全国名校数学试题分类解析 汇编 同角三角函数的基本关系式与诱导公式

【文·湖北宜昌高三模拟·2014】已知函数，，则下列结论中正确的是（）A．函数的最小正周期为B．函数的最大值为2C．将函数的图象向右平移单位后得g(x)的图象D.将函数的图象向左平移单位后得g(x)的图象【知识点】三角函数的最值；三角函数的周期；三角函数图像的平移.【答案解析】B解析：解：所以周期为，最大值为，按三角函数图像的平移关系可得函数的图象向右平移单位后得得的图像.【思路点拨】经过化简可知三角函数的最值和周期，根据图像平移的规则可得正确结果.【文·江西省重点中学盟校高三二联·2014】已知=（）A.B.C.D.【知识点】同角三角函数的关系;二倍角公式.C2C6【答案解析】D解析：解：把已知式子两边平方得答案D正确.【思路点拨】把已知式子两边平方得到把所求的式子用二倍角的降幂公式进行化简,再把代入即可.【理·山东实验中学高三三模·2014】16．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 （2c－a）cosB－bcosA=0． （I）求角B的大小 （II）求的取值范围【知识点】正弦定理;三角函数的化一公式;三角函数的最值.【答案解析】(Ⅰ）(Ⅱ)解析：解：(Ⅰ）即,(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,的取值范围【思路点拨】(Ⅰ）利用正弦定理把边转化为角度的正弦值,整理即可通过三角函数的值求得角度;(Ⅱ)把带入已知式子去掉C,用化一公式整理为,由A的范围求得的取值范围即可.【理·山东实验中学高三三模·2014】9．设△ABC中，AD为内角A的平分线，交BC边于点D，，∠BAC=60o，则·= A． B． C． D．【知识点】角平分线定理；向量的计算；余弦定理.【答案解析】C解析：解：由图可知向量的关系，根据角平分线定理可得，根据余弦定理可知，所以【思路点拨】可根据角平分线定理和余弦定理，可求出的模等向量，再通过向量的计算法则对向量进行转化.【文·四川成都七中高二零诊·2014】12.设△的内角的对边分别为，且，则【知识点】余弦定理；同角三角函数间的基本关系．【答案解析】解析：解：∵C为三角形的内角，cosC=，∴sinC==，又a=1，b=2，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：c2=1+4﹣1=4，解得：c=2，又sinC=，c=2，b=2，∴由正弦定理=得：sinB===．故答案为：【思路点拨】由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由a与b的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，再由sinC，c及b的值，利用正弦定理即可求出sinB的值．【辽宁三校高一期末联考·2014】21.(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．(1)求A的大小；(2)求sinB+sinC的最大值．【知识点】余弦函数的应用．【答案解析】(1)A=120°;(2)当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1．解析：解：（Ⅰ）设=2R

则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC..................................2分

∵2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC

方程两边同乘以2R

∴2a2=（2b+c）b+（2c+b）c..............................................2分

整理得a2=b2+c2+bc.................................................1分

∵由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA.....................................1分

故cosA=-，A=120°.........................................2分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinB+sinC=sinB+sin（60°-B）...........................1分=.......................................2分故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1．.....................1分【思路点拨】(1)根据正弦定理，设＝2R，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC求出a2=b2+c2+bc再与余弦定理联立方程，可求出cosA的值，进而求出A的值．

(2)根据（Ⅰ）中A的值，可知c=60°-B，化简得sin（60°+B）根据三角函数的性质，得出最大值．【辽宁三校高一期末联考·2014】17.(本小题满分10分)已知(1)化简；(2)若是第三象限角，且cos()＝，求的值.【知识点】诱导公式的作用；同角三角函数间的基本关系．【答案解析】（1）=（2）=解析：解：（1）..........5分（2）∵α为第三象限角，且...............................2分

....................................2分则................................1分【思路点拨】（1）直接利用诱导公式化简表达式即可．（2）化简已知条件，求出sinα＝−，通过同角三角函数的基本关系式求出f（α）的值．【山西山大附中高一月考·2014】18．（本小题满分12分）已知点（1）若，求的值；（2）若，其中为坐标原点，求的值。【知识点】平面向量的坐标运算；向量的模；同角三角函数间的基本关系．【答案解析】(1)(2)解析：解：（1）A（1，0），B（0，1），，化简得（若，则，上式不成立）所以（6分）（2），，（12分）【思路点拨】(1)用坐标表示出向量和,然后根据,可求得的值．(2)用坐标表示出向量和，然后计算数量积，再求sin2θ的值．【山西山大附中高一月考·2014】16．关于有以下命题：①若则；②图象与图象相同；③在区间上是减函数；④图象关于点对称。其中正确的命题是．【知识点】命题的真假判断与应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；复合三角函数的单调性．【答案解析】②③④解析：解：由关于知：

①若f（x1）=f（x2）=0，则x1-x2=（k∈Z），故①不成立；

②∵=∴f（x）图象与图象相同，故②成立；

③∵的减区间是:即，k∈Z，知f（x）在区间∴f（x）在区间上是减函数，故③正确；

④∵的对称点是，∴f（x）图象关于点对称，故④正确．

故答案为：②③④．【思路点拨】由关于知：

①若f（x1）=f（x2）=0，则x1-x2=（k∈Z）②∵=知f（x）图象与图象相同.③∵的减区间是，k∈Z，知f（x）在区间上是减函数.

④的对称点是,∴f（x）图象关于点对称．【山西山大附中高一月考·2014】4．已知中，分别为的对边，，则等于（）A．B．或C．D．或【知识点】正弦定理.【答案解析】D解析：解：由正弦定理可知∵0＜B＜180°

∴B=60°或120°

故答案选D【思路点拨】利用正弦定理把代入即可求得sinB的值，进而求得．【文·浙江绍兴一中高三考前模拟·2014】18．（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且=。（1）求角B的大小；（2）若b=3，求△ABC的面积S的最大值。【知识点】解三角形，正余弦定理，面积公式，不等式【答案解析】（Ⅰ）解：∵=∴=…………2分,…………4分…………6分（Ⅱ）由余弦定理…………14分【思路点拨】三角函数式的化简要到位，正余弦定理的应用要灵活，求面积最值借助于重要不等式。【文·浙江绍兴一中高三考前模拟·2014】12．直线的倾斜角为，则的值为_________；【知识点】直线，倾斜角，齐次式的处理【答案解析】由已知得，所以=【思路点拨】转在齐次式的处理上是技巧。【理·湖北孝感高中高三5月摸底·2014】17．（本小题满分12分）已知向量．(Ⅰ)当时，求的值；(Ⅱ)设函数，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为，若,求（）的取值范围．【知识点】向量的运算；正弦定理；三角函数的诱导公式.【答案解析】（2）解析：解：（1）（2）+由正弦定理得或因为，所以,,所以【思路点拨】（1）按向量的数量积运算求出，代入所求算式.（2）利用正弦定理求出角A，代入函数化简求取值范围.【典型总结】(1)对于三角求值问题的规律是把角向统一的角转化，注意降次或升次问题；（2）三角求值，求单调性，求周期等问题，要把式子转化成一个三角函数的形式，再按角的范围求值.【四川成都七中高二零诊·2014】12.设△的内角的对边分别为，且，则【知识点】余弦定理；同角三角函数间的基本关系．【答案解析】解析：解：∵C为三角形的内角，cosC=，∴sinC==，又a=1，b=2，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：c2=1+4﹣1=4，解得：c=2，又sinC=，c=2，b=2，∴由正弦定理=得：sinB===．故答案为：【思路点拨】由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由a与b的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，再由sinC，c及b的值，利用正弦定理即可求出sinB的值．【理·广东中山一中高三热身·2014】16.（本小题满分12分）在△中，已知．（1）求角；（2）若，△的面积是，求．【知识点】诱导公式；余弦定理.【答案解析】（1）（2）解析：解：（1）由，得．……….3分所以原式化为．……………4分因为，所以，所以．因为，所以．………………6分（2）由余弦定理，得．…………….9分因为，，所以．因为，所以.…………12分【思路点拨】(1)由诱导公式得到，进而可求出角的值；（2）由余弦定理和三角形的面积可以得到关于和的方程组，解方程组即可得到.【湖南衡阳八中高一五科联赛·2014】18.(本小题满分8分)已知三个内角,,的对边分别为,,,且，(1)求角(2)若=,的面积为QUOTE,求的周长.【知识点】余弦定理；正弦定理.【答案解析】（1）（2）解析：解：（1）由c=asinC+ccosA，利用正弦定理化简得：sinC=sinAsinC+sinCcosA，∵sinC≠0，∴sinA+cosA=1，即2sin（A+）=1，∴sin（A+）=，又0＜A＜π，∴＜A+＜，则A+=，即A=；（2）∵△ABC的面积S=bcsinA=，sinA=，∴bc=4，由余弦定理知a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc，得a2+bc=（b+c）2，代入a=2，bc=4，解得：b+c=4，则△ABC周长为4+2．【思路点拨】（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinC不为0，得到关系式，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的三角函数值，利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可；（2）利用三角形面积公式列出关系式，将sinA，已知面积代入求出bc的值，再利用余弦定理列出关系式，将a，bc，cosA的值代入求出b+c的值，即可出三角形ABC周长．【典型总结】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．【湖南衡阳八中高一五科联赛·2014】15．在中的内角所对的边分别为，重心为，若；则；【知识点】余弦定理；向量在几何中的应用．【答案解析】解析：解：由

可以得到即，又因为不共线，所以=0,=0,即所以，，故答案为.【思路点拨】首先变形已知条件，找出a,b,c满足的关系式，最后借助于余弦定理求出结果.【湖南衡阳八中高一五科联赛·2014】7、在中的内角所对的边分别为，若成等比数列，则的形状为A.直角三角形B.