(人教A版2019选择性必修第一册)高二数学上册数学同步精讲 2.4.2圆的一般方程（精练）（原卷版+解析）

2.4.2圆的一般方程（精练）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．2．已知实数x，y满足，则x的最大值是（

）A．3 B．2 C．1 D．以上答案都不对3．三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是（

）A． B．C． D．4．已知方程表示的圆中，当圆面积最小时，此时（

）A．-1 B．0 C．1 D．25．已知点在圆的外部，则的取值范围是（）A． B． C． D．6．已知直线将圆平分，且与直线垂直，则直线的方程为（

）A． B． C． D．7．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为，则下列说法错误的是（

）A．轨迹的方程为B．在轴上存在异于的两点，使得C．在上存在点，使得D．当三点不共线时，射线是的角平分线8．已知圆的圆心到直线的距离为，若，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．若方程表示一个圆，则的取值可能为（

）A． B． C． D．10．对于，直线恒过定点P，则（

）A．以P为圆心，半径为的圆的一般方程是B．以P为圆心，半径为的圆的一般方程是C．点P的坐标为D．点P的坐标为三、填空题11．若圆关于直线和直线都对称，则D＋E的值为_________．12．已知分别是，上的两个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为_____________.四、解答题13．已知的三个顶点分别为，求：(1)边中线所在的直线方程(2)的外接圆的方程14．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3).(1)若P(a，a＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；(2)求MQ的最大值和最小值；(3)若M(m，n)，求的最大值和最小值．B能力提升1．已知点，，若圆上存在点，使得，则实数的最大值是（

）A．4 B．5 C．6 D．72．已知圆过点，点在圆上，则面积的最大值为（

）A．100 B．25 C．50 D．3．（多选）已知圆，点是圆上的动点，则（

）A．圆关于直线对称B．直线与圆相交所得弦长为C．的最大值为D．的最小值为4．（多选）实数，满足，则下列关于的判断正确的是（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为5．已知，点P在直线上，点Q在圆C：上，则的最小值是______．C综合素养1．已知关于，的二元二次方程．（1）当在什么范围内取值时，方程表示圆？（2）当为何值时，方程表示的圆的半径最大？求出半径最大时圆的方程．2．已知圆，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径长为，求（1）圆C的一般方程（2）圆C关于线的对称圆方程.3．已知方程表示圆，其圆心为C.（1）求该圆半径r的取值范围；（2）求圆心C的轨迹方程；（3）若，线段的端点A的坐标为，端点B在圆C上运动，求线段中点M的轨迹方程.2.4.2圆的一般方程（精练）A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B由，得，由该曲线表示圆，可知，解得或，故选：B.2．已知实数x，y满足，则x的最大值是（

）A．3 B．2 C．1 D．以上答案都不对【答案】C由，则圆心为，半径为，所以x的最大值出现在圆心的正右方，点位置，故最大值是1.故选：C3．三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是（

）A． B．C． D．【答案】B设圆的一般方程为，因为，，在这个圆上，所以有，故选：B4．已知方程表示的圆中，当圆面积最小时，此时（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B由，得，易知当，圆的半径最小，即圆的面积最小.故选：B5．已知点在圆的外部，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D由点在圆外知，即，解得，又为圆，则，解得，故.故选：D.6．已知直线将圆平分，且与直线垂直，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C因为直线将圆平分，所以直线过圆心，因为直线与直线垂直，假设直线的方程为，将代入得：，所以直线的方程为.故选：C7．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，点满足.设点的轨迹为，则下列说法错误的是（

）A．轨迹的方程为B．在轴上存在异于的两点，使得C．在上存在点，使得D．当三点不共线时，射线是的角平分线【答案】C对于选项A，设，由，得，化简得，因此A正确；对于选项B，假设在轴上存在异于的两点，使得，设，，则，化简得，因为，所以，因此，解得或（舍），即在轴上存在异于的两点，使得，故B正确；对于选项C，若在上存在点，使得，设，则，化简得，与联立，方程组无解，故在上不存在点，使得，因此C错；对于选项D，当，，三点不共线时，，可知射线是的角平分线，故D正确.故选：C.8．已知圆的圆心到直线的距离为，若，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D由题意，知圆心坐标为(1，4)，圆心到直线的距离为，则，解得或因为，所以所以，且，则，当且仅当时取“="，即的最小值为．故选：D二、多选题9．若方程表示一个圆，则的取值可能为（

）A． B． C． D．【答案】ACD解：方程表示一个圆，需满足，或，根据选项可知答案为A、C、D.故选：ACD.10．对于，直线恒过定点P，则（

）A．以P为圆心，半径为的圆的一般方程是B．以P为圆心，半径为的圆的一般方程是C．点P的坐标为D．点P的坐标为【答案】BC直线可化为：，令，解得，所以直线过定点，即点，所以以P为圆心，半径为的圆的一般方程是，即，故选：BC三、填空题11．若圆关于直线和直线都对称，则D＋E的值为_________．【答案】4圆的圆心为，因为圆关于直线和直线都对称，所以圆心在直线上，也在直线上，所以，解得，所以，故答案为：412．已知分别是，上的两个动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为_____________.【答案】5如图，圆是圆关于直线的对称圆，所以圆的方程为，圆心为，且由图知，五点共线时，有最小值，此时，所以的最小值为5.故答案为：5.四、解答题13．已知的三个顶点分别为，求：(1)边中线所在的直线方程(2)的外接圆的方程【答案】(1)(2)(1)设的中点为，则所在直线的斜率为，则边所在直线的方程为，即．(2)设的外接圆的方程为，由，解之可得故的外接圆的方程为．14．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3).(1)若P(a，a＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；(2)求MQ的最大值和最小值；(3)若M(m，n)，求的最大值和最小值．【答案】(1)，的斜率为(2)MQ的最大值为，最小值为(3)的最大值为、最小值为(1)因为点P(a，a＋1)在圆C上，所以，即，解得，所以，所以，的斜率为.(2)由得，所以圆的圆心，半径，所以，所以，.(3)设，因为表示圆上任意一点与连线的斜率，则直线的方程为，即，由直线与圆有交点，可得，化简得，解得，所以的最大值为、最小值为.B能力提升1．已知点，，若圆上存在点，使得，则实数的最大值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C圆即为：，其圆心为（3，4），半径为1，设AB的中点为M，因为点，，所以M（0，0），以AB为直径的圆的方程为：，，若圆上存在点，使得，则圆C与圆M有公共点，即，解得，所以实数的最大值是6.故选：C2．已知圆过点，点在圆上，则面积的最大值为（

）A．100 B．25 C．50 D．【答案】D设圆的方程为，将代入可得，，解得.故圆的一般方程为，即，故的面积.面积的最大值为.故选：.3．（多选）已知圆，点是圆上的动点，则（

）A．圆关于直线对称B．直线与圆相交所得弦长为C．的最大值为D．的最小值为【答案】AC圆标准方程是，，半径为，易得点在直线上，A正确；点到直线的距离为，弦长为，B错；由得代入圆的方程整理得，，，所以的最大值是，C正确；，，所以的最小值是，D错误．故选：AC．4．（多选）实数，满足，则下列关于的判断正确的是（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为【答案】CD由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆，则为圆上的点与定点的斜率的值，设过点的直线为，即，则圆心到到直线的距离，即，整理可得，解得，所以，即的最大值为，最小值为.故选：CD.5．已知，点P在直线上，点Q在圆C：上，则的最小值是______．【答案】8因为圆C：，故圆C是以为圆心，半径的圆，则圆心到直线的距离，故直线和圆相离，点A坐标满足，A在圆外，设点关于直线的对称点为，故，解得，故，则,连接交圆C于Q，交直线于P,由对称性可知:,当且仅当共线时，取等号，故答案为：8C综合素养1．已知关于，的二元二次方程．（1）当在什么范围内取值时，方程表示圆？（2）当为何值时，方程表示的圆的半径最大？求出半径最大时圆的方程．【答案】（1）；（2）时方程表示的圆的半径最大，半径最大的圆的方程为（1）若方程表示圆，则整理可得：，解得：；（2）由可得：，设圆的半径为，则，所以当时，，所以，此时圆的方程为，即.综上所述：当时方程表示的圆的半径最大，半径最大的圆的方程为：.2．已知圆，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径长为，求（1）圆C的一般方程（2）圆C关于线的对称圆方程.【答案】（1）；（2）．（1）圆的标准方程为，圆心为，半径为，所以，解得或，又圆心在第二象限，所以，圆的一般方程为；（2）由（1）圆心为，设它关于直线的对称点为，则，解得．所以对