新教材2023版高中数学第三章排列组合与二项式定理3.1排列与组合3.1.1基本计数原理第2课时基本计数原理的应用课件新人教B版选择性必修第二册

第2课时基本计数原理的应用新知初探·自主学习课堂探究·素养提升[课标解读]

能够结合具体实例，识别和理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其作用，并能够运用这些原理解决简单的实际问题．新知初探·自主学习【教材要点】知识点分类加法计数原理和分步乘法计数原理的联系与区别

分类加法计数原理分步乘法计数原理联系两个原理回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题区别一完成一件事共有n类办法，关键词是“________”完成一件事共分n个步骤，关键词是“________”区别二每类办法都能完成这件事任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有每个步骤都完成了，才能完成这件事区别三各类办法都是互斥的、并列的、独立的各步之间是相互关联的、互相依存的分类分步【基础自测】1.由1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数为________．2．(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4)展开后共有________项．2436解析：由题意知可以组成没有重复数字的三位数的个数为4×3×2＝24.解析：该展开式中每一项的因式分别来自a1＋a2＋a3，b1＋b2＋b3，c1＋c2＋c3＋c4中的各一项．由a1，a2，a3中取一项共3种取法，从b1，b2，b3中取一项有3种不同取法，从c1，c2，c3，c4中任取一项共4种不同的取法．由分步乘法计数原理知，该展开式共3×3×4＝36(项).3．[2022·北京高二课时练]我校科技楼共有5层，每层均有两个楼梯，由一楼到五楼的走法有(

)A．10种 B．16种C．25种 D．32种答案：B解析：走法共分四步：一层到二层2种，二层到三层2种，三层到四层2种，四层到五层2种，一共24＝16种．4．有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有(

)A．96种 B．24种C．120种

D．12种答案：A解析：先排第1道，有4种排法，第2，3，4，5道各有4，3，2，1种，由分步乘法计数原理知共有4×4×3×2×1＝96种．课堂探究·素养提升题型1抽取(分配)问题例1

(1)3名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同的报名方案有________种．64解析：每名同学都有4种不同的报名方案，共有4×4×4＝64种不同的报名方案．(2)某地政府召集5家企业的负责人召开扶贫会议，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(

)A．14

B．16

C．20

D．48答案：B解析：按题意分成两类：第一类：甲企业有1人发言，有2种情况，另两个发言人出自其余4家企业，有6种情况，由分步乘法计数原理知有N1＝2×6＝12(种)情况；第二类：3人全来自其余4家企业，有N2＝4(种)情况．综上可知，共有N＝N1＋N2＝12＋4＝16(种).方法归纳求解抽取(分配)问题的方法1．当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法．2．当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．跟踪训练1

(1)将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有(

)A．53种

B．35种

C．8种

D．15种答案：B解析：每封信均有3种不同的投法，所以依次把5封信投完，共有3×3×3×3×3＝35种投法．(2)某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地．①推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？②每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？③从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？解析：①分三类，第一类是从一班的8名优秀团员中产生，有8种不同的选法；第二类是从二班的10名优秀团员中产生，有10种不同的选法；第三类是从三班的6名优秀团员中产生，有6种不同的选法．由分类加法计数原理可得，共有N＝8＋10＋6＝24(种)不同的选法．②分三步：第一步从一班的8名优秀团员中选1名小组长，有8种不同的选法；第二步从二班的10名优秀团员中选1名小组长，有10种不同的选法；第三步是从三班的6名优秀团员中选1名小组长，有6种不同的选法．由分步乘法计数原理可得，共有N＝8×10×6＝480(种)不同的选法．③分三类：每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中各选1人，有8×10种不同的选法；第二类是从二班、三班的优秀团员中各选1人，有10×6种不同的选法；第三类是从一班、三班的优秀团员中各选1人，有8×6种不同的选法．因此，共有N＝8×10＋10×6＋8×6＝188(种)不同的选法．题型2组数问题例2

用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的：(1)银行存折的四位密码？(2)四位整数？(3)比2000大的四位偶数？解析：(1)分步解决．第一步：选取左边第一个位置上的数字，有6种选取方法；第二步：选取左边第二个位置上的数字，有5种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有4种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有3种选取方法．由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有6×5×4×3＝360(个).(2)分步解决．第一步：首位数字有5种选取方法；第二步：百位数字有5种选取方法；第三步：十位数字有4种选取方法；第四步：个位数字有3种选取方法．由分步乘法计数原理知，可组成四位整数有5×5×4×3＝300(个).(3)方法一：按末位是0，2，4分为三类：第一类：末位是0的有4×4×3＝48个；第二类：末位是2的有3×4×3＝36个；第三类：末位是4的有3×4×3＝36个．则由分类加法计数原理有N＝48＋36＋36＝120(个).方法二：按千位是2，3，4，5分四类：第一类：千位是2的有2×4×3＝24(个)；第二类：千位是3的有3×4×3＝36(个)；第三类：千位是4的有2×4×3＝24(个)；第四类：千位是5的有3×4×3＝36(个).则由分类加法计数原理有N＝24＋36＋24＋36＝120(个).方法三：间接法．用0，1，2，3，4，5可以组成的无重复数字的四位偶数分两类：第一类：末位是0的有5×4×3＝60(个)；第二类：末位是2或4的有2×4×4×3＝96(个).共有60＋96＝156(个).其中比2000小的有：千位是1的共有3×4×3＝36(个)，所以符合条件的四位偶数共有156－36＝120(个).状元随笔(1)用分步乘法计数原理求解(1)问；(2)0不能作首位，优先排首位，用分步乘法计数原理求解；(3)可以按个位是0，2，4分三类，也可以按首位是2，3，4，5分四类解决，也可以用间接法求解．方法归纳1．对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解．2．解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则．跟踪训练2

由0，1，2，3这四个数字，可组成多少个：(1)无重复数字的三位数？(2)可以有重复数字的三位数？解析：(1)0不能做百位数字，所以百位数字有3种选择，十位数字有3种选择，个位数字有2种选择，所以无重复数字的三位数共有3×3×2＝18(个).(2)百位数字有3种选择，十位数字有4种选择，个位数字也有4种选择．由分步乘法计数原理知，可以有重复数字的三位数共有3×4×4＝48(个).题型3涂色问题例3

用3种不同颜色填涂图中A，B，C，D四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，(1)有多少种不同的涂色方案？(2)若恰好用3种不同颜色涂A，B，C，D四个区域，那么哪些区域必同色？把四个区域涂色，共有多少种不同的涂色方案？(3)若恰好用2种不同颜色涂完四个区域，则哪些区域必同色？共有多少种不同的涂色方案？ABCD解析：(1)涂A区有3种涂法，B，C，D区域各有2种不同的涂法，由分步乘法计数原理将A，B，C，D四个区域涂色共有3×2×2×2＝24(种)不同方案．(2)恰用3种不同颜色涂四个区域，则A，C区域，或A，D区域，或B，D区域必同色．由分类加法计数原理可得恰用3种不同颜色涂四个区域共3×2×1＋3×2×1＋3×2×1＝18(种)不同的方案．(3)若恰好用2种不同颜色涂四个区域，则A，C区域必同色，且B，D区域必同色．先从3种不同颜色中任取两种颜色，共3种不同的取法，然后用所取的2种颜色涂四个区域共2种不同的涂法．由分步乘法计数原理可得恰好用2种不同颜色涂四个区域共有3×2＝6(种)不同的涂色方案．方法归纳求解涂色(种植)问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：1．按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；2．以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；3．对于涂色问题，将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题．跟踪训练