福建省漳州市龙海市2023年数学九上期末经典试题含解析

福建省漳州市龙海市2023年数学九上期末经典试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b＝0；③a﹣b+c＝0；④5a＜b．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法错误的是（）．A．众数是6吨 B．平均数是5吨 C．中位数是5吨 D．方差是3．完全相同的6个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为n、m的大矩形，则图中阴影部分的周长是（）A．6（m﹣n） B．3（m+n） C．4n D．4m4．已知关于x的方程x2﹣2x+3k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜ B．k＜﹣ C．k＜3 D．k＞﹣35．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=1．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A． B． C． D．6．若，则的值为（）A． B． C． D．﹣7．如图，A、D是⊙O上的两点，BC是直径，若∠D＝40°，则∠ACO＝（）A．80° B．70° C．60° D．50°8．一个不透明的袋子中装有21个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同，若小英每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小英发现摸到红球的频率逐渐稳定于1．4，则小英估计袋子中白球的个数约为（）A．51 B．31 C．12 D．89．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（）A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或610．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A＝130°，则∠BDC的度数为（）A．100° B．105° C．110° D．115°二、填空题(每小题3分,共24分)11．设O为△ABC的内心，若∠A=48°，则∠BOC=____°．12．计算sin60°tan60°－cos45°cos60°的结果为______．13．如图，的直径垂直弦于点，且，，则弦__________．14．如图，为外一点，切于点，若，，则的半径是______.15．把一元二次方程x（x+1）=4（x﹣1）+2化为一般形式为_____．16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ADC＝60°，∠B＝30°，若CD＝3cm，则BD＝_____cm．17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG、AF分别交DE于点M和点N，则线段MN的长为_____．18．如图，在中若，，则__________，__________．三、解答题(共66分)19．（10分）（1）解方程：（2）如图，是等腰直角三角形，是斜边，将绕点逆时针旋转后，能与重合，如果，那么的长等于多少？20．（6分）已知二次函数y=ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D，（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．21．（6分）车辆经过某市收费站时，可以在4个收费通道A、B、C、D中，可随机选择其中的一个通过．（1）车辆甲经过此收费站时，选择A通道通过的概率是；（2）若甲、乙两辆车同时经过此收费站，请用列表法或树状图法确定甲乙两车选择不同通道通过的概率．22．（8分）将一元二次方程化为一般形式，并求出根的判别式的值．23．（8分）已知△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．请解答以下问题：（1）按要求作图：先将△ABO绕原点O逆时针旋转90°得△OA1B1，再以原点O为位似中心，将△OA1B1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA2B2；（2）直接写出点A1的坐标，点A2的坐标．24．（8分）一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果被分割的两个三角形相似，我们被称为该对角线为相似对角线．（1）如图1，正方形的边长为4，E为的中点，，连结.，求证：为四边形的相似对角线．（2）在四边形中，，，，平分，且是四边形的相似对角线，求的长．（3）如图2，在矩形中，，，点E是线段（不取端点A．B）上的一个动点，点F是射线上的一个动点，若是四边形的相似对角线，求的长．（直接写出答案）25．（10分）如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EFC，∠ACE的平分线CD交EF于点D，连接AD、AF．（1）求∠CFA度数；（2）求证：AD∥BC．26．（10分）校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少米？

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【解析】由图象与x轴有交点，可以推出b2-4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；由对称轴为x=-b2a=-1可以判定②错误；由x=-1时，y>0，可知③错误．把x＝1，x＝﹣【详解】①∵图象与x轴有交点，对称轴为x＝-b2a＝﹣1，与y轴的交点在又∵二次函数的图象是抛物线，∴与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故本选项正确，②∵对称轴为x＝-b2a＝﹣∴2a＝b，∴2a-b＝0，故本选项错误，③由图象可知x＝﹣1时，y>0，∴a﹣b+c>0，故本选项错误，④把x＝1，x＝﹣3代入解析式得a+b+c＝0，9a﹣3b+c＝0，两边相加整理得5a+c＝b，∵c>0,即5a＜b，故本选项正确．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图像与各系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．2、C【解析】试题分析：根据众数、平均数、中位数、方差：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．数据：3,4,5,6,6,6，中位数是5.5，故选C考点：1、方差；2、平均数；3、中位数；4、众数3、D【详解】解：设小长方形的宽为a，长为b，则有b=n-3a，阴影部分的周长：2(m-b)+2(m-3a)+2n=2m-2b+2m-6a+2n=4m-2(n-3a)-6a+2n=4m-2n+6a-6a+2n=4m．故选D．4、A【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．【详解】解：∵关于x的方程x2﹣2x+3k＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×3k＞0，解得：k＜．故选A．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．5、C【解析】试题解析：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选C．点睛：相似三角形的判定：两组角对应相等，两个三角形相似.两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似.三组边对应成比例，两个三角形相似.6、C【分析】将变形为﹣1，再代入计算即可求解．【详解】解：∵，∴＝﹣1＝﹣1＝．故选：C．【点睛】考查了比例的性质，解题的关键是将变形为．7、D【分析】根据圆周角的性质可得∠ABC=∠D,再根据直径所对圆周角是直角,即可得出∠ACO的度数．【详解】∵∠D＝40°，∴∠AOC＝2∠D＝80°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC＝(180°﹣∠AOC)＝50°，故选：D．【点睛】本题考查圆周角的性质,关键在于熟练掌握圆周角的性质,特别是直径所对的圆周角是直角．8、B【分析】设白球个数为个，白球数量袋中球的总数=1-14=1.6，求得【详解】解：设白球个数为个，根据题意得，白球数量袋中球的总数=1-14=1.6，所以，解得故选B【点睛】本题主要考查了用评率估计概率.9、D【解析】以AB为对角线将图形补成长方形，由已知可得缺失的两部分面积相同，即3×6=x×(9-x)，解得x=3或x=6，故选D.【点睛】本题考查了正方形的性质，图形的面积的计算，准确地区分和识别图形是解题的关键．10、B【解析】根据圆内接四边形的性质得出∠C的度数，进而利用平行线的性质得出∠ABC的度数，利用角平分线的定义和三角形内角和解答即可．【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=130°，

∴∠C=180°-130°=50°，

∵AD∥BC，

∴∠ABC=180°-∠A=50°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBC=25°，

∴∠BDC=180°-25°-50°=105°，

故选：B．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，关键是根据圆内接四边形的性质得出∠C的度数．二、填空题(每小题3分,共24分)11、1【详解】解：∵点O是△ABC的内切圆的圆心，故答案为1．12、1【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．【详解】解：原式=1【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．13、【分析】先根据题意得出⊙O的半径，再根据勾股定理求出BE的长，进而可得出结论．【详解】连接OB，∵，，∴OC＝OB＝（CE＋DE）＝5，∵CE＝3，∴OE＝5−3＝2，∵CD⊥AB，∴BE＝＝．∴AB＝2BE＝．故答案为：．【点睛】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．14、1【分析】由题意连接OA，根据切线的性质得出OA⊥PA，由已知条件可得△OAP是等腰直角三角形，进而可求出OA的长，即可求解．【详解】解：连接OA，∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°，∵∠APO=45°，∴OA=PA=1，故答案为：1．【点睛】本题考查切线的性质即圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，连接过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．15、x2﹣3x+2=1．【分析】按照去括号、移项、合并同类项的步骤化为ax2+bx+c=1的形式即可.【详解】x2+x=4x﹣4+2，x2﹣3x+2=1．故答案为：x2﹣3x+2=1．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=1（a≠1）．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.16、1【分析】根据30°直角三角形的比例关系求出AD,再根据外角定理证明∠DAB=∠B,即可得出BD=AD．【详解】∵∠B＝30°，∠ADC＝10°，∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝30°，∴AD＝BD，∵∠C＝90°，∴∠CAD＝30°，∴BD＝AC＝2CD＝1cm，故答案为：1．【点睛】本题考查30°直角三角形的性质、外交定理,关键在于熟练掌握基础知识并灵活运用．17、．【分析】根据三角形的面积公式求出BC边上的高＝3，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长为2，根据等于高之比即可求出MN．【详解】解：作AQ⊥BC于点Q．∵AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，∴BC＝AB＝6，∵AQ⊥BC，∴BQ＝QC，∴BC边上的高AQ＝BC＝3，∵DE＝DG＝GF＝EF＝BG＝CF，∴DE：BC＝1：3又∵DE∥BC，∴AD：AB＝1：3，∴AD＝，DE＝AD＝2，∵△AMN∽△AGF，DE边上的高为1，∴MN：GF＝1：3，∴MN：2＝1：3，∴MN＝．故答案为.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大，作辅助线AQ⊥BC是解题的关键．18、40°100°【分析】根据等边对等角可得，根据三角形的内角和定理可得的度数．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：40°，100°．【点睛】本题考查等边对等角及三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）＝1，＝5；（2）2【详解】（1）解：（x﹣1）（x﹣5）＝0x﹣1＝0或x﹣5＝0∴，，（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝90°，∵△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，∴AP＝AP′，∠PAP′＝∠BAC＝90°，∴△APP′为等腰直角三角形，∴PP′＝AP＝2.【点睛】本题考查了解一元二次方程，等腰直角三角形，旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质．20、（2）抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2．（2）证明见解析；（2）点P坐标为（，）或（2，2）．【解析】试题分析：（2）将A（﹣2，0）、C（0，2），代入二次函数y=ax2+bx﹣2a，求得a、b的值即可确定二次函数的解析式；（2）分别求得线段BC、CD、BD的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；（2）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．试题解析：（2）∵二次函数y=ax2+bx﹣2a经过点A（﹣2，0）、C（0，2），∴将A（﹣2，0）、C（0，2），代入，得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2；（2）如图，连接DC、BC、DB，由y=﹣x2+2x+2=﹣（x﹣2）2+4得，D点坐标为（2，4），∴CD==，BC==2，BD==2，∵CD2+BC2=（）2+（2）2=20，BD2=（2）2=20，∴CD2+BC2=BD2，∴△BCD是直角三角形；（2）y=﹣x2+2x+2对称轴为直线x=2．假设存在这样的点P,①以CD为底边，则P2D=P2C，设P2点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P2C2=x2+（2﹣y）2，P2D2=（x﹣2）2+（4﹣y）2，因此x2+（2﹣y）2=（x﹣2）2+（4﹣y）2，即y=4﹣x．又P2点（x，y）在抛物线上，∴4﹣x=﹣x2+2x+2，即x2﹣2x+2=0，解得x2=，x2=＜2，(不满足在对称轴右侧应舍去），∴x=，∴y=4﹣x=，即点P2坐标为（，）．②以CD为一腰，∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x=2对称，此时点P2坐标为（2，2）．∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，2）．考点：2.二次函数图象性质；2.等腰三角形性质；2.直角三角形的判定.21、（1）；（2），图见解析【分析】（1）根据概率公式即可得到结论；（2）画出树状图即可得到结论．【详解】（1）共有4种可能，所以选择A通道通过的概率是.故答案为：，（2）两辆车为甲，乙，如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，∴选择不同通道通过的概率==．故答案为（1）；（2），图见解析【点睛】本题考查了概率公式中的等可能概型，和利用树状图解决实际问题，正确画出树状图是本题的关键．22、，-8【分析】先移项，将方程化为一般式，然后算判别式的大小可得．【详解】解：将方程化为一般形式为:∴a=3,b=－2,c=1∴根的判别式的值为．【点睛】本题考查一元二次方程的化简和求解判别式，注意此题的判别式为负数，即表示方程无实数根．23、(1)见解析；（2）点A1的坐标为：（﹣1，3），点A2的坐标为：（2，﹣6）．【解析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用（1）中所画图形进而得出答案．【详解】（1）如图所示：△OA1B1，△OA2B2，即为所求；（2）点A1的坐标为：（﹣1，3），点A2的坐标为：（2，﹣6）．【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．24、（1）见解析（2）或；（1）或或1【分析】（1）根据已知中相似对角线的定义，只要证明△AEF∽△ECF即可；

（2）AC是四边形ABCD的相似对角线，分两种情形：△ACB△ACD或△ACB△ADC，分别求解即可；

（1）分三种情况①当△AEF和△CEF关于EF对称时，EF是四边形AECF的相似对角线．②取AD中点F，连接CF，将△CFD沿CF翻折得到△CFD′，延长CD′交AB于E，则可得出EF是四边形AECF的相似对角线．③取AB的中点E，连接CE，作EF⊥AD于F，延长CB交FE的延长线于M，则可证出EF是四边形AECF的相似对角线．此时BE=1；【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD=4，

∵E为的中点，，∴AE=DE=2，∵∠A=∠D=90°，

∴△AEF∽△DCE，

∴∠AEF=∠DCE，∵∠DCE+∠CED=90°，

∴∠AEF+∠CED=90°，

∴∠FEC=∠A=90°，∴△AEF∽△ECF，

∴EF为四边形AECF的相似对角线．（2）∵平分，∴∠BAC=∠DAC=60°∵AC是四边形ABCD的相似对角线，

∴△ACB△ACD或△ACB△ADC

①如图2，当△ACB△ACD时，此时，△ACB≌△ACD∴AB=AD=1，BC=CD，

∴AC垂直平分DB，

在Rt△AOB中，∵AB=1，∠ABO=10°，②当△ACB△ADC时，如图1∴∠ABC=∠ACD∴AC2=AB•AD，

∵,∴6=1AD，

∴AD=2，

过点D作DHAB于H在Rt△ADH中，∵∠HAD=60°，AD=2，在Rt△BDH中，综上所述，的长为：或（1）①如图4，当△AEF和△CEF关于EF对称时，EF是四边形AECF的相似对角线，

设AE=EC=x，

在Rt△BCE中，∵EC2=BE2+BC2，

∴x2=（6-x）2+42，

解得x=，

∴BE=AB-AE=6-=．

②