2024届东北三省四市数学高二第二学期期末调研模拟试题含解析

2024届东北三省四市数学高二第二学期期末调研模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知随机变量Xi满足P(Xi=1)=pA．E(X1B．E(X1C．E(X1D．E(X12．若直线（t为参数）与直线垂直，则常数k=（）A． B．6 C．6 D．3．已知函数f(x)=2x3+ax+a.过点M(-1,0)引曲线C:y=f(x)的两条切线，这两条切线与y轴分别交于A，B两点，若|MA|=|MB|，则f(x)A．-324 B．-34．已知椭圆，点在椭圆上且在第四象限，为左顶点，为上顶点，交轴于点，交轴于点，则面积的最大值为()A． B． C． D．5．下列命题中正确的个数是（）①命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则②“a≠0”是“a2③若p∧q为假命题，则p，q为假命题;④若命题p:∃x0∈R,x0A．1 B．3 C．2 D．46．已知曲线：，：，则下面结论正确的是（）A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线7．若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值（）．A．至多等于4 B．至多等于5 C．至多等于6 D．至多等于88．函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．39．如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则（）A．4 B．3 C． D．10．不相等的三个正数a、b、c成等差数列，并且x是a、b的等比中项，y是b、c的等比中项，则x2、b2、y2三数()A．成等比数列而非等差数列B．成等差数列而非等比数列C．既成等差数列又成等比数列D．既非等差数列又非等比数列11．已知两个正态分布密度函数的图象如图所示，则（）A． B．C． D．12．已知定义在上的可导函数的导函数为，对任意实数均有成立，且是奇函数，不等式的解集是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知集合,则_____.14．已知椭圆，双曲线.若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆与双曲线的离心率之积为__________．15．已知，则__________________．16．10件产品中有2件次品，从中随机抽取3件，则恰有1件次品的概率是____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，其中，.（1）若，，求的值；（2）若，，求的最大值；（3）若，求证：.18．（12分）如图，已知四棱锥的底面ABCD为正方形，平面ABCD，E、F分别是BC，PC的中点，，．（1）求证：平面；（2）求二面角的大小．19．（12分）已知函数，.（Ⅰ）若，求的极值；（Ⅱ）求函数的单调区间.20．（12分）已知等比数列的各项均为正数，且，，数列的前项和为.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的前项和．21．（12分）已知数列满足，（1）求，并猜想的通项公式；（2）用数学归纳法证明(1)中所得的猜想．22．（10分）已知复数.（1）若是纯虚数，求；（2）若，求.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

根据题目已知条件写出X1,【题目详解】依题意可知：X01P1-pX01P1-p由于12<p1<p2<1，不妨设【题目点拨】本小题主要考查随机变量分布列期望和方差的计算，考查分析与阅读理解能力，属于中档题.2、B【解题分析】

由参数方程直接求出斜率，表示出另一直线的斜率，利用垂直的直线斜率互为负倒数即可求出参数k.【题目详解】由参数方程可求得直线斜率为：，另一直线斜率为：，由直线垂直可得：，解得：.故选B.【题目点拨】本题考查参数方程求斜率与直线的位置关系，垂直问题一般有两个方法：一是利用斜率相乘为-1，另一种是利用向量相乘得0.3、A【解题分析】

设切点的横坐标为t，利用切点与点M连线的斜率等于曲线C在切点处切线的斜率，利用导数建立有关t的方程，得出t的值，再由MA=MB得出两切线的斜率之和为零，于此得出a的值，再利用导数求出函数【题目详解】设切点坐标为(t,2t3+at+a)，∵y'=6解得t=0或t=-32.∵|MA|=|MB|，∴y'则a=-274，f'(x)=6x2-274.当x<-324或x>【题目点拨】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的极值点，在处理过点作函数的切线时，一般要设切点坐标，利用切线与点连线的斜率等于切线的斜率，考查计算能力，属于中等题。4、C【解题分析】

若设，其中，则，求出直线，的方程，从而可得，两点的坐标，表示的面积，设出点处的切线方程，与椭圆方程联立成方程组，消元后判别式等于零，求出点的坐标可得答案.【题目详解】解：由题意得，设，其中，则，所以直线为，直线为，可得，所以，所以，设处的切线方程为由，得，，解得，此时方程组的解为，即点时，面积取最大值故选：C【题目点拨】此题考查了椭圆的性质，三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题.5、B【解题分析】

根据逆否命题的概念、必要不充分条件的知识、含有简单逻辑联结词命题真假性的知识、特称命题的否定是全称命题的知识，对四个命题逐一分析，由此得出正确选项.【题目详解】对于①，根据逆否命题的概念可知，①正确.对于②，当“a≠0”时，a2+a=0可能成立，当“a2+a≠0”时，“a≠0”，故“a≠0”是“a2+a≠0”的必要不充分条件，即②正确.对于③，若p∧q为假命题，则【题目点拨】本小题主要考查逆否命题、必要不充分条件、含有简单逻辑联结词命题真假性、全称命题与特称命题等知识的运用，属于基础题.6、C【解题分析】

由题意利用诱导公式得，根据函数的图象变换规律，得出结论．【题目详解】已知曲线，，∴把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线的图象，故选C．【题目点拨】本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．7、A【解题分析】

当时，一一讨论，由此判断出正确选项.【题目详解】当时，空间三个点构成等边三角形时，可使两两距离相等.当时，空间四个点构成正四面体时，可使两两距离相等.不存在为以上的情况满足条件，故至多等于.故选：A.【题目点拨】本小题主要考查正多边形、正多面体的几何性质，属于基础题.8、B【解题分析】

因为和在均为增函数，所以在单调递增，所以函数至多一个零点，再给赋值，根据可得函数在上有一个零点【题目详解】因为与均在上为增函数，所以函数至多一个零点又，，，即函数在上有一个零点答案选B【题目点拨】零点问题可根据零点存在定理进行判断，也可采用构造函数法，根据构造的两新函数函数交点个数来确定零点个数9、A【解题分析】

由条件可得，【题目详解】因为函数的图象在点P处的切线方程是所以，所以4故选：A【题目点拨】本题考查的是导数的几何意义，较简单.10、B【解题分析】由已知条件，可得由②③得代入①，得＝2b，即x2＋y2＝2b2.故x2、b2、y2成等差数列，故选B.11、A【解题分析】

正态曲线关于对称，且越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二个图象的均值小，又有越小图象越瘦高，得到正确的结果．【题目详解】正态曲线是关于对称，且在处取得峰值，由图易得，故的图象更“瘦高”，的图象更“矮胖”，则.故选A.【题目点拨】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．12、A【解题分析】

构造函数，利用导数和已知条件判断出在上递增，由此求解出不等式的解集.【题目详解】要求解的不等式等价于，令，，所以在上为增函数，又因为是奇函数，故，所以，所以所求不等式等价于，所以解集为，故选A.【题目点拨】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查导数的运算，考查利用导数判断函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

直接进行交集的运算即可．【题目详解】解：∵A＝{2，3，4}，B＝{3，5}；∴A∩B＝{3}．故答案为：{3}．【题目点拨】考查列举法的定义以及交集的运算，属于基础题.14、【解题分析】

利用条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率，利用渐近线的夹角求双曲线的离心率，从而得出答案。【题目详解】如图正六边形中，，直线即双曲线的渐近线方程为，由椭圆的定义可得，所以椭圆的离心率，双曲线的渐近线方程为，则，双曲线的离心率，所以椭圆与双曲线的离心率之积为【题目点拨】本题考查椭圆的定义和离心率，双曲线的简单性质，属于一般题。15、-13【解题分析】

由题意可得：.16、；【解题分析】

利用超几何分布的概率公式，直接求出恰有1件次品的概率.【题目详解】设事件为“从中随机抽取3件，则恰有1件次品”，则.【题目点拨】求解概率问题的第一步是识别概率模型，再运用公式计算概率值，本题属于超几分布概率模型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；（3）见解析．【解题分析】分析：（1）赋值法：求（2）先求通项公式，利用解出，设第项的系数最大，所以（3）时，，利用组合数的公式化简求解。详解：（1），时，，令得，令得，可得；（2），，不妨设中，则或，中的最大值为；（3）若，，，因为，所以.点睛：（1）二项式定理求系数和的问题，采用赋值法。（2）求解系数的最大项，先设最大项的系数，注意所求的是第项的系数，计算不等式采用消去法化简计算，取整数。（3）组合数公式的计算整体变形，构造的结构，一般采用计算，不要展开。18、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）（2）以A为原点，如图所示建立直角坐标系，，设平面FAE法向量为，则，，19、（Ⅰ）极大值，极小值；（Ⅱ）见解析.【解题分析】

（Ⅰ）将代入函数的解析式，求出该函数的定义域与导数，求出极值点，然后列表分析函数的单调性，可得出函数的极大值和极小值；（Ⅱ）求出函数的导数为，对分、、和四种情况讨论，分析导数在区间上的符号，可得出函数的单调区间.【题目详解】（Ⅰ）当时，，函数的定义域为，，令，或.列表如下：极大值极小值所以，函数的极大值，极小值；（Ⅱ）由题意得，（1）当时，令，解得；，解得.（2）当时，①当时，即时，令，解得或；令，解得；②当时，恒成立，函数在上为单调递增函数；③当时，即当时，令，解得或；令，解得.综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.【题目点拨】本题考查利用导数求函数的极值，以及利用导数求函数的单调区间，在处理含参数的函数问题时，要弄清楚分类讨论的基本依据，结合导数分析导数符号进行求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解题分析】

（I）将已知条件转化为，由此求得的值，进而求得的通项公式.（II）利用求得的表达式，由此求得的表达式，利用分组求和法求的值.【题目详解】（Ⅰ）设等比数列的公比即，解得：或，又的各项为正，，故（Ⅱ）设，数列前n项和为.由解得..,.【题目点拨】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查数列通项公式的求法，考查分组求和法，所以中档题.21、(1)，猜想.(2)见解析.【解题分析】分析：（1）直接由原式计算即可得出，然后根据数值规律得，（2）直接根据数学归纳法的三个步骤证明即可.详解：（1），猜想.（2）当时，命题成立；假设当时命题成立，即，