2024届河南省开封市第十七中学数学高二下期末质量跟踪监视试题含解析

2024届河南省开封市第十七中学数学高二下期末质量跟踪监视试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，，如果与为共线向量，则（）A．， B．，C．， D．，2．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A． B． C． D．3．设，，，……，，，则（）A． B． C． D．4．已知函数的图象在点处的切线为，若也与函数，的图象相切，则必满足（）A． B．C． D．5．已知全集，，则（）A． B． C． D．6．已知随机变量，，若，，则（）A．0.1 B．0.2 C．0.32 D．0.367．已知函数，将其图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数为偶函数，则的最小值为（）A． B． C． D．8．已知数列的通项公式为，则（）A．-1 B．3 C．7 D．99．甲、乙、丙、丁四位同学各自对、两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数与残差平方和如表：甲乙丙丁0.820.780.690.85106115124103则哪位同学的试验结果体现、两变量有更强的线性相关性（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁10．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0 B．1 C．2 D．311．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为（）A． B． C． D．12．已知函数，若，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱的中点，则四棱锥的体积为__________.14．__________.15．已知曲线F（x，y）=0关于x轴、y轴和直线y=x均对称，设集合S={（x，y）|F（x，y）=0，x∈Z，y∈Z}．下列命题：①若（1，2）∈S，则（-2，-1）∈S；②若（0，2）∈S，则S中至少有4个元素；③S中元素的个数一定为偶数；④若{（x，y）|y2=4x，x∈Z，y∈Z}⊆S，则{（x，y）|x2=-4y，x∈Z，y∈Z}⊆S．其中正确命题的序号为______．（写出所有正确命题的序号）16．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，.（Ⅰ）求及边的值；（Ⅱ）求的值.18．（12分）如图,四棱柱中,底面是等腰梯形,,,是线段的中点,平面.(1)求证:平面；(2)若,求平面和平面所成的锐二面角的余弦值.19．（12分）如图，已知是圆锥的底面直径，是底面圆心，，，是母线的中点，是底面圆周上一点，．（1）求直线与底面所成的角的大小；（2）求异面直线与所成的角．20．（12分）已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求的值.21．（12分）某大型高端制造公司为响应《中国制造2025》中提出的坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针,准备加大产品研发投资,下表是该公司2017年5~12月份研发费用(百万元)和产品销量(万台)的具体数据：月份56789101112研发费用x（百万元）2361021131518产品销量与（万台）1122.563.53.54.5（1)根据数据可知y与x之间存在线性相关关系(ⅰ)求出y关于x的线性回归方程(系数精确到0.001);(ⅱ)若2018年6月份研发投人为25百万元，根据所求的线性回归方程估计当月产品的销量；（2）为庆祝该公司9月份成立30周年,特制定以下奖励制度:以z(单位:万台)表示日销量,,则每位员工每日奖励200元；,则每位员工每日奖励300元；,则每位员工每日奖励400元现已知该公司9月份日销量z（万台）服从正态分布,请你计算每位员工当月(按30天计算)获得奖励金额总数大约多少元.参考数据:，.参考公式:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:，.若随机变量X服从正态分布,则，.22．（10分）某学习小组在研究性学习中,对昼夜温差大小与绿豆种子一天内出芽数之间的关系进行研究.该小组在4月份记录了1日至6日每天昼夜最高、最低温度(如图1),以及浸泡的100颗绿豆种子当天内的出芽数(如图2).根据上述数据作出散点图,可知绿豆种子出芽数(颗)和温差()具有线性相关关系.(1)求绿豆种子出芽数(颗)关于温差()的回归方程；(2)假如4月1日至7日的日温差的平均值为11,估计4月7日浸泡的10000颗绿豆种子一天内的出芽数.附：，

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

利用向量共线的充要条件即可求出．【题目详解】解：与为共线向量，存在实数使得，，解得．故选：．【题目点拨】本题考查空间向量共线定理的应用，属于基础题.2、D【解题分析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：落在内切圆内的概率为，故落在圆外的概率为3、B【解题分析】

根据题意，依次求出f1（x）、f2（x）、f3（x）、f4（x）的值，分析可得fn+4（x）＝fn（x），据此可得f2019（x）＝f3（x），即可得答案．【题目详解】根据题意，＝sinx，f1（x）＝＝cosx，f2（x）＝＝﹣sinx，f3（x）＝＝﹣cosx，f4（x）＝＝sinx，则有f1（x）＝f4（x），f2（x）＝f5（x），……则有fn+4（x）＝fn（x），则f2019（x）＝f3（x）＝﹣cosx；故选：B．【题目点拨】本题考查导数的计算，涉及归纳推理的应用，关键是掌握导数的计算公式．4、D【解题分析】

函数的导数为，图像在点处的切线的斜率为，切线方程为，即，设切线与相切的切点为，，由的导数为，切线方程为，即，∴，．由，可得，且，解得，消去，可得，令，，在上单调递增，且，，所以有的根，故选D.5、C【解题分析】

根据补集的定义可得结果.【题目详解】因为全集，，所以根据补集的定义得，故选C.【题目点拨】若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．6、A【解题分析】

由求出，进而，由此求出.【题目详解】解：因为，，，所以，解得或（舍），由，所以.故选：A.【题目点拨】本题考查概率的求法，考查二项分布、正态分布等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题.7、B【解题分析】

由平移变换得到，由偶函数的性质得到，从而求.【题目详解】由题意得：，因为为偶函数，所以函数的图象关于对称，所以当时，函数取得最大值或最小值，所以，所以，解得：，因为，所以当时，，故选B.【题目点拨】平移变换、伸缩变换都是针对自变量而言的，所以函数向右平移个单位长度后得到函数，不能错误地得到.8、C【解题分析】

直接将代入通项公式，可得答案.【题目详解】数列的通项公式为.所以当时，.故选：C【题目点拨】本题考查求数列中的项，属于基础题.9、D【解题分析】试题分析：由题表格；相关系数越大，则相关性越强．而残差越大，则相关性越小．可得甲、乙、丙、丁四位同学，中丁的线性相关性最强．考点：线性相关关系的判断．10、D【解题分析】D试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=1．故答案选D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．11、B【解题分析】

根据三视图可确定几何体为一个底面半径为的半圆柱中间挖去一个底面半径为的半圆柱；依次计算出上下底面面积、大圆柱和小圆柱侧面积的一半以及轴截面的两个矩形的面积，加和得到结果.【题目详解】由三视图可知，几何体为一个底面半径为的半圆柱中间挖去一个底面半径为的半圆柱几何体表面积：本题正确选项：【题目点拨】本题考查几何体表面积的求解问题，关键是能够通过三视图确定几何体，从而明确表面积的具体构成情况.12、D【解题分析】由函数，可得，所以函数为奇函数，又，因为，所以，所以函数为单调递增函数，因为，即，所以，解得，故选D．点睛：本题考查了函数的单调性、奇偶性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的奇偶性和函数的单调性，转化为不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于解函数不等式：首先根据函数的单调性和奇偶性把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内是试题的易错点．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由题意可得，再利用三棱锥的体积公式进行计算即可．【题目详解】由已知得，，，四边形是菱形，所以.【题目点拨】本题考查几何体的体积，解题的关键是把四棱锥的体积转化为两个三棱锥的体积，属于基础题．14、1【解题分析】

由即可求得【题目详解】【题目点拨】利用和或差的极限等于极限的和或差，此题是一道基础题。15、①②④【解题分析】

结合曲线F（x，y）=0关于x轴、y轴和直线y=x均对称，利用对称性分别进行判断即可．【题目详解】①若（1，2）∈S，则（1，2）关于y=x对称的点（2，1）∈S，关于x轴对称的点（2，-1）∈S，关于y轴对称的点（-2，-1）∈S；故①正确，②若（0，2）∈S，关于x轴对称的点（0，-2）∈S，关于y=x对称的点（2，0）∈S，（-2，0）∈S，此时S中至少有4个元素；故②正确，③若（0，0）∈S，则（0，0）关于x轴，y轴，y=x对称的点是自身，此时S中元素的个数为奇数个，故③错误；④若{（x，y）|y2=4x，x∈Z，y∈Z}⊆S，则关于y对称的集合为{（x，y）|y2=-4x，x∈Z，y∈Z}⊆S，从而{（x，y）|y2=-4x，x∈Z，y∈Z}⊆S关于y=x对称的集合{（x，y）|x2=-4y，x∈Z，y∈Z}⊆S，故④正确，故答案为：①②④【题目点拨】本题主要考查命题的真假判断，结合函数图象的对称性分别进行验证是解决本题的关键，属于中档题．16、【解题分析】函数f（x）=的导数f′（x）=x2+2ax+1由于函数f（x）有两个极值点，则方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，即有△=4a2﹣4＞0，解得，a＞1或a＜﹣1．故答案为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)，或；(2).【解题分析】分析：（1）根据正弦定理和二倍角公式，求得，在利用余弦定理求得边长的值；（2）由二倍角公式求得，再利用三角恒等变换求得的值.详解：（Ⅰ）中，，，∴，又，∴，，解得；又，，，解得或；（Ⅱ）∵，∴，∴；∴.点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】分析：（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，即可通过线面垂直的判定方法证得平面；（2）写出相应点的坐标，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，即可求得答案.详解：(1)证明方法一:连接，因为底面是等腰梯形且所以，，又因为是的中点，因此，且，所以，且，又因为且，所以，因为，平面，所以平面，所以，平面平面，在平行四边形中，因为,所以平行四边形是菱形，因此，所以平面.解法二：底面是等腰梯形，,,所以，，因此，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则,，由得，所以,,,，因此，且，所以且，所以，平面.(2)底面是等腰梯形，,,所以，，因此，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则,,,，所以，,，设平面的一个法向量，由得，由是平面的法向量，因此，平面和平面所成的锐二面角的余弦值是.点睛：本题考查用空间向量求平面间的夹角，主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等相关知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力.19、（1）；（2）.【解题分析】

（1）作出直线与底面所成的角，解三角形求得线面角的大小.（2）作出直线与所成的角，解三角形求得异面直线所成角的大小.【题目详解】（1）因为是圆锥的底面直径，是底面圆心，，是母线的中点，是底面圆周上一点，.，圆锥母线长.过作，交于，连接，则是中点，.，所以，所以是直线和底面所成角.因为，所以.即与底面所成的角的大小为.（2）由（1）得,.连接，则，，所以是异面直线与所成的角，由余弦定理得.所以异面直线与所成的角为.【题目点拨】本小题主要考查线面角、线线角的求法，考查空间想象能力，属于中档题.20、（1）；（2）4.【解题分析】

（1）运用等差数列的性质求得公差d，再由及d求得通项公式即可．（2）利用前n项和公式直接求解即可.【题目详解】（1）设数列的公差为，∴，故.（2），∴，解得或（舍去），∴.【题目点拨】本题考查等差数列的通项公式及项数的求法，考查了前n项和公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．21、(1)(i);(ii)6.415万台；(2)7839.3元.【解题分析】分析：（1）（i)根据平均数公式可求出与的值，从而可得样本中心点的坐标，从而求可得公式中所需数据，求出，再结合样本中心点的性质可得，进而可得关于的回归方程；（ii）将代入所求回归方程，即可的结果；（2）由题知9月份日销量（万台)服从正态分布，则，根据正态曲线的对称性求出各区间上的概率，进而可得结果.详解：（1）（