2024届安徽省淮北、宿州市数学高二第二学期期末监测试题含解析

2024届安徽省淮北、宿州市数学高二第二学期期末监测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设离散型随机变量的分布列如右图，则的充要条件是（）123A．B．C．D．2．已知函数的导函数的图象如图所示，那么（）A．是函数的极小值点B．是函数的极大值点C．是函数的极大值点D．函数有两个极值点3．全国高中联赛设有数学、物理、化学、生物、信息5个学科，3名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择一个学科参加竞赛，则不同的报名种数是（）A． B． C． D．4．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集为A． B． C． D．5．已知向量，，若与垂直，则（）A．-1 B．1 C．土1 D．06．下列函数既是奇函数又在（﹣1，1）上是减函数的是（）A． B．C．y＝x﹣1 D．y＝tanx7．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，则三种粽子各取到1个的概率是（）A． B． C． D．8．已知点为双曲线上一点，则它的离心率为（）A． B． C． D．9．已知函数在上单调递减，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．①线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于；③在某项测量中，测量结果服从正态分布，若位于区域内的概率为，则位于区域内的概率为；④对分类变量与的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“与有关系”的把握越大．其中真命题的序号为()A．①④ B．②④ C．①③ D．②③11．命题；命题.若为假命题，为真命题，则实数的取值范围是（）A． B．或C．或 D．或12．设命题：，，则为（）A．， B．，C．， D．，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量的夹角为，且，则________.14．已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线交双曲线右支于两点，若是以为直角顶点的等腰三角形，则的面积为__________．15．已知为上的连续可导函数，当时，，则函数的零点有__________个．16．在西非“埃博拉病毒"的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：感染未感染合计服用104050未服用203050合计3070100附：0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635根据上表，有________的把握认为“小动物是否感染与服用疫苗有关”.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的定义域；（Ⅱ）若关于的不等式的解集是，求的取值范围.18．（12分）已知椭圆:的上顶点为A,以A为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与y轴的交点分别为、.（1）求椭圆的方程；（2）设不经过点A的直线与椭圆交于P、Q两点，且,试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由.19．（12分）已知函数，，若曲线和曲线在处的切线都垂直于直线．（Ⅰ）求，的值．（Ⅱ）若时，，求的取值范围．20．（12分）如图,已知正四棱柱的底面边长为2,侧棱长为3,,垂足为,交于点.(1)求证:⊥平面;(2)记直线与平面所成的角,求的值.21．（12分）已知函数，为实数.（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）当，且恒成立时，求的最大值.22．（10分）已知函数.（I）当时，求不等式的解集；（II）若不等式的解集为，求实数的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

由题设及数学期望的公式可得，则的充要条件是．应选答案B．2、C【解题分析】

通过导函数的图象可知；当在时，；当在时，，这样就可以判断有关极值点的情况.【题目详解】由导函数的图象可知：当在时，，函数单调递增；当在时，，函数单调递减，根据极值点的定义，可以判断是函数的极大值点，故本题选C.【题目点拨】本题考查了通过函数导函数的图象分析原函数的极值点的情况.本题容易受导函数的单调性的干扰.本题考查了识图能力.3、C【解题分析】分析：利用分布计数乘法原理解答即可.详解：全国高中联赛设有数学、物理、化学、生物、信息5个学科，3名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择一个学科参加竞赛，则每位同学都可以从5科中任选一科，由乘法原理，可得不同的报名种数是故选C.点睛：本题考查分布计数乘法原理，属基础题.4、B【解题分析】

构造函数，则得的单调性，再根据为奇函数得，转化不等式为，最后根据单调性性质解不等式.【题目详解】构造函数，则，所以在上单独递减，因为为奇函数，所以.因此不等式等价于，即，选B.【题目点拨】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等5、C【解题分析】分析：首先根据题中所给的向量垂直的条件，得到向量数量积等于零，从而得到，之后利用相应的公式得到所满足的条件，从而求得结果.详解：根据与垂直，可得，即，所以有，解得，故选C.点睛：该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有用向量的数量积等于零来体现向量垂直，再者就是向量的平方和向量模的平方是相等的，最后列出相应的等量关系式求得结果.6、B【解题分析】

对各选项逐一判断即可，利用在上为增函数，在上为减函数,即可判断A选项不满足题意，令，即可判断其在递增，结合复合函数的单调性判断法则即可判断B选项满足题意对于C,D，由初等函数性质，直接判断其不满足题意.【题目详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A，在上为增函数，在上为减函数,所以y（3x﹣3﹣x）在R上为增函数，不符合题意；对于B，，所以是奇函数，令，则由，两个函数复合而成又，它在上单调递增所以既是奇函数又在（﹣1，1）上是减函数，符合题意，对于C，y＝x﹣1是反比例函数，是奇函数，但它在（﹣1，1）上不是减函数，不符合题意；对于D，y＝tanx为正切函数，是奇函数，但在（﹣1，1）上是增函数，不符合题意；故选：B．【题目点拨】本题主要考查了函数奇偶性的判断，还考查了复合函数单调性的判断法则及初等函数的性质，属于中档题。7、C【解题分析】试题分析：由题可先算出10个元素中取出3个的所有基本事件为；种情况；而三种粽子各取到1个有种情况，则可由古典概率得；考点：古典概率的算法．8、B【解题分析】

将点P带入求出a的值，再利用公式计算离心率。【题目详解】将点P带入得，解得所以【题目点拨】本题考查双曲线的离心率，属于基础题。9、A【解题分析】

等价于在上恒成立，即在上恒成立，再构造函数并求g(x)的最大值得解.【题目详解】在上恒成立，则在上恒成立，令，，所以在单调递增，故g(x)的最大值为g(3)=.故.故选A【题目点拨】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，属于基础题.10、D【解题分析】对于①，因为线性回归方程是由最小二乘法计算出来的，所以它不一定经过其样本数据点，一定经过，故错误；对于②，根据随机变量的相关系数知，两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故正确；对于③，变量服从正态分布，则，故正确；对于④，随机变量的观测值越大，判断“与有关系”的把握越大，故错误.故选D.点睛：在回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线方程必过点，可能所有的样本数据点都不在直线上.11、B【解题分析】

首先解出两个命题的不等式，由为假命题，为真命题得命题和命题一真一假．【题目详解】命题，命题．因为为假命题，为真命题．所以命题和命题一真一假，所以或，选择B【题目点拨】本题主要考查了简易逻辑的问题，其中涉及到了不等式以及命题真假的判断问题，属于基础题．12、D【解题分析】分析：直接利用特称命题的否定解答.详解：由特称命题的否定得为：，，故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)特称命题,特称命题的否定.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解题分析】

运用向量的数量积的定义可得⃑⃑⃑⃑，再利用向量的平方即为模的平方，计算可得答案.【题目详解】解：⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑.【题目点拨】本题主要考查平面向量数量积的运算，相对简单.14、【解题分析】设，根据双曲线的定义，有，即.，，故三角形面积为.点睛：本题主要考查双曲线的定义，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查数形结合的数学思想方法和化归与转化的数学思想方法.解答直线与圆锥曲线位置关系题目时，首先根据题意画出曲线的图像，然后结合圆锥曲线的定义和题目所给已知条件来求解.利用题目所给等腰直角三角形，结合定义可求得直角三角形的边长，由此求得面积.15、1【解题分析】

令得，即，然后利用导数研究函数的单调性和极值，即可得到结论．【题目详解】令，得，即，即零点满足此等式不妨设，则．∵当时，，∴当时，，即当时，，即，此时函数单调递增，当时，，即，此时函数单调递减，∴当时，函数取得极小值，同时也是最小值，∴当时，，∴无解，即无解，即函数的零点个数为1个，故答案为1．【题目点拨】本题主要考查函数零点个数的判断，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性和极值是解决本题的关键，综合性较强，涉及的知识点较多．16、95%【解题分析】

先由题中数据求出，再由临界值表，即可得出结果.【题目详解】由题中数据可得：，根据临界值表可得：犯错误的概率不超过0.05.即有95%的把握认为“小动物是否感染与服用疫苗有关”.故答案为95%【题目点拨】本题主要考查独立性检验的问题，会由公式计算，能分析临界值表即可，属于常考题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或（2）.【解题分析】试题分析：（1）函数去绝对值号化为分段函数即可求解；（2）分离参数得：在上恒成立，利用绝对值性质即可得到m范围内.试题解析：（1）由题意，令解得或，∴函数的定义域为或（2），∴，即.由题意，不等式的解集是，则在上恒成立.而，故.点睛：恒成立问题是常见数学问题，一般可考虑分离参数处理，分离参数后问题转化为求最值，可考虑均值不等式、函数最值，绝对值的性质、三角函数等方法来处理.18、（1）（2）直线过定点【解题分析】

（1）根据圆的圆心和半径写出圆的标准方程，令求得圆与轴交点的坐标，由此列方程组求得的值，进而求得椭圆的标准方程.（1）根据，利用点斜式设出直线的方程，并分别代入椭圆方程解出两点的坐标，由此求得直线的方程，由此求得定点的坐标为.【题目详解】解：（1）依题意知点A的坐标为，则以点A圆心，以为半径的圆的方程为:，令得，由圆A与y轴的交点分别为、可得，解得，故所求椭圆的方程为.（2）由得，可知PA的斜率存在且不为0，设直线-①则-②将①代入椭圆方程并整理得，可得，则，类似地可得，由直线方程的两点式可得：直线的方程为，即直线过定点，该定点的坐标为.【题目点拨】本小题主要考查圆的标准方程和几何性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程的两点式以及直线过定点的问题.属于中档题.要求直线和椭圆的交点坐标，需要联立直线和椭圆的方程，解方程组求得，这里需要较强的运算能力.直线过定点的问题，往往是将含有参数的部分合并，由此求得直线所过的定点.19、（Ⅰ），（Ⅱ）的取值范围是．【解题分析】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义求解即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）设，则，故只需证即可．由题意得，即，又由，得，，分，，三种情况分别讨论判断是否恒成立即可得到结论．试题解析：（I）∵，∴，，由题意得，，解得，．∴，．（II）由（I）知，，设，则，由题设可得，即，令，得，．（i）若，则，从而当时，，单调递减，当时，，单调递增，故在的最小值为，而，故当时，，即恒成立．（ii）若，则，从而当时，，即在单调递增，而，故当时，，即恒成立．（iii）若，，则在上单调递增，而，从而当时，不可能恒成立，综上可得的取值范围是．20、（1）见解析；（2）．【解题分析】分析：此题建系比较容易，所以两问都用建系处理，以为坐标原点,分别以直线所在直线为轴,轴,轴，分别写出坐标，设，利用解得所以，所以平面；(2)计算平面法向量，所以即可解题详解：(1)如图,以为坐标原点,分别以直线所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系，易得,设,则，因为,所以，解得,即,又,,所以,所以,且，所以，又，所以平面.(2)，，，设平面的一个法向量，则即令，则，即，.点睛：空间向量是解决立体几何问题很好的方法，也是高考每年的必考考点，所以在遇到此类问题时要注意合理的建立坐标系，建系的原则要尽量使得更多的点落