2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 1-1分类加法计数原理1-2分步乘法计数原理 课件35张

第五章1.1分类加法计数原理1.2分步乘法计数原理基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测目录索引

课程标准1.通过实例,了解分类加法计数原理与分步乘法计数原理及其意义.2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题.基础落实·必备知识全过关知识点1

分类加法计数原理1.内容:完成一件事,可以有n类办法,在第1类办法中有m1种方法,在第2类办法中有m2种方法……在第n类办法中有mn种方法,那么,完成这件事共有N=

种方法.(也称“加法原理”)

2.特点:①完成一件事有若干种方法,这些方法可以分成n类,且类与类之间两两不交;

分类标准明确,做到不重不漏

②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事;③把各类的方法数

,就可以得到完成这件事的所有方法数.

m1+m2+…+mn相加

名师点睛1.定性:(1)明确原理中所指的“完成一件事”是什么事;(2)怎样才算完成这件事;(3)完成这件事可以有哪些办法.2.独立性:(1)完成这件事的n类办法是相互独立的;(2)每一类办法中的方法都可以单独完成这件事,不需要用到其他的方法.3.分类:这是利用分类加法计数原理解题的关键,分类必须明确标准,(1)每一种方法都必须属于某一类,不同类的任意两种方法是不同的;(2)每一类中的任意两种方法也不相同.过关自诊1.[人教A版教材习题]一项工作可以用2种方法完成,有5人只会用第1种方法完成,另有4人只会用第2种方法完成,从中选出1人来完成这项工作,不同选法的种数是

.

9解析

“从中选出1人完成工作”,不同的选法种数是5+4=9.2.[人教A版教材习题]在所有的两位数中,个位数字小于十位数字的有多少个?提示

第1类:当个位数字是0时,十位数字可以是1,2,…,9,所以有9个满足条件的两位数;第2类:当个位数字是1时,十位数字可以是2,3,…,9,所以有8个满足条件的两位数;依此类推:当个位数字是2,3,4,5,6,7,8时,满足条件的两位数分别有7,6,5,4,3,2,1个.由分类加法计数原理知,满足条件的两位数的个数为9+8+7+6+5+4+3+2+1=45.故个位数字小于十位数字的两位数共有45个.3.[人教A版教材习题]一个商店销售某种型号的电视机,其中本地的产品有4种,外地的产品有7种.要买1台这种型号的电视机,有多少种不同的选法?提示

这件事情是“买1台某种型号的电视机”,根据分类加法计数原理,选法有4+7=11(种).知识点2

分步乘法计数原理1.内容:完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么,完成这件事共有N=

种方法(也称“乘法原理”).

2.特点:①完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可;②完成每一步有若干方法;③把各个步骤的方法数

,就可以得到完成这件事的所有方法数.

这n个步骤都要完成

m1·m2·…·mn相乘

名师点睛1.定性:(1)明确原理中所指的“完成一件事”是什么事;(2)要经过几步才能完成这件事.2.相关性:(1)完成这件事需要分成若干个步骤;(2)只有每个步骤都完成了,才算完成这件事,缺少任一步骤,这件事都不可能完成.3.分步:这是利用分步乘法计数原理解题的关键,(1)准确确定分步的标准,一般地,分步的标准不同,分成的步骤数也会不同;(2)要注意各步骤之间必须连续;(3)各步骤之间既不能重复,也不能遗漏.过关自诊1.[人教A版教材习题]某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成,其中前4位的数字是不变的,后4位数字都是0~9之间的一个数字,这个电话局不同的电话号码最多有多少个?提示

要完成的一件事是“确定电话号码的后4位”.分四步完成,每一步都是从0到9这10个数字中取一个,根据分步乘法计数原理,这个电话局最多共有10×10×10×10=10

000(个)不同的电话号码.2.[人教A版教材习题]从5名同学中选出正、副组长各1名,有多少种不同的选法?提示

要完成的一件事是“从5名同学中选出正、副组长各1名”,分两步完成:第1步,选正组长,有5种方法;第2步,选副组长,有4种方法,所以共有5×4

=20(种)选法.3.[人教A版教材习题]由数字1,2,3,4,5可以组成多少个三位数(各位上的数字可以重复)?提示

分3步来解决.由于各位上的数字可重复,因此三位数中每一位都有5种取法,所以共可以组成5×5×5=125(个)三位数.重难探究·能力素养全提升探究点一分类加法计数原理【例1】

个位数字比十位数字大的两位数有多少个?解

(方法一)按个位数字分类,有以下几类:个位是9,则十位可以是1,2,3,…,8中的一个,故有8个;个位是8,则十位可以是1,2,3,…,7中的一个,故有7个;同理,个位是7的有6个;个位是6的有5个;……个位是2的有1个.由分类加法计数原理知,满足条件的两位数有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).(方法二)按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.由分类加法计数原理知,满足条件的两位数有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).规律方法

分类加法计数原理的示意图集合S共有m1+m2+…+mn个元素完成事件S共有m1+m2+…+mn种方法

变式训练1若a,b均属于{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解,则有序数对(a,b)的个数为(

)A.14 B.13 C.12 D.10B解析

因为a,b均属于{-1,0,1,2},可分为两类:①当a=0时,b可能为-1或0或1或2,即b有4种不同的选法;②当a≠0时,依题意得Δ=4-4ab≥0,所以ab≤1.当a=-1时,b有4种不同的选法;当a=1时,b可能为-1或0或1,即b有3种不同的选法;当a=2时,b可能为-1或0,即b有2种不同的选法.根据分类加法计数原理,有序数对(a,b)的个数为4+4+3+2=13.探究点二分步乘法计数原理【例2】

(1)已知x∈{1,2,4},y∈{-2,-3,5},则xy可表示不同的值的个数为(

)A.8 B.9 C.10 D.12B解析

x∈{1,2,4},y∈{-2,-3,5},从x中选1个值,从y中选1个值,共有3×3=9(种)运算结果,且没有相同的运算结果.(2)一个科技小组中有4名女同学和5名男同学,从中任选1人参加学科竞赛.不同的选派方法共有

种;若从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛,不同的选派方法共有

种.

920解析

根据分类加法计数原理知,从中任选1人参加学科竞赛,不同的选派方法共有4+5=9(种);由分步乘法计数原理知,从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛,不同的选派方法共有4×5=20(种).规律方法

利用分步乘法计数原理的解题流程

变式训练2(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每人必报一项,共有多少种报名方法?(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军(每项冠军只允许一人获得),共有多少种可能的结果?解

(1)要完成的是“4名同学每人从3个项目中选一项报名”这件事,因为每人必报一项,4名同学都报完才算完成,于是按人分步,且分为四步,又每人可在三项中选一项,选法为3种,所以共有3×3×3×3=81(种)报名方法.(2)要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事,因为每项冠军只能由一人获得,三项冠军都有得主,这件事才算完成,所以应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步,而每项冠军是4名同学中的某一人,有4种可能的情况,于是共有4×4×4=64(种)可能的情况.探究点三两个计数原理的综合应用【例3】

现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.(1)从中任选一幅画布置房间,有几种不同的选法?(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有几种不同的选法?(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有几种不同的选法?解

(1)从国画中选,有5种不同的选法;从油画中选,有2种不同的选法;从水彩画中选,有7种不同的选法.根据分类加法计数原理,共有5+2+7=14(种)不同的选法.(2)从国画、油画、水彩画各选一幅,分别有5种、2种、7种不同的选法,根据分步乘法计数原理,共有5×2×7=70(种)不同的选法.(3)第一类是一幅选自国画,一幅选自油画,由分步乘法计数原理知,有5×2=10(种)不同的选法;第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有5×7=35(种)不同的选法;第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有2×7=14(种)不同的选法.所以共有10+35+14=59(种)不同的选法.规律方法

1.在处理具体的应用题时,首先必须弄清是“分类”还是“分步”,其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么,选择合理的标准处理事件,关键是看能否独立完成这件事,避免计数的重复或遗漏.2.对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题,我们可以恰当地画出示意图或列出表格,使问题更加直观、清晰.3.明晰两个原理,进行正确运算,体现了数学运算的核心素养.变式训练3在7名学生中,有3名会下象棋但不会下围棋,有2名会下围棋但不会下象棋,另2名既会下象棋又会下围棋.现在从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛,共有多少种不同的选法?解

从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,有3×2=6(种)选法;从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,有3×2=6(种)选法;从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛,有2×2=4(种)选法;2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛,有2种选法.所以共有6+6+4+2=18(种)选法.所以共有18种不同的选