福建省莆田市第七中学2024届高二数学第二学期期末质量检测模拟试题含解析

福建省莆田市第七中学2024届高二数学第二学期期末质量检测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若存在实数，，使不等式对一切正数都成立（其中为自然对数的底数），则实数的最小值是（）.A． B．4 C． D．22．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．1203．有10名学生和2名老师共12人,从这12人选出3人参加一项实践活动则恰有1名老师被选中的概率为（）A．922 B．716 C．94．已知圆，定点，点为圆上的动点，点在上，点在线段上，且满足，，则点的轨迹方程是（）A． B．C． D．5．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目、2个舞蹈节目和l个曲艺节目的演出顺序要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（）A．800 B．5400 C．4320 D．36006．设实数，满足约束条件,则的取值范围是（）A． B． C． D．7．设、、，，，，则、、三数（）A．都小于 B．至少有一个不大于C．都大于 D．至少有一个不小于8．已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的半径为（）A．7 B．6 C．5 D．49．若，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．当生物死亡后，其体内原有的碳的含量大约每经过年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.在一次考古挖掘中，考古学家发现一批鱼化石，经检测其碳14含量约为原始含量的，则该生物生存的年代距今约（）A．万年 B．万年 C．万年 D．万年11．某同学将收集到的6组数据对，制作成如图所示的散点图（各点旁的数据为该点坐标），并由这6组数据计算得到回归直线：和相关系数．现给出以下3个结论：①；②直线恰过点；③．其中正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③12．已知，，，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_____．14．已知函数，若，则实数的取值范围是___．15．根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为.16．若二项式展开式的常数项为，则实数的值为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知是第三象限角，且．（1）求，的值；（2）求的值．18．（12分）已知函数，.（Ⅰ）求过原点，且与函数图象相切的切线方程；（Ⅱ）求证：当时，.19．（12分）某啤酒厂要将一批鲜啤酒用汽车从所在城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，运费由厂家承担．若厂家恰能在约定日期（×月×日）将啤酒送到，则城市乙的销售商一次性支付给厂家40万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给厂家2万；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给厂家2万元．为保证啤酒新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送．已知下表内的信息：汽车行驶路线在不堵车的情况下到达城市乙所需时间（天）在堵车的情况下到达城市乙所需时间（天）堵车的概率运费（万元）公路1142公路2231（1）记汽车选择公路1运送啤酒时厂家获得的毛收入为X（单位：万元），求X的分布列和EX；（2）若，，选择哪条公路运送啤酒厂家获得的毛收人更多？（注：毛收入=销售商支付给厂家的费用-运费）．20．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求和的直角坐标方程；（2）已知直线与轴交于点，且与曲线交于两点，求的值.21．（12分）为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值，用样本估计总体.（1）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品，从设备的生产流水线上随意抽取3个零件，计算其中次品个数的数学期望；（2）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）：①；②；③.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级并说明理由.22．（10分）已知四棱锥的底面是菱形，且，，，O为AB的中点.（1）求证：平面；（2）求点B到平面的距离.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

分别画出和的图象，依题意存在实数，，使不等式对一切正数都成立，要求参数的最小值，临界条件即为直线：恰为函数和的公切线，设函数上的切点，则，即转化为求，设函数的切点为，表示出切线方程，即可得到方程组，整理得到，令，求出令即可得解；【题目详解】解：分别画出和的图象，依题意存在实数，，使不等式对一切正数都成立，要求参数的最小值，临界条件即为直线：恰为函数和的公切线，设函数上的切点，，，所以，所以切线方程为，整理得，同时直线也是函数的切线，设切点为，所以切线方程为，整理得，所以，整理得，即，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，故，显然，故当时取得最小值，即实数的最小值为4，故选：B．【题目点拨】本题考查利用导数分析恒成立问题，两曲线的公切线问题，属于中档题．2、B【解题分析】试题分析：根据频率分布直方图，得；该模块测试成绩不少于60分的频率是1-（0.005+0.015）×10=0.8，∴对应的学生人数是600×0.8=480考点：频率分布直方图3、A【解题分析】

先求出从12人中选3人的方法数，再计算3人中有1人是老师的方法数，最后根据概率公式计算．【题目详解】从12人中选3人的方法数为n=C123=220，3人中愉有∴所求概率为P=m故选A．【题目点拨】本题考查古典概型，解题关键是求出完成事件的方法数．4、A【解题分析】试题分析：由，可知，直线为线段的中垂线，所以有，所以有，所以点的轨迹是以点为焦点的椭圆，且，即，所以椭圆方程为,故选A．考点：1．向量运算的几何意义；2．椭圆的定义与标准方程．【名师点睛】本题主要考查向量运算的几何意义、椭圆的定义与椭圆方程的求法，属中档题．求椭圆标准方程常用方法有：1．定义法，即根据题意得到所求点的轨迹是椭圆，并求出的值；2．选定系数法：根据题意先判断焦点在哪个坐标轴上，设出其标准方程，根据已知条件建立关系的方程组，解之即可．5、D【解题分析】先排4个音乐节目和1个曲艺节目共有种排法，再从5个节目的6隔空插入两个不同的舞蹈节目有种排法，∴共有种排法，故选D6、A【解题分析】分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=|x|﹣y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，即可得出z的取值范围．详解：作出实数x，y满足约束条件表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，﹣2），B（0，），O（0，0）．设z=F（x，y）=|x|﹣y，将直线l：z=|x|﹣y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，当x≥0时，直线为图形中的红色线，可得当l经过B与O点时，取得最值z∈[0，]，当x＜0时，直线是图形中的蓝色直线，经过A或B时取得最值，z∈[﹣，3]综上所述，z∈[﹣，3]．故答案为：A．点睛：（1）本题主要考查线性规划，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合的思想方法，考查学生分类讨论思想方法.(2)解答本题的关键是对x分x≥0和x＜0讨论，通过分类转化成常见的线性规划问题.7、D【解题分析】

利用基本不等式计算出，于此可得出结论.【题目详解】由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，因此，若、、三数都小于，则与矛盾，即、、三数至少有一个不小于，故选D.【题目点拨】本题考查了基本不等式的应用，考查反证法的基本概念，解题的关键就是利用基本不等式求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8、B【解题分析】

求得圆心角的弧度数，用求得扇形半径.【题目详解】依题意为，所以．故选B.【题目点拨】本小题主要考查角度制和弧度制转化，考查扇形的弧长公式的运用，属于基础题.9、A【解题分析】

本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【题目详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.【题目点拨】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.10、C【解题分析】

根据实际问题，可抽象出，按对数运算求解.【题目详解】设该生物生存的年代距今是第个5730年，到今天需满足，解得：，万年.故选C.【题目点拨】本题考查了指数和对数运算的实际问题，考查了转化与化归和计算能力.11、A【解题分析】

结合图像，计算，由求出，对选项中的命题判断正误即可得出结果.【题目详解】由图像可得，从左到右各点是上升排列的，变量具有正相关性，所以，①正确；由题中数据可得:，，所以回归直线过点，②正确；又，③错误.故选A【题目点拨】本题主要考查回归分析，以及变量间的相关性，熟记线性回归分析的基本思想即可，属于常考题型.12、D【解题分析】

根据指数和对数函数的单调性可确定临界值，从而得到大小关系.【题目详解】；；且本题正确选项：【题目点拨】本题考查利用指数和对数函数的单调性比较大小的问题，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

互为反函数的图象关于直线对称，所以两个阴影部分也关于直线对称.利用面积分割和定积分求出上部分阴影面积，再乘以2得到整个阴影面积.【题目详解】如图所示，连接，易得，，.【题目点拨】考查灵活运用函数图象的对称性和定积分求解几何概型，对逻辑思维能力要求较高.本题在求阴影部分面积时，只能先求上方部分，下方部分中学阶段无法直接求.14、【解题分析】

对的范围分类讨论函数的单调性，再利用可判断函数在上递增，利用函数的单调性将转化成：，解得：，问题得解.【题目详解】当时，，它在上递增，当时，，它在上递增，又所以在上递增，所以可化为：，解得：.所以实数的取值范围是故填：【题目点拨】本题主要考查了分类思想及函数单调性的应用，还考查了转化能力及计算能力，属于中档题。15、1．【解题分析】试题分析：这是循环结构，计算时要弄明白循环条件，什么时候跳出循环，循环结构里是先计算，第一次计算时，循环结束前，此时，循环结束，故输出值为1．考点：程序框图，循环结构．16、【解题分析】

先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于0，求出的值，即可求得展开式中的常数项，结合常数项为列方程求解即可.【题目详解】二项式展开式的通项为，，令，得，常数项为，，得，故答案为.【题目点拨】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）【解题分析】

（1）利用诱导公式化简已知条件求得的值，进而求得的值，再根据二倍角公式求得的值.（2）利用结合两角和的正弦公式，以及（1）的结果，求得的值.【题目详解】解：（1）由，有，又由是第三象限角，有，则，，（2）由，．【题目点拨】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式和两角和的正弦公式，属于中档题.18、(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析.【解题分析】分析：（1）设出切点，求导，得到切线斜率，由点斜式得到切线方程；（2）先证得，再证即可，其中证明过程，均采用构造函数，求导研究单调性，求得最值大于0即可.详解：（Ⅰ）设切点，则，，，切线方程为：，即：，将原点带入得：，，切线方程为：.（Ⅱ）设，，，则.当时，，当时，，则，所以，即：，.设，，，，，当时，，当时，，则，所以，即：，，所以.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.19、（1）分布列见解析，；（2）选择公路2运送啤酒有可能让啤酒厂获得的毛收入更多．【解题分析】

（1）若汽车走公路1，不堵车时啤酒厂获得的毛收人（万元），堵车时啤酒厂获得的毛收入（万元），然后列出分布列和求出（2）当时，由（1）知（万元），然后求出，比较二者的大小即可得出结论.【题目详解】解：（1）若汽车走公路1，不堵车时啤酒厂获得的毛收人（万元），堵车时啤酒厂获得的毛收入（万元），所以汽车走公路1时啤酒厂获得的毛收入X的分布列为4034∴．（2）当时，由（1）知（万元），当时，设汽车走公路2时啤酒厂获得的毛收入为Y，则不堵车时啤酒厂获得的毛收入9（万元），堵车时啤酒厂获得的毛收入（万元），∴汽车走公路2时啤酒厂获得的毛收入Y的分布列为3937∴（万元），由得选择公路2运送啤酒有可能让啤酒厂获得的毛收入更多．【题目点拨】本题考查的是随机变量的分布列和期望，较简单，属于基础题；由于文字太多，解答本题的关键是读懂题意.20、（1）直线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为（2）【解题分析】

（1）利用极坐标化直角坐标的公式求直线l的直线坐标方程，消参求出曲线的普通方程；（2）直线的参数方程为（为参数），代入，得，再利用直线参数方程t的几何意义求的值.【题目详解】解：（1）因为直线的极坐标方程为，所以直线的直角坐标方程为.因为曲线的参数方程为（为参数），所以曲