2024届江苏扬州中学数学高二第二学期期末质量检测试题含解析

2024届江苏扬州中学数学高二第二学期期末质量检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某军工企业为某种型号的新式步枪生产了一批枪管，其口径误差（单位：微米）服从正态分布，从已经生产出的枪管中随机取出一只，则其口径误差在区间内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布，则，）A． B． C． D．2．已知，其中、是实数，是虚数单位，则复数的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．设，则使得的的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知点和，若某直线上存在点P，使得，则称该直线为“椭型直线”，现有下列直线：①；②；③；④．其中是“椭型直线”的是（）A．①③ B．①② C．②③ D．③④5．中国古代儒家提出的“六艺”指:礼､乐､射､御､书､数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动,周六这天准备排课六节,每艺一节,排课有如下要求:“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻,则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有()A．18种 B．36种 C．72种 D．144种6．已知满足，其中，则的最小值为（）A． B． C． D．17．甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，决出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”.从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情形种数共有（）A． B． C． D．8．等差数列的前9项的和等于前4项的和，若，则k=（）A．10 B．7 C．4 D．39．如图，用5种不同的颜色把图中、、、四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有()A．200种 B．160种 C．240种 D．180种10．下列四个不等式：①；②；③；④，其中恒成立的个数是()A．1 B．2 C．3 D．411．已知集合,,则（）A． B． C． D．12．已知集合，，则A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知一组数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差为______.14．若实数x,y满足x+y-2≥0x≤4y≤5则z=y-x的最小值为15．已知函数的图像关于直线对称，则__________.16．已知向量，，若，则______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，BC＝2AD，AD⊥CD，PD⊥平面ABCD，E为PB的中点.(1)求证：AE//平面PDC；(2)若BC＝CD＝PD，求直线AC与平面PBC所成角的余弦值.18．（12分）已知命题方程表示圆；命题双曲线的离心率，若命题“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围．19．（12分）已知函数.（1）解不等式；（2）设，若对任意，存在，使得成立，求的取值范围.20．（12分）5G网络是第五代移动通信网络，其峰值理论传输速度可达每8秒1GB，比4G网络的传输速度快数百倍．举例来说，一部1G的电影可在8秒之内下载完成．随着5G技术的诞生，用智能终端分享3D电影、游戏以及超高画质（UHD）节目的时代正向我们走来．某手机网络研发公司成立一个专业技术研发团队解决各种技术问题，其中有数学专业毕业，物理专业毕业，其它专业毕业的各类研发人员共计1200人．现在公司为提高研发水平，采用分层抽样抽取400人按分数对工作成绩进行考核，并整理得如上频率分布直方图（每组的频率视为概率）．（1）从总体的1200名学生中随机抽取1人，估计其分数小于50的概率；（2）研发公司决定对达到某分数以上的研发人员进行奖励，要求奖励研发人员的人数达到30%，请你估计这个分数的值；（3）已知样本中有三分之二的数学专业毕业的研发人员分数不低于70分，样本中不低于70分的数学专业毕业的研发人员人数与物理及其它专业毕业的研发人员的人数和相等，估计总体中数学专业毕业的研发人员的人数．21．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，，，分别是棱的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）已知集合P＝，函数的定义域为Q.（Ⅰ）若PQ，求实数的范围；（Ⅱ）若方程在内有解，求实数的范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

根据已知可得，结合正态分布的对称性，即可求解.【题目详解】.故选：C【题目点拨】本题考查正态分布中两个量和的应用，以及正态分布的对称性，属于基础题.2、D【解题分析】

由得，根据复数相等求出的值，从而可得复数的共轭复数，得到答案.【题目详解】由有，其中、是实数.所以，解得，所以则复数的共轭复数为，则在复平面内对应的点为.所以复数的共轭复数对应的点位于第四象限.故选：D【题目点拨】本题考查复数的运算和根据复数相等求参数，考查复数的概念，属于基础题.3、B【解题分析】分析：根据题意，由函数f（x）的解析式分析可得函数f（x）的图象关于直线x=1对称，当x≥1时，对函数f（x）求导分析可得函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，则原不等式变形可得f（|x|）＜f（|2x﹣3|），结合单调性可得|x|＞|2x﹣3|，解可得x的取值范围，即可得答案．详解：根据题意，f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x）=﹣（x﹣1）2﹣2（ex﹣1+）+1，分析可得：y=﹣（x﹣1）2+1与函数y=2（ex﹣1+e1﹣x）都关于直线x=1对称，则函数f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x）的图象关于直线x=1对称，f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x），当x≥1时，f′（x）=﹣2x+2﹣（ex﹣1﹣）=﹣2（x+1+ex﹣1﹣），又由x≥1，则有ex﹣1≥，即ex﹣1﹣≥0，则有f′（x）＜0，即函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，f（x+1）＜f（2x﹣2）⇒f（|x+1﹣1|）＜f（|2x﹣2﹣1|）⇒f（|x|）＜f（|2x﹣3|）⇒|x|＞|2x﹣3|，变形可得：x2﹣4x+3＜0，解可得1＜x＜3，即不等式的解集为（1，3）；故选：B．点睛：处理抽象不等式问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则．4、C【解题分析】

先确定动点的轨迹为椭圆，再考虑各选项中的直线与椭圆是否有公共点后可得正确的选项.【题目详解】由椭圆的定义知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程为．对于①，把代入，整理得，由，知不是“椭型直线”；对于②，把代入，整理得，所以是“椭型直线”；对于③，把代入，整理得，由，知是“椭型直线”；对于④，把代入，整理得，由，知不是“椭型直线”．故②③是“椭型直线”．故：C．【题目点拨】本题考查直线与椭圆的位置关系，此类问题一般联立直线方程和椭圆方程，消去一个变量后通过方程的解的个数来判断位置关系，本题属于基础题.5、D【解题分析】

由排列、组合及简单的计数问题得：由题意可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有种，然后与“礼”、“数”进行排序，共有种，最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有种，再相乘得解．【题目详解】由题意“乐”与“书”不能相邻,“射”和“御”要相邻，可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有种，然后与“礼”、“数”进行排序，共有种，最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有种，由于是分步进行，所以共有种，故选：D.【题目点拨】本题考查排列、组合及简单计数问题，根据问题选择合适的方法是关键，此类问题常见的方法有元素优先法、捆绑法、插空法等，本题属于中等题.6、C【解题分析】

令，利用导数可求得单调性，确定，进而得到结果.【题目详解】令，则.，由得：；由得：，在上单调递减，在上单调递增，，即的最小值为.故选：.【题目点拨】本题考查函数最值的求解问题，关键是能够利用导数确定函数的单调性，进而确定最值点.7、D【解题分析】分析：先排乙，再排甲，最后排剩余三人.详解：先排乙，有种，再排甲，有种，最后排剩余三人，有种因此共有，选D.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——“间接法”；（5）“在”与“不在”问题——“分类法”.8、A【解题分析】

由等差数列的性质可得，然后再次利用等差数列的性质确定k的值即可.【题目详解】由等差数列的性质可知：,故，则，结合题意可知：.本题选择A选项.【题目点拨】本题主要考查等差数列的性质及其应用，属于中等题.9、D【解题分析】

根据题意可知，要求出给四个区域涂色共有多少种方法，需要分步进行考虑；对区域A、B、C、D按顺序着色，推出其各有几种涂法，利用分步乘法计数原理，将各区域涂色的方法数相乘，所得结果即为答案．【题目详解】涂有5种涂法，有4种，有3种，因为可与同色，故有3种，∴由分步乘法计数原理知，不同涂法有种．故答案选D．【题目点拨】本题考查了排列组合中的涂色问题，处理区域涂色问题的基本方法为分步乘法计数原理．10、C【解题分析】

依次判断每个选项的正误，得到答案.【题目详解】①，当时等号成立，正确②，时不成立，错误③，时等号成立.正确④，时等号成立，正确故答案选C【题目点拨】本题考查了不等式性质，绝对值不等式，均值不等式，综合性较强，是不等式的常考题型.11、D【解题分析】分析：先化简集合P,Q，再求.详解：由题得，，所以.故答案为：D.点睛：本题主要考查集合的化简与交集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平，属于基础题.12、C【解题分析】分析：根据集合可直接求解.详解：,,故选C点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解题分析】分析：根据方差的计算公式，先算出数据的平均数，然后代入公式计算即可得到结果．详解：平均数为：即答案为2.点睛：本题考查了方差的计算，解题的关键是方差的计算公式的识记．它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．14、-6【解题分析】略视频15、【解题分析】

利用辅助角公式化简，结合题意可得，即可求解，得到答案.【题目详解】由题意，函数，因为函数的图象关于直线对称，所以，两边平方得，解得.【题目点拨】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中根据辅助角公式把函数化简为三角函数的形式是研究三角函数性质的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16、【解题分析】

由得到，计算得到答案.【题目详解】已知向量，，若所以答案为：【题目点拨】本题考查了向量的计算，将条件转化为是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）【解题分析】

（1）取的中点，连结、，推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面．（2）推导出，由，得，再推导出，，从而平面，，，，进而平面，连结，，则就是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的余弦值．【题目详解】解：（1）证明：取的中点，连结、，是的中点，，且，，，，且，四边形是平行四边形，，又平面，平面．（2）解：，是等腰三角形，，又，，平面，平面，，又，平面，平面，，，又，平面，连结，，则就是直线与平面所成角，设，在中，解得，，，在中，解得，在中，，直线与平面所成角的余弦值为．【题目点拨】本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18、【解题分析】试题分析：先化简命题，得到相应的数集；再根据真值表得到的真假性，再分类进行求解．试题解析：若命题为真命题，则，即整理得，解得4分若命题为真命题，则，解得8分因为命题为假命题，为真命题，所以中一真一假，10分若真假，则;若假真，则，所以实数的取值范围为．12分考点：1．圆的一般方程；2．双曲线的结合性质；3．复合命题的真值表．19、（1）；（2）【解题分析】

（1）令，通过零点分段法可得解析式，进而将不等式变为，在每一段上分别构造不等式即可求得结果；（2）将问题转化为的值域是值域的子集的问题；利用零点分段法可确定解析式，进而得到值域；利用绝对值三角不等式可求得的最小值，由此可构造不等式求得结果.【题目详解】（1）令，由得：得或或，解得：.即不等式的解集为.（2）对任意，都有，使得成立，则的值域是值域的子集.，值域为；，，解得：或，即的取值范围为.【题目点拨】本题考查绝对值不等式的求解、与绝对值不等式有关的恒成立和能成立问题的求解，涉及到零点分段法和绝对值三角不等式的应用；关键是能够将恒、能成立问题转化为两函数的值域之间的关系，进而通过最值确定不等式.20、（1）0.1；（2）77.5；（3）540人.【解题分析】

（1）由题意可知,样本中随机抽取一人,分数小于50的概率是0.1,由此能估计总体中分数小于50的概率；（2）根据频率分布直方图,第六组的频率为0.4,第七组频率为0.2,由此能求出这个分数；（3）样本中不低于70分的研发人员人数为240人,从而样本中不低于70分的数学专业毕业的研发人员为120人,样本中有三分之二的数学专业毕业的研发人员分数不低于70分,从而样本中的是数学专业毕业的研发人员的人数为180人,由此能估计总体中数学专业毕业的研发人员的人数【题目详解】解：（1）由题意可知,样本中随机抽取一人,分数小于50的概率是,所以估计总体中分数小于50的概率0.1（2）根据频率分布直方图，第六组的频率为0.04×10=0.4,第七组频率为0.02×10=0.2,此分数为（3）因为样本中不低于70分的研发人员人数为400×（0.4+0.