江苏省苏州市工业园区五校联考2023届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

;2022-2023学年江苏省苏州市工业园区五校联考九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）1．tan45°的值等于（）A． B． C．1 D．2．已知二次函数y＝2（x﹣3）2+1，下列说法错误的是（）A．开口向上 B．顶点坐标为（3，1） C．最小值为1 D．与y轴交点为（0，1）3．下列关于一元二次方程2x2﹣2＝5x根的情况说法正确的是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根4．抛物线y＝﹣x2+2x﹣c过A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3）三点．则将y1，y2，y3，从小到大顺序排列是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y15．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，如果BD＝9，DC＝5，cosB＝，E为AC的中点，那么sin∠EDC的值为（）A． B． C． D．6．在同一坐标系下，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+1的图象大致可能是（）A． B． C． D．7．定义符合min{a，b}的含义为：当a＞b时，min{a，b}＝b；当a＜b，min{a，b}＝a，如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（）A．0 B．1 C． D．8．对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（）A．＞1 B．0＜＜1 C．＞1 D．0＜＜1二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．抛物线y＝5（x﹣4）2+3的顶点坐标是．10．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则9m﹣6m2+1的值为．11．2022年，北京成功举办第24届冬季奥运会后，很多学校都开展了冰雪项目的学习活动如．图，一位同学乘滑雪板沿坡度为i＝1：2的斜坡滑行30米，则他下降的高度为米．12．已知实数a，b，c满足a≠0，且a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，则抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为．13．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为．14．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故．一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援．海警船大约需小时到达事故船C处，（sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE＝5，连接CE，P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动，在整个运动过程中，阴影部分面积S1+S2的最小值为．16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，n的取值范围是．三、解答题（本大题共10小题，共82分）17．解方程：（1）（x﹣1）2＝3x﹣3（2）4x2﹣3x＝1．18．计算：2sin60°+cos45°﹣tan30°．19．已知二次函数y＝x2+6x+k﹣1（k是常数）．（1）如果该二次函数的图象经过原点，求k的值；（2）如果该二次函数的图象顶点在x轴上，求k的值．20．已知关于x的方程x2+kx+k﹣2＝0．（1）求证：不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根为x＝﹣2，求k的值及方程另一个根．21．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．例如：方程x2﹣x＝0的两个根是x1＝0，x2＝1，则方程x2﹣x＝0是“邻根方程”．（1）请通过计算，判断方程x2﹣x+1＝0是否是“邻根方程”；（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．22．若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如表：x﹣10123y03430（1）求这个二次函数的表达式：（2）二次函数y＝ax2+bx+c图像上有两点P（m，yP），Q（n，yQ），①已知yP＝yQ，当x＝m+n时，求y的值；②当n＝4时，yP＜yQ，求m的取值范围．23．图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是其侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂）．已知基座高度MN为0.5米，主臂MP长为3米，主臂伸展角α的范围是：0°＜α≤60°，伸展臂伸展角β的范围是：45°≤β≤135°．当α＝45°时（如图3），伸展臂PQ恰好垂直并接触地面．求：（1）伸展臂PQ长为多少米？（2）挖掘机能挖的最远处距点N的距离为多少米？24．某电商销售一款秋季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件．为了庆祝二十大的胜利召开，未来30天，这款时装将开展“喜迎二十大，每天降1元”的促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．（1）这30天内该电商第几天的利润最大？最大利润是多少？（2）为了回馈社会，在这30天内，该电商决定每销售一件时装，向希望工程捐a元（a＞0）．要使每天捐款后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，求a的取值范围．25．如图，直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，BC＝3，（1）若AD＝1，AB＝m，在AB边上存在唯一的P点使得∠DPC＝90°，①求m的值；②PC的垂直平分线交CD于Q点，求DQ的长；（2）延长BA、CD交于点E，点F在BE上，且∠BCF＝∠E，若tan∠ECF＝，求BF的长．26．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于C点，顶点为M，直线MD⊥x轴于点D．（1）当a＞0时，知OC＝MD，求AB的长；（2）当a＜0时，若OC＝OB，tan∠ACB＝2，求抛物线的解析式；

参考答案一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）1．解：tan45°＝1，故选：C．2．解：抛物线y＝2（x﹣3）2+1中a＞0，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（3，1），∴当x＝3时，y有最小值1，把x＝0时，y＝19，∴抛物线与y轴交点为（0，19），故D错误；故选：D．3．解：2x2﹣5x﹣2＝0，因为Δ＝（﹣5）2﹣4×2×（﹣2）＝41＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：B．4．解：∵y＝﹣x2+2x﹣c＝﹣（x﹣1）2+1﹣c，∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，∵A（﹣1，y1）关于直线x＝1的对称点是（3，y1），且1＜2＜3＜5，∴y2＞y1＞y3，即y3＜y1＜y2．故选：C．5．解：在Rt△ABD中，cosB＝＝，BD＝9，∴AB＝BD＝15，由勾股定理得AD＝＝＝12，在Rt△ADC中，由勾股定理得AC＝＝＝13，∵E为AC中点，∴ED＝EC＝AC＝，∴sin∠EDC＝sinC＝＝．故选：C．6．解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＜0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项正确；B、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＜0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项错误．故选：A．7．解：联立，解得，，所以，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．故选：D．8．解：由题意关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），就是关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）与直线y＝﹣2的交点的横坐标，画出函数的图象草图如下：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣5，∴x3＜x1＜﹣5，由图象可知：0＜＜1一定成立，故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．解：∵y＝5（x﹣4）2+3是抛物线解析式的顶点式，∴顶点坐标为（4，3）．故答案为（4，3）．10．解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，∴2m2﹣3m＝1，∴9m﹣6m2+1＝﹣3（2m2﹣3m）+1＝﹣3+1＝﹣2．故答案为：﹣2．11．解：设他下降的高度AC为x米，∵斜坡的坡度为i＝1：2，∴这位同学滑行的是水平距离BC为2x米，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即x2+（2x）2＝302，解得：x＝±6（负值舍去），∴他下降的高度为6米，故答案为：6．12．解：∵a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，∴抛物线经过点（﹣1，0）和（3，0），∴对称轴为直线x＝＝1．故答案为：直线x＝1．13．解：如图：连接DE，由题意得：AB∥DE，∴∠APC＝∠EDC，在△DCE中，CD2＝22+42＝20，CE2＝12+22＝5，DE2＝32+42＝25，∴CD2+CE2＝DE2，∴△DCE是直角三角形，∴∠DCE＝90°，∴cos∠CDE＝＝，∴cos∠APC＝cos∠CDE＝，故答案为：．14．解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D，在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AC＝80，∴CD＝AC＝40，在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝90°﹣37°＝53°，∴BC＝≈＝50（海里），∴海警船到达事故船C处所需的时间大约为：50÷40＝（小时）．故答案为：．15．解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，∴AB＝＝25，设PD＝x，AB边上的高为h，则h＝＝12，∵PD⊥AC，∴PD∥BC，∴△ADP∽△ACB，∴，即，∴AD＝x，PA＝x，∴S1+S2＝×x•x+×（25﹣5﹣x）×12＝x2﹣10x+120＝（x﹣）2+，∴x＝，S1+S2的值最小为＝82.5，故答案为：82.5．16．解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点A（1，﹣4），令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x﹣3，①如图1，当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1+h）2﹣4+h，设直线BA的解析式为y＝k'x+b'，∴，解得，∴y＝x﹣5，联立方程组，整理得x2﹣（3﹣2h）x+h2﹣h+2＝0，当Δ＝0时，（3﹣2h）2﹣4（h2﹣h+2）＝0，解得h＝，此时抛物线的顶点为（，﹣），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；②如图2，当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，∴平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣1﹣k）2﹣4﹣k，当抛物线经过点B时，（2﹣1﹣k）2﹣4﹣k＝﹣3，解得k＝0（舍）或k＝3，此时抛物线的顶点坐标为（4，﹣7），此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点，当抛物线的顶点为（1，﹣4）时，平移后的抛物线与射线BA有两个公共点，∴综上所述：1＜n≤4或n＝．故答案为：1＜n≤4或n＝．三、解答题（本大题共10小题，共82分）17．解：（1）（x﹣1）2＝3x﹣3，（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0．（x﹣1）（x﹣1﹣3）＝0，（x﹣1）（x﹣4）＝0，x﹣1＝0或x﹣4＝0，解得x1＝1，x2＝4；（2）4x2﹣3x＝1，4x2﹣3x﹣1＝0，（4x+1）（x﹣1）＝0，4x+1＝0或x﹣1＝0，解得，x2＝1．18．解：原式＝2×+×﹣＝+1．19．解：（1）∵二次函数y＝x2+6x+k﹣1的图象经过原点，∴k﹣1＝0，解得k＝1；（2）根据题意得：＝＝0，解得k＝10．20．【解答】（1）证明：Δ＝k2﹣4（k﹣2）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4．∵（k﹣2）2≥0，∴（k﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，∴不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根；（2）将x＝﹣2代入原方程得4﹣2k+k﹣2＝0，解得：k＝2，∴方程的另一个根为﹣k﹣（﹣2）＝﹣2﹣（﹣2）＝0．答：k的值为2，方程的另一个根为0．21．解：（1）解方程x2﹣x+1＝0得：x＝或x＝，∵﹣＝1，∴方程x2﹣x+1＝0是“邻根方程”；（2）由方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0解得：x＝m或x＝﹣1，由于关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，则m﹣（﹣1）＝1或﹣1﹣m＝1，解得m＝0或﹣2．22．解：（1）∵x＝﹣1，y＝0；x＝3，y＝0，∴抛物线解析式可设为y＝a（x+1）（x﹣3），∵x＝0，y＝3，∴a×（0+1）×（0﹣3）＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x2+2x+3；（2）①∵当x＝m和x＝n时函数y的值相等，而抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，∴m+n＝﹣2，当x＝m+n时，y＝﹣（﹣2+1）（﹣2﹣3）＝﹣5．②∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∴Q（4，yQ）关于对称轴的对称点为（﹣6，yQ），∵yP＜yQ，∴m的取值范围是m＜﹣6或m＞4．23．解：（1）过点M作MH⊥PQ，垂足为Q，则HQ＝MN＝0.5米，在Rt△PHM中，∠PMH＝45°，PM＝3米，∴PH＝PM•sin45°＝3×＝3（米），∴PQ＝PH+HQ＝3+0.5＝3.5（米），∴伸展臂PQ长为3.5米；（2）当∠QPM＝135°时，过点Q作QA⊥PM，交MP的延长线于点A，连接QM，∴∠APQ＝180°﹣∠QPM＝45°，在Rt△APQ中，PQ＝3.5米，∴AQ＝PQ•sin45°＝3.5×＝（米），AP＝PQ•cos45°＝3.5×＝（米），∵PM＝3米，∴AM＝AP+PM＝（米），在Rt△AQM中，QM＝＝＝（米），在Rt△QMN中，QN＝＝＝（米），∴挖掘机能挖的最远处距点N的距离为米，24．解：（1）设销售利润为w元，销售时间为x天，由题意可知，w＝（110﹣x﹣40）（4x+20），＝﹣4x2+260x+1400，＝﹣4（x﹣32.5）2+5625，∵a＝﹣5＜0，∴函数有最大值，∴当x＝30时，w取最大值为w＝﹣4×302+260×30+1400＝5600元，∴第30天的利润最大，最大利润是5600元；（2）设未来30天每天获得的利润为y，时间为t天，根据题意，得y＝（110﹣40﹣t）（20+4t）﹣（20+4t）a，化简，得y＝﹣4t2+（260﹣4a）t+1400﹣20a，每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，∴﹣＞29.5，解得，a＜6，又∵a＞0，即a的取值范围是：0＜a＜6．25．解：（1）①如图1中，∵在AB边上存在唯一的P点使得∠DPC＝90°，∴以CD为直径的⊙O与AB相切于点P，连接OP．∴OP⊥AB，∵∠A＝∠B＝90°，∴DA⊥AB，CB⊥AB，∴AD∥OP∥CB，∵OD＝OC，∴AP＝PB，∴OP＝（AD+BC）＝2，∵∠DPC＝90°，OD＝OC，∴CD＝2OP＝4，过点D作DT⊥CB于点T，则四边形ABTD是矩形，∴AB＝DT，AD＝B