨】本题考查了利用方差公式求一组数据的方差，关键是根据两组数据的平均数的关系解决，属于基础题.16、4【解题分析】试题分析：(x-ax2考点：二项式定理.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析；(2)见解析【解题分析】

（1）先对函数求导，分别讨论，，即可得出结果；（2）先由（1）得时，函数的最大值，分别讨论，，，即可结合题中条件求出结果.【题目详解】解：（1），，当时，，当时，，当时，；当时，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）得，当，即时，函数在内有无零点；当，即时，函数在内有唯一零点，又，所以函数在内有一个零点；当，即时，由于，，，若，即时，，由函数单调性知使得，使得,故此时函数在内有两个零点；若，即时，，且，，由函数的单调性可知在内有唯一的零点，在内没有零点，从而在内只有一个零点综上所述，当时，函数在内有无零点；当时，函数在内有一个零点；当时，函数在内有两个零点．【题目点拨】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性、最值等，属于常考题型.18、（1）（2）与交点的极坐标为，和【解题分析】

（1）先把曲线化成直角坐标方程，再化简成极坐标方程；（2）联立曲线和曲线的方程解得即可.【题目详解】(1)曲线的直角坐标方程为：，即.的参数方程化为极坐标方程为；(2)联立可得：，与交点的极坐标为，和.【题目点拨】本题考查了参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的互化，也考查了极坐标方程的联立，属于基础题.19、(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)答案见解析.【解题分析】分析：（1）由已知条件，结合线面垂直的判定定理和性质定理，即可得到.（2）过点作，则，，两两垂直，以B为坐标原点，以，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.设，应用空间向量，分别求得两平面的法向量，计算两平面法向量夹角，证明点在线段上移动时，二面角的平面角的余弦值为定值，且定值为.详解：证明：（Ⅰ）在中，因为，所以，所以，，又因为，平面，所以平面.又因为平面，所以.（Ⅱ）在平面内，过点作于点，由（Ⅰ）知平面，所以，又因为，平面，所以平面.在平面内过点作直线，则平面.如图所示，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.设，又因为，所以，.在中，，所以，，所以，所以，，.从而，.设是平面的一个法向量，所以，即，所以，取，得是平面的一个法向量.又平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，则.因此当点在线段上移动时，二面角的平面角的余弦值为定值，且定值为.点睛：点睛：用空间向量求二面角问题的解题步骤：右手定则建立空间直角坐标系，写出关键点坐标设两平面的法向量，两法向量夹角为，求法向量及两向量夹角的余弦；当两法向量的方向都向里或向外时，则二面角；当两法向量的方向一个向里一个向外时，二面角为.20、（1）有（2）（i）男生有9人，女生有3人.（ⅱ）见解析，【解题分析】

（1）套用公式，算出的值与6.635比较大小，即可得到本题答案；（2）（i）由男女的比例为3：1，即可得到本题答案；（ii）根据超几何分布以及离散型随机变量的均值公式，即可得到本题答案.【题目详解】（1）因为，所以有99%的把握认为，是否收看开幕式与性别有关.（2）（ⅰ）根据分层抽样方法得，男生人，女生人，所以选取的12人中，男生有9人，女生有3