信号与系统分析课件

第1章信號與系統的基本概念1.1信號的定義與分類1.1.1信號的定義1.1.2信號的分類1.1.1信號的定義1．信號信號是資訊的載體，資訊是信號的內容。2．信號的特性信號的時間特性：信號的頻率特性：

1.1.2信號的分類1．確定性信號和隨機信號2．連續時間信號和離散時間信號3．週期信號和非週期信號4．正弦信號和非正弦信號5.一維信號和多維信號6.能量信號和功率信號1．確定性信號和隨機信號

（a）

（b）

（c）（d）

（e）

2．連續時間信號和離散時間信號連續時間信號

0751431234561n)(nf1234567離散時間信號

3．週期信號和非週期信號

連續週期信號

離散週期信號4．正弦信號和非正弦信號5．一維信號和n維信號6．能量信號和功率信號按信號的可積性劃分能量信號：功率信號：時限信號和非時限信號

時限信號

非時限信號（a）有始信號（b）有終信號（c）無始無終信號因果信號與反因果信號因果信號反因果信號----有始信號----有終信號1.2基本信號及其時域特性直流信號正弦信號1.2基本信號及其時域特性單位階躍信號非因果信號因果信號例：畫出函數的波形1.2基本信號及其時域特性單位門信號1.2基本信號及其時域特性單位沖激信號單位沖激信號的主要性質（1）（2）抽樣性（3）偶函數（4）（5）與的關係1.2基本信號及其時域特性單位沖激偶信號求導1.2基本信號及其時域特性符號信號例：畫出函數的波形1.2基本信號及其時域特性單位斜坡信號單邊衰減指數信號1.2基本信號及其時域特性抽樣信號1.3信號時域變換折疊時移1.3信號時域變換展縮倒相1.3信號時域變換例1-81.4信號時域運算相加相乘1.4信號時域運算數乘微分1.4信號時域運算積分例1-91.5信號時域分解化複雜為簡單，先分解再綜合例1-121.5信號時域分解1.6系統的描述與分類1.6.1系統的描述：能夠對信號進行加工處理的整體1.6.2系統的分類1．動態系統與靜態系統2．連續時間系統與離散時間系統

3．線性系統與非線性系統4．時不變系統與時變系統5．因果系統與非因果系統1.7線性時不變系統的性質線性------時不變性系統系統1.7線性時不變系統的性質微分性積分性系統系統1.8信號與系統分析概述1.8.1基本內容與方法

確定信號和線性時不變系統

建立與求解系統的數學模型1.8信號與系統分析概述1.8.2信號與系統理論的應用

通信領域控制領域信號處理生物醫學工程本章小結（1）信號是資訊的載體，是消息的表現形式，是通信傳輸的客觀對象，一般表現為隨時間變化的某種物理量。

（2）信號具有時間特性和頻率特性。

（3）信號的分類包括：確定性信號和隨機信號；一維信號和n維信號；時限信號和非時限信號；連續時間信號和離散時間信號；週期信號和非週期信號；能量信號和功率信號。（4）電系統是指對電信號進行產生、傳輸、加工處理和儲存的電路（網路）或設備（包括軟硬體設備），簡稱系統。（5）系統的分類包括：動態系統與非動態系統；連續時間系統與離散時間系統；線性系統與非線性系統；時不變系統與時變系統；因果系統與非因果系統。

第2章連續系統的時域分析2.1LTI連續系統的模型2.2LTI連續系統的回應2.3沖激回應與階躍回應2.4卷積與零狀態回應2.1LTI連續系統的模型2.1.1LTI連續系統的數學模型2.1.2LTI連續系統的框圖返回首頁2.1.1LTI連續系統的數學模型對於任意一個線性時不變電路，當電路結構和組成電路的元件參數確定以後，根據元件的伏安關係和基爾霍夫定律，可以建立起與該電路對應的動態方程。圖2-1RLC電路返回本節2.1.2LTI連續系統的框圖LTI連續系統還可以用具有理想特性的符號組合而成的圖形來表徵系統特性，即用模擬框圖來表示系統。圖2-2二階系統的模擬框圖根據圖2-2中各個基本部件的運算關係可得其數學模型為：返回本節2.2LTI連續系統的回應2.2.1系統的初始條件2.2.2零輸入回應與零狀態回應2.2.3系統的全回應返回首頁2.2.1系統的初始條件1．系統的初始狀態2．系統的初始值3．初始狀態和初始值的確定1．系統的初始狀態根據各電容及電感的狀態值能夠確定在時刻系統的回應及其回應的各階導數稱這一組數據為該系統的初始狀態。

2．系統的初始值一般情況下，由於外加激勵的作用或系統內部結構和參數發生變化，使得系統的初始值與初始狀態不等，即：在零輸入條件下，且系統的內部結構和參數不發生變化時，有：

3．初始狀態和初始值的確定通常在給定電網絡的情況下，確定初始狀態和初始值的一般方法和步驟，通過例2-11進行說明。圖2-3

例2-11圖

圖2-40-等效電路

圖2-50+等效電路返回本節2.2.2零輸入回應與零狀態回應1．零輸入回應2．零狀態回應1．零輸入回應所謂零輸入，是指系統無外加激勵，即激勵信號，僅由系統的初始儲能產生的回應稱為零輸入回應。該式為齊次微分方程，其特徵方程為：（1）當特徵根均為單根時，零輸入回應的一般形式為：

（2）當特徵根中含有重根，其他為單根時，零輸入回應的一般形式為：表2-1

零輸入回應形式對照表

圖2-6例2-14圖

圖2-7零輸入條件下的等效電路2．零狀態回應所謂零狀態，是指系統沒有初始儲能，系統的初始狀態為零，即

僅由系統的外加激勵所產生的回應稱為零狀態回應。表2-2

典型激勵及其對應特解形式對照表返回本節2.2.3系統的全回應1．全回應分解為零輸入回應與零狀態回應2．全回應分解為自由回應與強迫回應3．全回應分解為暫態回應與穩態回應1．全回應分解為零輸入回應與零狀態回應全回應可以分解為零輸入回應與零狀態回應之和，即：2．全回應分解為自由回應與強迫回應自由回應又稱固有回應，它反映了系統本身的特性，取決於系統的特徵根；強迫回應又稱強制回應，是與激勵相關的回應。利用經典法可以直接求得自由回應與強迫回應，強迫回應即特解先求得系統的零輸入回應和零狀態回應，並獲得系統的全回應；然後利用系統特性與自由回應、激勵與強迫回應的關係可以間接得到自由回應和強迫回應。3．全回應分解為暫態回應與穩態回應全回應還可以分解為暫態回應與穩態回應之和，即：

（a）

（b）圖2-8系統回應的過渡過程示意圖返回本節2.3沖激回應與階躍回應2.3.1沖激回應2.3.2階躍回應返回首頁2.3.1沖激回應以單位沖激信號作為激勵，LTI連續系統產生的零狀態回應稱為單位沖激回應，簡稱沖激回應，記為。圖2-9沖激回應示意圖1．由系統的微分方程求解沖激回應系統的一般微分方程為：

2.3.1沖激回應表2-3

一階系統沖激回應形式對照表表2-4

二階系統沖激回應形式對照表2．由階躍回應求解沖激回應以單位階躍信號作為激勵，LTI連續系統產生的零狀態回應稱為單位階躍回應，簡稱階躍回應，記為。階躍激勵與階躍回應的關係簡單地表示為：

或

2.3.1沖激回應圖2-10一階系統模擬框圖返回本節由系統框圖寫出輸入與輸出關係為：2.3.1沖激回應3．由系統的框圖來求系統的沖激回應2.3.2階躍回應理論上，可以利用與沖激回應的關係來求階躍回應，即：圖2-11階躍回應示意圖圖2-12階躍回應的測試返回本節2.4卷積與零狀態回應2.4.1任意信號的分解2.4.2卷積與零狀態回應2.4.3卷積的圖解法2.4.4卷積的性質返回首頁2.4.1任意信號的分解返回本節圖2-13任意信號的分解2.4.2卷積與零狀態回應圖2-14零狀態條件下的系統框圖表2-5

常用信號卷積表返回本節2.4.3卷積的圖解法卷積圖解法是借助於圖形計算卷積積分的一種基本計算方法。從幾何意義來說，卷積積分是相乘曲線下的面積。卷積的一般公式為：圖解法具體步驟為：2.4.3卷積的圖解法圖2-15兩個時限信號

“置換”

“反褶”

“平移”1

“平移”2“平移”3“平移”4“平移”5圖2-16卷積圖解過程示意圖圖2-17卷積結果圖返回本節2.4.4卷積的性質1．交換律2．分配律圖2-18兩個子系統並聯2.4.4卷積的性質3．結合律4．卷積的微分與積分5．與任意信號的卷積2.4.4卷積的性質表2-6

卷積性質一覽表圖2-19混聯繫統

圖2-20脈衝信號

圖2-21脈衝信號自卷積結果圖2-22利用卷積的性質求脈衝信號自卷積返回本節本章小結（1）LTI連續系統是線性時不變連續時間系統的簡稱。（2）動態系統含有儲能元件，系統在某時刻的輸出不僅與該時刻的激勵有關，還與該時刻之前系統的儲能有關。（3）作用於零狀態系統產生的回應稱為單位沖激回應，作用於零狀態系統產生的回應稱為單位階躍回應。（4）LTI連續系統的數學模型是微分方程。（5）若干子系統有機聯接組成一個大的系統。

第3章連續時間信號與系統的頻域分析3.1週期信號的傅裏葉級數3.2週期信號的頻譜3.3非週期信號的傅裏葉變換3.4傅裏葉變換的基本性質3.5週期信號的傅裏葉變換3.6頻域系統函數3.7連續系統的頻域分析3.8抽樣定理本章學習目標通過本章的學習，應達到以下要求：（1）掌握週期信號和非週期信號頻譜的概念及信號頻帶寬度的概念。（2）熟悉傅裏葉變換的主要性質。（3）熟悉系統函數和頻域分析法。（4）掌握抽樣定理。（5）瞭解信號無失真傳輸和信號通過理想濾波器的概念。3.1週期信號的傅裏葉級數3.1.1三角函數形式的傅裏葉級數3.1.2指數形式的傅裏葉級數返回首頁3.1.1

三角函數形式的傅裏葉級數若一個連續時間信號f(t)是週期的，則它可以表示為：3.1.1

三角函數形式的傅裏葉級數當f(t)滿足狄裏赫利條件

時，週期信號f(t)才能展開成傅裏葉級數。3.1.1

三角函數形式的傅裏葉級數傅裏葉係數：3.1.1

三角函數形式的傅裏葉級數三角函數形式的傅裏葉級數的另外一種形式：例3-23.1.1

三角函數形式的傅裏葉級數

狄裏赫利（Dirichlet）條件是：（1）在一週期內，如果有間斷點存在，則間斷點的數目應是有限個；（2）在一週期內，極大值和極小值的數目應是有限個；（3）在一週期內，信號滿足絕對可積。返回本節3.1.2

指數形式的傅裏葉級數歐拉公式：

3.2週期信號的頻譜3.2.1週期信號的頻譜3.2.2週期信號頻譜的特點及頻帶寬度返回首頁3.2.1

週期信號的頻譜1．單邊頻譜

2．雙邊頻譜1．單邊頻譜

若週期信號的傅裏葉展開式為：1．單邊頻譜對應的幅度頻譜和相位頻譜稱為單邊頻譜。

（a）單邊幅度頻譜

（b）單邊相位頻譜週期信號的單邊頻譜2．雙邊頻譜若週期信號的傅裏葉展開式為：

（a）雙邊幅度頻譜（b）雙邊相位頻譜圖3-4週期信號的雙邊頻譜3.2.2週期信號頻譜的特點及頻帶寬度1．週期信號頻譜的特點2．週期信號的頻帶寬度3．典型週期信號的傅裏葉級數和頻譜特點1．週期信號頻譜的特點（1）離散性。（2）諧波性。（3）收斂性。2．週期信號的頻帶寬度週期矩形脈衝信號的波形

2．週期信號的頻帶寬度若將週期矩形脈衝信號展開為指數形式的傅裏葉級數，則(a)(b)不同值下周期矩形脈衝信號的頻譜3．典型週期信號的傅裏葉級數和頻譜特點返回本節3.3非週期信號的傅裏葉變換3.3.1傅裏葉變換3.3.2非週期信號的頻譜3.3.3典型信號的傅裏葉變換返回首頁3.3.1

傅裏葉變換1．從傅裏葉級數到傅裏葉變換

2．傅裏葉變換存在的條件1．從傅裏葉級數到傅裏葉變換

1．從傅裏葉級數到傅裏葉變換2．傅裏葉變換存在的條件傅裏葉變換時並未遵循數學上的嚴格步驟。一般來說，傅裏葉變換存在的充分條件是：返回本節3.3.2非週期信號的頻譜

（a）幅度頻譜

（b）相位頻譜非週期信號的頻譜返回本節3.3.3

典型信號的傅裏葉變換1．門函數（矩形脈衝）2．單邊指數函數3．單位沖激函數4．直流信號5．單位階躍函數1．門函數（矩形脈衝）1．門函數（矩形脈衝）

（a）門函數

（b）門函數的頻譜門函數及其頻譜2．單邊指數函數單邊指數函數的表示式為：

頻譜函數為：2．單邊指數函數即：其幅度頻譜和相位頻譜分別為：（a）單邊指數函數

（b）單邊指數函數的頻譜單邊指數函數及其頻譜3．單位沖激函數根據傅裏葉變換的定義，並應用單位沖激函數的抽樣性質，得：即：

（a）單位沖激函數

（b）單位沖激函數的頻譜單位沖激函數及其頻譜4．直流信號設直流信號：它不滿足絕對可積條件，因此不能用傅裏葉積分式求傅裏葉變換。但由傅裏葉反變換式可以求得沖激函數在時域的原函數為：即：

（a）直流信號

（b）直流信號的頻譜直流信號及其頻譜5．單位階躍函數單位階躍函數表示為：顯然，它不滿足絕對可積條件，但可以採用取極限的方法求出它的傅裏葉變換。

（a）單位階躍函數

（b）單位階躍函數的頻譜單位階躍函數及其頻譜表3-3典型信號的傅裏葉變換及頻譜圖續表返回本節3.4傅裏葉變換的基本性質3.4.1線性3.4.2對稱性3.4.3尺度變換3.4.4時移特性3.4.5頻移特性3.4.6卷積定理3.4.7時域微分和時域積分3.4.8頻域微分和頻域積分返回首頁3.4.1線性若，，則返回本節3.4.2對稱性若，則：

證明

由傅裏葉反變換式得：即：（a）門函數及其頻譜（b）抽樣函數及其頻譜

返回本節3.4.3尺度變換若，則：若a>0，f(t)被壓縮；若0<a<1，f(t)被展寬。如果a<0，則f(t)被反褶並被壓縮或被展寬。

（a）（b）（c）尺度變換性質的說明返回本節3.4.4時移特性若，則：為常數。例：3.4.5頻移特性若，則：

為常數。信號若在時域乘以因數，則對應於頻域其頻譜沿軸搬移。同理可得：（a）門函數及其頻譜（b）高頻脈衝信號及其頻譜

高頻脈衝信號的頻譜返回本節3.4.6卷積定理1．時域卷積定理若，，則：例3-16（a）時域卷積運算（b）頻域相乘運算例圖3.4.6卷積定理2．頻域卷積定理若則：例3-18（a）時域相乘運算（b）頻域卷積運算例圖返回本節3.4.7時域微分和時域積分1．時域微分若，則：推廣到n階導數有：1．時域微分若，則：

（a）原信號（b）原信號的一階導數

（c）原信號的二階導數例圖

（a）原信號

（b）恒定分量

（c）時限信號

例圖3.4.7時域微分和時域積分2．時域積分若，則：

（a）門函數（b）門函數的積分例圖返回本節3.4.7時域微分和時域積分3.4.8頻域微分和頻域積分1．頻域微分若，則：推廣到n階導數有：2．頻域積分若，則3.4.8頻域微分和頻域積分表3-4

傅裏葉變換的主要性質返回本節3.5週期信號的傅裏葉變換返回首頁3.5週期信號的傅裏葉變換根據頻移特性：3.5週期信號的傅裏葉變換所以：

（a）週期單位沖激序列

（b）週期單位沖激序列的頻譜圖3-24例3-14圖

（a）週期矩形脈衝

（b）週期矩形脈衝的頻譜圖3-25例3-15圖返回本節3.6頻域系統函數3.6.1系統函數的定義3.6.2系統函數的求解方法返回首頁3.6.1

系統函數的定義為系統函數，或稱系統頻率回應。3.6.2系統函數的求解方法（1）當給定激勵和零狀態回應時，根據定義求解（2）當已知系統的單位沖激回應h(t)時，由其傅裏葉變換求解，即3.6.2系統函數的求解方法（3）當給定系統電路模型時，根據電路理論的基本定理和基本分析方法（諸如疊加定理、戴維南定理、網孔分析法及節點分析法等），用相量法求解。（4）當給定系統的微分方程時，對其取傅裏葉變換，再求得。

圖3-28例3-16圖圖3-29例3-16的頻率特性圖3-30例3-16的頻域模型返回本節3.7連續系統的頻域分析3.7.1複指數信號的回應3.7.2非正弦週期信號的回應3.7.3非週期信號的回應3.7.4無失真傳輸及其條件3.7.5理想低通濾波器及其回應返回首頁3.7.1複指數信號的回應對於LTI系統，若有單位沖激回應h(t)信號為：則根據時域分析可知，系統的零狀態回應為：

返回本節3.7.2非正弦週期信號的回應1．頻域分析法2．相量法1．頻域分析法對於週期為t1正弦週期信號x(t)展開為：

2．相量法對於週期為t1的非正弦週期信號x(t)，還可以展開為：

（a）週期方波信號（b）RC電路圖3-31例3-17圖返回本節3.7.3非週期信號的回應1．連續時間LTI系統零狀態回應的頻域求解

2．電網絡的頻域求解

1．連續時間LTI系統零狀態回應的頻域求解通常LTI系統激勵與回應的關係可以用常係數線性微分方程來描述。通過對微分方程取傅裏葉變換，則可以將時域微分方程的求解轉變為頻域代數方程的求解，即2．電網絡的頻域求解電網絡是由放大器、加法器、電阻、電容和電感等線性單元電路和器件組成的。運用電路分析中的相量法，通過電網絡的頻域電路模型可以很方便地得出激勵與回應的頻域關係式，即通過部分分式展開法求出回應的時域解。

（a）矩形脈衝信號（b）RC電路圖3-32例3-20圖（a）矩形脈衝信號及其幅頻特性曲線（b）RC低通電路的沖激回應及其幅頻特性曲線

（c）RC低通電路的回應及其幅頻特性曲線圖3-33矩形脈衝信號通過RC低通電路返回本節3.7.4無失真傳輸及其條件1．時域無失真傳輸的條件無失真傳輸是指線性系統輸出回應y(t)的波形與輸入激勵x(t)的波形完全相同，其幅度大小可以不同，時間前後有所差異，即：圖3-34LTI系統的無失真傳輸2．頻域無失真傳輸的條件對式（3-73）兩邊取傅裏葉變換，並利用時移特性，可得

所以無失真傳輸系統的系統函數為：2．頻域無失真傳輸的條件由此可得，系統無失真傳輸的條件為：無失真傳輸系統的頻譜特性（a）原信號

（b）幅度失真

（c）相位失真圖3-36信號的幅度失真和相位失真（a）時域電路模型

（b）頻域電路模型圖3-37例3-21圖返回本節3.7.5理想低通濾波器及其回應1．理想低通濾波器的沖激回應2．理想低通濾波器的階躍回應1．理想低通濾波器的沖激回應由於系統函數為系統沖激回應h(t)的傅裏葉變換，因而，理想低通濾波器的沖激回應為：圖3-39理想低通濾波器的沖激回應2．理想低通濾波器的階躍回應若理想低通濾波器的輸入是一個單位階躍信號u(t)，則其回應為階躍回應g(t)。根據時域分析可知，階躍回應g(t)可以通過對沖激回應的積分而得到，即：圖3-40理想低通濾波器的階躍回應返回本節3.8抽樣定理3.8.1連續信號的時域抽樣定理3.8.2從抽樣信號恢復連續時間信號返回首頁3.8.1連續信號的時域抽樣定理1．信號的抽樣

2．抽樣定理

1．信號的抽樣

連續時間信號f(t)抽樣的工作原理如圖3-41所示。圖3-41信號的抽樣

抽樣器相當於一個定時開關，它每隔一個週期ts閉合一次，每次閉合時間為t，從而得到樣值信號fs(t)。

圖3-42抽樣開關信號

圖3-43抽樣模型2．抽樣定理

圖3-44理想抽樣（a）信號及其頻譜（b）信號及其頻譜（c）抽樣信號及其頻譜

理想抽樣與頻譜分析返回本節3.8.2從抽樣信號恢復連續時間信號信號在抽樣時必須滿足抽樣定理的條件是3.8.2從抽樣信號恢復連續時間信號從頻域的角度上講，濾波器輸出的頻譜為：

圖3-46抽樣信號頻譜的混疊現象

圖3-47理想低通濾波器的頻率特性圖3-48由抽樣信號的頻譜過濾出原信號的頻譜圖3-49由抽樣信號恢復原信號返回本節本章小結（1）任意連續的週期信號在滿足狄裏赫利條件下，都可以展開為傅裏葉級數。

（2）非週期信號在滿足絕對可積條件下，可以看作無限多個幅度無限小的複指數諧波之和，而其中每一個諧波分量的複振幅為

（3）傅裏葉變換的性質更進一步地揭示了信號在產生、傳輸及處理的過程中，時域特性與頻域特性的內在關係，從而奠定了信號與系統的理論基礎。（4）系統函數等於系統零狀態回應的頻譜函數與系統輸入激勵的頻譜函數之比。它取決於系統自身的結構及組成系統元件的參數，反映了系統在頻域中的固有傳輸特性。（5）頻域分析法把系統的激勵和回應關係應用傅裏葉變換從時域變換到頻域

。（6）系統的無失真傳輸和濾波從理想系統頻率特性的角度研究並分析了系統的特性，得出了重要的結論，即無失真傳輸的條件及系統通頻帶寬度。（7）抽樣定理從理論上解決了對連續時間信號進行抽樣後仍然能夠保持原有攜帶資訊不發生改變這一重要問題，成為現代通信技術的理論基礎。第4章

連續時間信號與系統的複頻域分析4.1拉普拉斯變換4.2單邊拉氏變換的性質4.3單邊拉氏反變換4.4連續系統的複頻域分析4.5系統函數H(s)4.6系統函數的零、極點分佈與時域回應特性的關係4.7系統的穩定性4.8系統函數與系統頻率特性4.1拉普拉斯變換4.1.1從傅裏葉變換到拉普拉斯變換4.1.2拉普拉斯變換的收斂域4.1.3常用信號的單邊拉氏變換返回首頁4.1.1從傅裏葉變換到拉普拉斯變換由第3章已知，當函數f(t)滿足狄裏赫利條件時，便存在一對傅裏葉變換式：返回本節4.1.2

拉普拉斯變換的收斂域連續時間信號f(t)的拉普拉斯變換（以下簡稱拉氏變換）式f(s)是否存在，取決於f(t)乘以衰減因數以後是否絕對可積，即：圖4-1收斂域的劃分圖4-2右邊指數衰減信號與其收斂域圖4-3左邊指數增長信號與其收斂域圖4-4雙邊信號與其收斂域返回本節4.1.3

常用信號的單邊拉氏變換1．單位階躍信號2．單位沖激信號3．指數信號4．正弦信號5．t的正冪信號1．單位階躍信號即：2．單位沖激信號即：3．指數信號即：4．正弦信號即：5．t的正冪信號利用分部積分法，得：所以：表4-1

常用信號的拉氏變換返回本節4.2單邊拉氏變換的性質4.2.1線性4.2.2時移（延時）特性4.2.3尺度變換4.2.4頻移特性4.2.5時域微分定理4.2.6時域積分定理4.2.7頻域微分定理4.2.8頻域積分定理4.2.9初值定理4.2.10終值定理4.2.11卷積定理返回首頁4.2.1線性返回本節4.2.2時移（延時）特性

（a）

（b）

（c）（d）

（e）圖4-5幾種時移情況4.2.3尺度變換4.2.4頻移特性返回本節4.2.5時域微分定理

（a）三角脈衝

（b）三角脈衝的一階導數

（c）三角脈衝的二階導數圖4-7三角脈衝及其導數返回本節4.2.6時域積分定理4.2.7頻域微分定理返回本節4.2.8頻域積分定理返回本節4.2.9初值定理例：4.2.10終值定理例：4.2.11卷積定理1．時域卷積定理

2．複頻域卷積定理

1．時域卷積定理

2．複頻域卷積定理

返回本節4.3單邊拉氏反變換4.3.1查表法4.3.2部分分式展開法返回首頁

4.3.1查表法返回本節查表得：所以：4.3.2部分分式展開法4.3.2部分分式展開法返回本節4.4連續系統的複頻域分析4.4.1用拉氏變換法分析系統4.4.2用拉氏變換法分析電路返回首頁4.4.1

用拉氏變換法分析系統首先對描述系統輸入輸出關係的微分方程進行拉氏變換，得到一個代數方程求出的回應象函數包含了零輸入回應和零狀態回應再經過拉氏反變換可以很方便地得到零輸入回應、零狀態回應和全回應的時域解。例4-18

描述LTI系統的微分方程為：

4.4.2

用拉氏變換法分析電路1．電阻元件的s域電路模型2．電容元件的s域電路模型3．電感元件的s域電路模型4．用拉氏變換法分析電路1．電阻元件的s域電路模型電阻元件的時域伏安關係為：

對上式取拉氏變換，得：

（a）時域電路模型

（b）s域電路模型圖4-8電阻元件時域與s域電路模型2．電容元件的s域電路模型電容元件的時域伏安關係為：

（a）時域電路模型

（b）s域串聯電路模型

（c）s域並聯電路模型圖4-9電容元件時域與s域電路模型3．電感元件的s域電路模型（a）時域電路模型

（b）s域串聯電路模型

（c）s域並聯電路模型圖4-10電感元件時域與s域電路模型4．用拉氏變換法分析電路得到一般電路的s域模型;應用電路的基本分析方法（節點法、網孔法等）和定理（如疊加定理、戴維南定理等），列出複頻域的方程;求解得到回應的象函數;對象函數進行拉氏反變換，即得出回應的時域解。（a）時域電路模型

（b）s域電路模型圖4-11例4-20圖圖4-12例4-21圖

（a）s域全回應電路模型

（b）s域零輸入回應電路模型

（c）s域零狀態電路模型圖4-13s域電路模型返回本節4.5系統函數H(s)4.5.1系統函數的定義4.5.2系統函數的求解方法返回首頁4.5.1

系統函數的定義4.5.2

系統函數的求解方法（a）時域電路模型

（b）s域電路模型圖4-16例4-23圖返回本節4.6系統函數的零、極點分佈與時域回應特性的關係4.6.1系統函數的零、極點與零、極點圖4.6.2系統函數的零、極點分佈與時域回應特性的關係返回首頁4.6.1

系統函數的零、極點與零、極點圖LTI連續系統的系統函數h(s)通常是複變數的有理分式，即：

例如某系統的系統函數為：4.6.1

系統函數的零、極點與零、極點圖圖4-17h(s)的零、極點分佈圖返回本節4.6.2

系統函數的零、極點分佈與時域回應特性的關係1．左半平面極點2．虛軸上極點3．右半平面極點圖4-18h(s)零、極點分佈與時域回應特性的關係返回本節

4.7系統的穩定性4.7.1穩定系統的定義4.7.2系統穩定的條件返回首頁4.7.1穩定系統的定義一個連續系統，如果對於任意有界輸入產生的零狀態回應也是有界的，則稱該系統為穩定系統。即對於一個穩定系統，若輸入信號：則輸出回應：返回本節4.7.2系統穩定的條件1．時域的穩定條件

2．頻域的穩定條件

1．時域的穩定條件

設連續時間系統的輸入信號x(t)滿足|x(t)|≤Mx，則系統的零狀態回應：或寫成：2．頻域的穩定條件

（1）穩定系統

（2）不穩定系統

（3）臨界穩定系統

（a）時域電路模型

（b）域電路模型圖4-19例4-24圖圖4-20例4-25圖返回本節4.8系統函數與系統頻率特性4.8.1頻率特性4.8.2頻率特性的向量作圖法返回首頁4.8.1頻率特性系統在正弦信號激勵的作用下，穩態回應隨著激勵信號頻率的變化特性，稱為系統的頻率特性。包括幅度隨頻率變化而變化的幅頻特性和相位隨頻率變化而變化的相頻特性。

4.8.1頻率特性下麵從系統函數的觀點來考察系統的正弦穩態回應及頻率特性。設系統函數為h(s)，正弦激勵信號為，其拉氏變換為：4.8.1頻率特性則系統回應的拉氏變換為：返回本節4.8.2頻率特性的向量作圖法向量作圖法是根據系統函數h(s)在s平面的零、極點分佈繪製的頻率回應特性曲線，包括幅頻特性曲線和相頻特性曲線。設穩定的因果系統，其系統函數為：

4.8.1頻率特性系統的頻率特性為：圖4-21零點與極點的向量表示

圖4-22例4-26電路圖

圖4-23例4-26電路頻率特性分析（a）幅頻特性曲線（b）相頻特性曲線圖4-24一階RC高通濾波器的頻率特性曲線返回本節本章小結（1）拉氏變換是傅裏葉變換的進一步推廣，它描述了信號時域與複頻域之間的對應關係，可以用於分析更為廣泛的信號與系統，是分析線性系統強有力的工具。

（2）拉氏變換的性質反映了信號的時域特性與複頻域特性之間的密切關係。（3）複頻域分析法將時域微分方程的求解變換為s域代數方程的求解，從而使解決問題的方法變得簡單。

（4）系統函數h(s)是系統回應的象函數y(s)與系統激勵的象函數x(s)之比。

（5）從系統函數h(s)的零、極點分佈可以很方便地確定系統時域沖激回應的特性、系統的穩定性和系統的頻率特性，因此系統函數成為系統分析和綜合設計的依據。第5章

離散時間信號與系統的時域分析5.1離散時間信號的基本概念5.2離散信號的運算與變換5.3離散系統的基本概念5.4線性時不變離散系統的回應5.5離散系統的單位樣值回應5.6離散卷積與零狀態回應5.1離散時間信號的基本概念5.1.1離散時間信號的描述5.1.2基本離散信號5.1.3基本離散信號的特性返回首頁5.1.1離散時間信號的描述離散時間信號是指僅在不連續的離散時刻有確定函數值的信號，也稱離散序列。時間上離散的數據在時域內表示為離散時間信號，其只在離散時刻才有定義。圖5-1由連續時間信號到離散時間信號返回本節5.1.2基本離散信號1．單位樣值信號（單位樣值序列）2．單位階躍序列u(n)可以看成是u(t)的抽樣信號5.1.2基本離散信號u(n-k)是移位的單位階躍序列5.1.2基本離散信號圖5-2單位樣值信號

圖5-3移位單位樣值信號

圖5-4單位階躍序列

圖5-5移位單位階躍序列3．單位斜變序列R(n)

可以看成是單位斜變信號R(t)的抽樣信號5.1.2基本離散信號4．矩形序列又稱門函數序列5.1.2基本離散信號

圖5-6單位斜變序列

圖5-7矩形序列5．單邊指數序列5.1.2基本離散信號

（a）衰減指數序列

（b）增長指數序列

（c）單位階躍序列

（d）振盪衰減指數序列

（e）振盪增長指數序列

（f）等幅振盪序列圖5-8指數序列5.1.2基本離散信號圖5-9週期正弦序列之一圖5-10週期正弦序列之二圖5-11非週期正弦序列7．複指數序列與連續複指數函數相似利用歐拉公式將其展開為正弦序列，即：返回本節5.1.2基本離散信號5.1.3基本離散信號的特性（2）U(n)與R(n)的關係：

2．用來表示任意離散信號f(n)5.1.3基本離散信號的特性圖5-12例5-1圖5.1.3基本離散信號的特性返回本節5.2離散信號的運算與變換5.2.1相加5.2.2相乘5.2.3差分5.2.4求和5.2.5反褶5.2.6移位5.2.7尺度變換返回首頁5.2.1相加返回本節5.2.2相乘與信號相加運算一致，信號相乘運算也要在對應時刻進行。例5-2中兩離散信號的相乘結果為

返回本節5.2.3差分離散信號的差分運算分為前向差分和後向差分兩種。離散信號f(n)的前向差分運算為：離散信號f(n)的後向差分運算為：

返回本節5.2.4求和信號的求和運算是對某一離散信號進行歷史推演求和過程。F(n)的求和運算為圖5-14信號求和示意圖返回本節5.2.5反褶返回本節圖5-16反褶信號5.2.6移位返回本節圖5-17左移位信號

圖5-18右移位信號5.2.7尺度變換

（a）壓縮信號

（b）擴展信號圖5-19信號的尺度變換返回本節5.3離散系統的基本概念5.3.1離散系統5.3.2線性時不變（LTI）系統5.3.3離散系統的數學模型5.3.4離散系統的模擬返回首頁5.3.1離散系統離散時間系統，簡稱離散系統，此類系統的輸入信號是離散信號，輸出也是離散信號。圖5-20離散系統框圖5.3.2線性時不變（LTI）系統1．離散系統的線性特性2．離散系統的時不變特性1．離散系統的線性特性2．離散系統的時不變特性圖5-21時不變離散系統返回本節5.3.3離散系統的數學模型1．一階離散系統數學模型的建立2．二階離散系統數學模型的建立1．一階離散系統數學模型的建立連續系統完成的功能也可以用數字系統來近似實現;以一階連續系統為例來獲得一階離散系統的數學模型。圖5-22RC電路

根據電路理論有：2．二階離散系統數學模型的建立圖5-23梯形電阻網路二階離散系統的數學模型為：

返回本節5.3.4離散系統的模擬1．離散系統的基本單元2．離散系統的模擬1．離散系統的基本單元加法器：其輸入與輸出關係表示為：標量乘法器：其輸入與輸出關係表示為：

延時器：其輸入與輸出關係表示為：

1．離散系統的基本單元2．離散系統的模擬若一階系統的差分方程為：則有：圖5-27一階離散系統模擬框圖圖5-28二階離散系統模擬框圖圖5-29例5-5圖返回本節5.4線性時不變離散系統的回應5.4.1迭代法5.4.2經典法5.4.3零輸入回應與零狀態回應返回首頁5.4.1迭代法1．迭代法求差分方程的邊界條件2．迭代法求解差分方程返回本節5.4.2經典法描述n階系統的後向差分方程為：3．全解y(n)系統的全解，即系統的全回應為：

返回本節5.4.3零輸入回應與零狀態回應1．零輸入回應

回應形式分為以下兩種情況：（1）當特徵根為單根時，零輸入回應為：（2）當特徵根中有K重根，其餘為（N-K）個單根時，零輸入回應為：

表5-2

零輸入回應形式對照表此時系統的初始狀態:返回本節5.5離散系統的單位樣值回應5.5.1單位樣值回應5.5.2單位階躍回應返回首頁5.5.1單位樣值回應圖5-30單位樣值回應若離散系統的差分方程為：

1．迭代法例5-13

離散系統的差分方程為：5.5.1單位樣值回應2．經典法若離散系統的差分方程為：所以有：5.5.1單位樣值回應（1）一階離散系統的單位樣值回應。若一階離散系統的差分方程為：（2）二階離散系統的單位樣值回應。5.5.1單位樣值回應圖5-31例5-15圖表5-3單位樣值回應形式對照表

返回本節5.5.2單位階躍回應返回本節5.6離散卷積與零狀態回應5.6.1離散卷積和5.6.2卷積和的性質5.6.3零狀態回應返回首頁5.6.1離散卷積和1．離散卷積和定義

2．解析法求解離散卷積和3．圖解卷積和

1．離散卷積和定義

2．解析法求解離散卷積和表5-4

卷積求和常用公式表5-5

常用信號卷積和3．圖解卷積和

離散信號的圖解卷積和與連續信號的圖解卷積積分類似。此種方法便於確定求和的上下限，尤其適用於簡單序列的卷積和運算；其缺點是不易得到閉合函數形式。圖5-32例5-18圖其圖解卷積步驟如下：“置換”

“反褶”“移位”1（）

“移位”2（）

“移位”3（）

“移位”3（）

“移位”4（）

“移位”5（）

“移位”6（）

“移位”7（）圖5-33圖解卷積過程圖5-34卷積結果返回本節5.6.2卷積和的性質1．交換律2．分配律3．結合律4．序列與任意序列的卷積和5．U(n)與任意序列的卷積和

圖5-35子系統並聯

圖5-36子系統級聯圖5-37利用卷積性質求卷積表5-6

離散卷積和性質一覽表返回本節5.6.3零狀態回應返回本節本章小結（1）基本離散時間信號包括單位樣值信號、單位階躍序列、單位斜變序列、矩形序列、單邊指數序列、正弦序列和複指數序列等

（2）離散信號的運算與變換包括相加、相乘、差分、求和、反褶、移位和尺度變換等。

（3）LTI離散系統是線性時不變離散時間系統的簡稱。（4）作用於零狀態系統產生的回應稱為單位樣值回應h(n)，u(n)作用於零狀態系統產生的回應稱為單位階躍回應g(n)。

5）動態離散系統的全回應可以分解為零輸入回應與零狀態回應，還可以分解為自由回應與強迫回應，在一定條件下也可以分解為暫態回應與穩態回應。

第6章離散時間信號與系統的z域分析6.1離散信號的z變換6.2單邊z變換的性質6.3z反變換6.4離散系統的z域分析6.5系統函數H(z)6.6系統函數零、極點分佈與時域回應特性的關係6.7s域與z域的關係6.8離散系統的穩定性6.9離散系統的頻率特性本章學習目標（1）掌握z變換與z反變換。（2）掌握離散系統的z域分析方法。（3）掌握離散系統函數。（4）熟悉z變換的主要性質。（5）熟悉離散系統函數零、極點的概念。（6）瞭解離散系統穩定性和頻率回應特性的概念。

6.1離散信號的z變換6.1.1z變換的定義6.1.2z變換的收斂域6.1.3常用基本離散序列的單邊z變換返回首頁6.1.1z變換的定義1．從拉氏變換到z變換2．z反變換式

1．從拉氏變換到z變換2．z反變換式

根據複變函數中的柯西定理：返回本節6.1.2z變換的收斂域

圖6-1例6-1圖

圖6-2例6-2圖

圖6-3例6-3圖返回本節6.1.3常用基本離散序列的單邊z變換1．指數序列即：2．單位階躍序列u(n)即：3．單位沖激序列

即：即：用同樣的方法可得：表6-1常用離散序列的z變換對返回本節6.2單邊z變換的性質6.2.1線性6.2.2移位6.2.3z域尺度變換（序列指數加權）6.2.4Z域微分（序列線性加權）6.2.5初值定理6.2.6終值定理6.2.7時域卷積定理返回首頁6.2.1線性返回本節6.2.2移位1．右移位

2．左移位

1．右移位

設f(n)是雙邊序列，其單邊z變換為f(z)，則對於任意正整數m，有：2．左移位

設f(n)是雙邊序列，其單邊z變換為f(z)