2024届山东省淄博市淄川中学高二数学第二学期期末质量检测模拟试题含解析

2024届山东省淄博市淄川中学高二数学第二学期期末质量检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线与曲线相切，则实数k的值为（）A． B．1 C． D．2．若，满足约束条件，则的最大值是（）A． B． C．13 D．3．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理数根，那么、、中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）A．假设、、都是偶数 B．假设、、都不是偶数C．假设、、至多有一个偶数 D．假设、、至多有两个偶数4．函数的图象大致为A． B． C． D．5．若函数f(x)=xex,x≥0x2+3x,x<0A．[0,2) B．[0,2] C．[-3,0]6．某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球，若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖，按照这样的规则摸奖，中奖的概率为（）A． B． C． D．7．已知命题p：函数的值域为R；命题q：函数是R上的减函数．若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．或8．点的直角坐标为，则点的极坐标为（）A．B．C．D．9．函数在上的最小值和最大值分别是A． B． C． D．10．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）A． B． C． D．11．在的展开式中，的系数等于A．280 B．300 C．210 D．12012．已知e1，e2是单位向量，且e1⋅e2=0，向量a与eA．定值－1 B．定值1C．最大值1，最小值－1 D．最大值0，最小值－1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A的概率分别为、、，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A的概率为____14．若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆短轴长为____________.15．已知函数，令，若函数有四个零点，则实数的取值范围为__________．16．双曲线上一点到点的距离为9，则点到点的距离______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，圆锥的展开侧面图是一个半圆，、是底面圆的两条互相垂直的直径，为母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点、为对称轴的抛物线的一部分．（1）证明：圆锥的母线与底面所成的角为；（2）若圆锥的侧面积为，求抛物线焦点到准线的距离．18．（12分）已知条件p：方程表示焦点在y轴上的椭圆；条件q：双曲线的离心率．（1）若a=2，P={m|m满足条件P}，Q={m|m满足条件q}，求；（2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（12分）已知等轴双曲线：的右焦点为，为坐标原点，过作一条渐近线的垂线且垂足为，.（1）假设过点且方向向量为的直线交双曲线于、两点，求的值；（2）假设过点的动直线与双曲线交于、两点，试问：在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.20．（12分）已知函数，为自然对数的底数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求函数的单调区间与极值.21．（12分）某保险公司拟推出某种意外伤害险，每位参保人交付元参保费，出险时可获得万元的赔付，已知一年中的出险率为，现有人参保.（1）求保险公司获利在（单位：万元）范围内的概率（结果保留小数点后三位）；（2）求保险公司亏本的概率．（结果保留小数点后三位）附：.22．（10分）已知中，，且.（1）求m；（2）求.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】由得，设切点为，则，，，，对比，，，故选D.2、C【解题分析】

由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．【题目详解】解：表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由解得即点到坐标原点的距离最大，即．故选：．【题目点拨】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题．3、B【解题分析】分析：本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．解答：解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选B．点评：一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．4、C【解题分析】函数f（x）=（）cosx，当x=时，是函数的一个零点，属于排除A，B，当x∈（0，1）时，cosx＞0，＜0，函数f（x）=（）cosx＜0，函数的图象在x轴下方．排除D．故答案为C。5、A【解题分析】

先作y=f(x)的图象与直线y=-x+2的图象在同一直角坐标系中的位置图象，再结合函数与方程的综合应用即可得解．【题目详解】设h(x)=xe则h(x)=1-x则h(x)在(0,1)为增函数，在(1,+∞)为减函数，则y=f(x)的图象与直线y=-x+2的图象在同一直角坐标系中的位置如图所示，由图可知，当g(x)有三个零点，则a的取值范围为：0⩽a<2，故选：A．【题目点拨】本题考查了作图能力及函数与方程的综合应用，属于中档题．6、B【解题分析】

可将中奖的情况分成第一次两球连号和第二次取出的小球与第一次取出的号码相同两种情况，分别计算两种情况的概率，根据和事件概率公式可求得结果.【题目详解】中奖的情况分为：第一次取出两球号码连号和第二次取出两个小球与第一次取出的号码相同两种情况第一次取出两球连号的概率为：第二次取出两个小球与第一次取出号码相同的概率为：中奖的概率为：本题正确选项：【题目点拨】本题考查和事件概率问题的求解，关键是能够根据题意将所求情况进行分类，进而通过古典概型和积事件概率求解方法求出每种情况对应的概率.7、C【解题分析】

分别求命题为真命题时的范围，命题为真命题时的范围；根据或为真命题，且为假命题，得到命题，中有一个真命题，一个假命题，分命题为真命题且命题为假命题和命题为真命题且命题为假命题两类求出的范围．【题目详解】解：命题为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数的判别式，从而；命题为真时，解得．若或为真命题，且为假命题，故和中只有一个是真命题，一个是假命题．若为真，为假时，，无解；若为假，为真时，，解得；综上可得，故选：．【题目点拨】本题考查根据复合命题的真假得到构成其简单命题的真假情况，属于中档题．8、A【解题分析】试题分析：,,又点在第一象限,,点的极坐标为.故A正确.考点：1直角坐标与极坐标间的互化.【易错点睛】本题主要考查直角坐标与极坐标间的互化,属容易题.根据公式可将直角坐标与极坐标间互化,当根据求时一定要参考点所在象限,否则容易出现错误.9、A【解题分析】

求出f（x）的导数，利用导函数的正负，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可．【题目详解】函数，cosx，令＞0，解得：x，令＜0，解得：0≤x，∴f（x）在[0，）递减，在（，]递增，∴f（x）min＝f（），而f（0）＝0，f（）1，故f（x）在区间[0，]上的最小值和最大值分别是：．故选：A．【题目点拨】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值问题，考查函数值的运算，属于基础题．10、B【解题分析】

试题分析：掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为5的事件有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）这四种，因此所求概率为，选B．考点：概率问题11、D【解题分析】

根据二项式定理，把每一项里的系数单独写下来，然后相加，再根据组合数性质，化简求值．【题目详解】解：在的展开式中，项的系数为．故选D．【题目点拨】本题主要考查二项式定理展开以及利用组合数性质进行化简求值．12、A【解题分析】

由题意可设e1=(1,0),e【题目详解】由题意设e1=(1,0),e2=(0,1)所以a-所以(x-1)2又a-2所以数量积a⋅故选：A．【题目点拨】本题考查平面向量基本定理以及模长问题，用解析法，设出向量的坐标，用坐标运算会更加方便。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

先求对立事件概率：三门科目考试成绩都不是A，再根据对立事件概率关系求结果.【题目详解】这位考生三门科目考试成绩都不是A的概率为，所以这位考生至少得1个A的概率为故答案为：【题目点拨】本题考查利用对立事件求概率，考查基本分析求解能力，属基础题.14、【解题分析】

由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定椭圆的短轴长度.【题目详解】不妨设椭圆方程为：，由题意可得，解得，则椭圆的短轴长度为：.故答案为：．【题目点拨】本题主要考查椭圆的几何性质，方程的数学思想，椭圆短轴的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15、【解题分析】

可作出的图像，将问题转化为函数与直线的交点问题，观察图像可得到答案.【题目详解】当时，，可理解为函数与直线的交点问题（如图）令，有，设切点的坐标为，则过点的切线方程为，将点坐标代入可得：，整理为：，解得：或，得或，故，而，两点之间的斜率为，故.【题目点拨】本题主要考查零点及交点问题，过点的切线问题，意在考查学生的划归能力，分析能力，逻辑推理能力，计算能力，难度较大.16、或【解题分析】

先根据双曲线方程求出焦点坐标，再结合双曲线的定义可得到，进而可求出的值，得到答案.【题目详解】双曲线，，，，和为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，，解或，，或，故答案为：或.【题目点拨】本题主要考查的是双曲线的定义，属于基础题.求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据求解，注意对所求结果进行必要的验证，负数应该舍去，且所求距离应该不小于.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）答案见解析（2）【解题分析】

（1）设底面圆的半径为,圆锥的母线,因为圆锥的侧面展开图扇形弧长与圆锥的底面圆的周长相等,列出底面半径和关系式,即可证明:圆锥的母线与底面所成的角为.（2）因为圆锥的侧面积为,即可求得其母线长.由⑴可知,可得.在平面建立坐标系,以原点,为轴正方向,设抛物线方程,代入即可求得,进而抛物线焦点到准线的距离.【题目详解】（1）设底面圆的半径为,圆锥的母线圆锥的侧面展开图扇形弧长与圆锥的底面圆的周长相等可得由题意可知:底面圆中故:圆锥的母线与底面所成的角为（2）圆锥的侧面积为可得,故:可得中,为的中点,可得在平面建立坐标系,以原点,为轴正方向.如图:设抛物线方程代入可得根据抛物线性质可知,抛物线焦点到准线的距离为.抛物线焦点到准线的距离．【题目点拨】本题考查了线面夹角和抛物线相关知识.利用解析几何思想,通过建立坐标系,写出抛物线方程,研究曲线方程来求解相关的量,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.18、(1)(2)【解题分析】

（1）分别求出：p：，解得P，q：，，解得Q，再根据集合的交集的概念得到;（2）根据是的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件，即可得出．【题目详解】（1）条件p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，则，解得．∴．条件q：双曲线的离心率．，，解得．∴．∴．（2）由（1）可得：．条件q：双曲线的离心率．，，解得．∴．∵是的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件．∴，解得．∴实数a的取值范围是．【题目点拨】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、方程与不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19、（1）；（2）存在，.【解题分析】

（1）根据双曲线为等轴双曲线，可求出渐近线方程，再根据点为过作一条渐近线的垂线的垂足，以及，可求出双曲线中的值，借助双曲线中，，的关系，得到双曲线方程．根据直线的方向向量以及点的坐标，可得直线的方程，与双曲线方程联立，解出，的值，代入中，即可求出的值．（2）先假设存在定点，使得为常数，设出直线的方程，与双曲线方程联立，解，，用含的式子表示，再代入中，若为常数，则结果与无关，求此时的值即可．【题目详解】（1）设右焦点坐标为，，双曲线为等轴双曲线，则渐近线为，由对称性可知，右焦点到两条渐近线距离相等，且．为等腰直角三角形，则由又等轴双曲线中，等轴双曲线的方程为：.设，，，为双曲线与直线的两个交点，，直线的方向向量为，直线的方程为，即代入双曲线的方程，可得，，，而（2）假设存在定点，使得为常数，其中，，，，为双曲线与直线的两个交点的坐标，①当直线与轴不垂直是，设直线的方程为，代入双曲线的方程，可得，由题意可知，，则有，，要使是与无关的常数，当且仅当，此时，.②当直线与轴垂直时，可得点，，若，亦为常数.综上可知，在轴上是否存在定点，使得为常数．【题目点拨】本题考查等轴双曲线的方程、直线与双曲线位置关系中定点、定值问题，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的综合应用，对运算求解能力的要求较高．20、（1）；（2）的单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值.【解题分析】

首先求得；（1）将代入求得且点坐标，根据导数的几何意义可求得切线斜率，利用点斜式可得切线方程；（2）令导函数等于零，求得，从而可得导函数在不同区间内的符号，进而得到单调区间；根据极值的定义可求得极值.【题目详解】由得：（1）在处切线斜率：，又所求切线方程为：，即：（2）令，解得：当时，；当时，的单调递减区间为：；单调递增区间为：的极小值