新教材2023版高中数学第一章空间向量与立体几何1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.2空间向量运算的坐标表示学生用书新人教A版选择性必修第一册

1.3.2空间向量运算的坐标表示[课标解读]1.掌握空间向量的坐标表示.2.掌握空间两点间距离公式.3.会用向量的坐标解决一些简单的几何问题．教材要点要点一空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量运算向量表示坐标表示加法a＋ba＋b＝__________________减法a－ba－b＝__________________数乘λaλa＝__________________数量积a·ba·b＝__________________状元随笔空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致．要点二空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则名称满足条件向量表示形式坐标表示形式a∥ba＝λb(λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)a⊥ba·b＝0a·b＝______________模|a|＝a|a|＝________________夹角cos〈a，b〉＝acos〈a，b〉＝a状元随笔a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a∥b，则x1x2＝y1y2＝z1z2要点三空间两点间的距离公式设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝|P1P2状元随笔(1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆．(2)若O(0，0，0)，P(x，y，z)，则|OP|＝x2基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)空间直角坐标系中，向量AB的坐标与终点B的坐标相同．()(2)“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．()(3)四边形ABCD是平行四边形，则向量AB与DC的坐标相同．()(4)设A(0，1，－1)，O为坐标原点，则OA＝(0，1，－1)．()2．已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－1，0，1)，则a＋2b＝()A．(－1，2，5)B．(－1，4，5)C．(1，2，5)D．(1，4，5)3．已知向量OA＝(1，0，1)，OB＝(2，1，－1)，那么向量AB＝()A．(3，1，0)B．(－1，－1，2)C．(1，1，－2)D．34．已知向量a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，则a·b＝()A．3B．4C．2D．65．在空间直角坐标系中，已知A(1，－2，3)，B(0，－1，2)，则AB的模为________．题型1空间向量的坐标运算例1(1)已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________；(2)若2a－b＝(2，－4，3)，a＋2b＝(1，3，－1)，则cos〈a，b〉＝________．方法归纳空间向量坐标运算的3类问题及解题方法巩固训练1(1)已知A(1，－2，0)和向量a＝(－3，4，12)，且AB＝2a，则点B的坐标为()A．(－7，10，24)B．(7，－10，－24)C．(－6，8，24)D．(－5，6，24)(2)已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，则a·(－2b)＝________，(a－b)·(2a－3b)＝________．题型2空间向量平行、垂直的坐标表示角度1由平行、垂直关系求参数例2已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝AB，b＝AC.(1)设|c|＝3，c∥BC，求c；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.方法归纳解答此类问题只需根据平行、垂直的条件建立方程(组)求解即可．巩固训练2(1)已知向量a＝(0，1，1)，b＝(1，－2，1)．若向量a＋b与向量c＝(m，2，n)平行，则实数n的值是()A．6B．－6C．4D．－4(2)已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，若ka＋b与b互相垂直，则实数k的值是________．角度2平行、垂直关系在立体几何证明中的应用例3在正方体ABCD­A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD，A1C1的中点．求证：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；(2)A1G⊥平面EFD.方法归纳对于一些以正方体、长方体或其他具备垂直关系的几何体作为载体的立体几何问题，可以优先考虑坐标法，这种方法的优点在于抛开了繁杂的推理论证，仅通过计算即可获得一些平行、垂直关系．巩固训练3如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF.题型3向量夹角与长度的计算例4如图，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，且PA＝AD＝2.(1)求M，N两点之间的距离；(2)求直线PA与MN所成的角．方法归纳利用空间向量的坐标运算求夹角、距离的步骤巩固训练4已知正三棱柱ABC­A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求三棱柱的侧棱长；(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值．易错辨析忽视两个向量夹角为锐角(钝角)的条件致误例5已知a＝(5，3，－1)，b＝(2，t，－25)，若a与b的夹角为锐角，求实数t解析：因为a，b的夹角为锐角，所以a·b>0，即10＋3t＋25>0，则t>－5215，又当夹角为0°时，存在λ>0，使b＝λ即(2，t，－25)＝λ(5，3，－1)，所以解得t＝65综上，实数t的取值范围是(－5215，65易错警示易错原因纠错心得由a与b的夹角为锐角，得到a·b>0，但当a·b>0时，a与b的夹角不一定为锐角，还可能是共线同向，夹角为0°，解题时容易忽视这个条件，导致扩大了参数的范围．空间向量a，b夹角为锐角的充要条件是“a·b>0，且a，b不同向”；a，b夹角为钝角的充要条件是“a·b<0，且a，b不反向”．如果在求解过程中，忽视两个向量共线的情况，就有可能扩大参数的取值范围，导致错误．1.3.2空间向量运算的坐标表示新知初探·课前预习要点一(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1＋a2b2＋a3b3要点二a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a要点三x[基础自测]1．(1)×(2)√(3)√(4)√2．解析：a＋2b＝(1，2，3)＋2(－1，0，1)＝(1，2，3)＋(－2，0，2)＝(－1，2，5)．答案：A3．解析：∵向量OA＝(1，0，1)，OB＝(2，1，－1)，∴向量AB＝OB-OA＝(1，1，－答案：C4．解析：∵a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，∴a·b＝－3＋10－5＝2.答案：C5．解析：A(1，－2，3)，B(0，－1，2)，则AB＝(－1，1，－1)所以|AB|＝-12+答案：3题型探究·课堂解透例1解析：(1)易得2a＋3b＝(4，4，5)，a－b＝(－3，2，0)，则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.(2)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，由题设可得2x1同理可得y1＝－1，y2＝2，z1＝1，z2＝－1，即a＝(1，－1，1)，b＝(0，2，－1)，a·b＝0－2－1＝－3，|a|＝3，|b|＝5，cos〈a，b〉＝a·ba巩固训练1解析：(1)设B(x，y，z)，∵A(1，－2，0)和向量a＝(－3，4，12)，且AB＝2a，∴(x－1，y＋2，z)＝(－6，8，24)，∴x-1=-6y+2=8z=24，解得x＝－5，y＝∴点B的坐标为(－5，6，24)．(2)a·(－2b)＝－2a·b＝－2(0＋1＋0)＝－2，a－b＝(1，0，－1)，2a－3b＝2(1，1，0)－3(0，1，1)＝(2，－1，－3)．∴(a－b)·(2a－3b)＝(1，0，－1)·(2，－1，－3)＝2＋3＝5.答案：(1)D(2)－25例2解析：(1)因为BC＝(－2，－1，2)，且c∥BC，所以设c＝λBC＝(－2λ，－λ，2λ)，得|c|＝-2λ2+-λ2解得λ＝±1，即c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)．(2)因为a＝AB＝(1，1，0)，b＝AC＝(－1，0，2)所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0，即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0，解得k＝2或－52巩固训练2解析：(1)∵a＝(0，1，1)，b＝(1，－2，1)，∴a＋b＝(1，－1，2)，又因为向量a＋b与向量c＝(m，2，n)平行，所以存在实数λ，使得λ(a＋b)＝c，∴m=λ2=-(2)因为a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，所以ka＋b＝(k－1，k，2)，又ka＋b与b互相垂直，所以(ka＋b)·b＝0，即－(k－1)＋4＝0，解得k＝5.答案：(1)D(2)5例3证明：如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为正交基底建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)．由中点坐标公式，得E(1，1，12)，F(1，12，0)，G(12，1AB1＝(1，0，1)，GE＝(12，0，12)，EH＝(－因为AB1＝2GE，AB1·EH＝1×(－12)所以AB1∥GE，AB1⊥EH，即AB1(2)A1G＝(12，1，－1)，DF＝(1，－12，0)，DE＝(1，0，12)．因为A1G·DF＝12－12＋0＝0，A1G·DE＝12＋0－12＝0因为DF∩DE＝D，所以A1G⊥平面EFD巩固训练3证明：(1)如图，建立空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连接NE则点N，E的坐标分别为22，22，0，∴NE＝-2又点A，M的坐标分别是(2，2，0)，∴AM＝-2∴NE＝AM.又NE与AM不共线，∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知AM＝-2∵D(2，0，0)，F(2，2，∴DF＝(0，2，1)，∴AM·DF＝0，∴AM⊥DF.同理，AM⊥BF.又DF∩BF＝F，且DF⊂平面BDF，BF⊂平面BDF∴AM⊥平面BDF.例4解析：(1)以A为原点，建立空间直角坐标系，如图所示．则A(0，0，0)，B(0，2，0)，D(－2，0，0)，C(－2，2，0)，P(0，0，2)，所以M(0，1，0)，N(－1，1，1)，所以MN＝(－1，0，1)，故M，N两点之间的距离|MN|＝-12+(2)由题易得AP＝(0，0，2)，MN＝(－1，0，1)，cos〈AP，MN〉＝AP·MNAP所以直线PA与M