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2024届绥化市重点中学高三第三次测评数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知复数满足,则的值为()A. B. C. D.22.已知是边长为1的等边三角形,点,分别是边,的中点,连接并延长到点,使得,则的值为()A. B. C. D.3.记的最大值和最小值分别为和.若平面向量、、,满足,则()A. B.C. D.4.若不相等的非零实数,,成等差数列,且,,成等比数列,则()A. B. C.2 D.5.已知为等差数列,若,,则()A.1 B.2 C.3 D.66.已知函数,则方程的实数根的个数是()A. B. C. D.7.已知三棱锥且平面,其外接球体积为()A. B. C. D.8.已知,,,则a,b,c的大小关系为()A. B. C. D.9.设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点,点与点关于轴对称,为坐标原点,若,且,则点的轨迹方程是()A. B.C. D.10.已知双曲线的离心率为,抛物线的焦点坐标为,若,则双曲线的渐近线方程为()A. B.C. D.11.设双曲线(a>0,b>0)的一个焦点为F(c,0)(c>0),且离心率等于,若该双曲线的一条渐近线被圆x2+y2﹣2cx=0截得的弦长为2,则该双曲线的标准方程为()A. B.C. D.12.阅读下面的程序框图,运行相应的程序,程序运行输出的结果是()A.1.1 B.1 C.2.9 D.2.8二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习,每个企业两人,则“甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为_________.14.函数在的零点个数为_________.15.如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均分为_______.16.已知,那么______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知公比为正数的等比数列的前项和为,且,.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.18.(12分)在极坐标系中,曲线的极坐标方程为(1)求曲线与极轴所在直线围成图形的面积;(2)设曲线与曲线交于,两点,求.19.(12分)已知椭圆的离心率为,且以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切.(1)求椭圆的标准方程;(2)已知动直线l过右焦点F,且与椭圆C交于A、B两点,已知Q点坐标为,求的值.20.(12分)如图,在长方体中,,为的中点,为的中点,为线段上一点,且满足,为的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)(选修4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系,已知曲线(为参数),在以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,直线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;(2)过点且与直线平行的直线交于,两点,求点到,的距离之积.22.(10分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),将曲线上各点纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到曲线,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)写出的极坐标方程与直线的直角坐标方程;(2)曲线上是否存在不同的两点,(以上两点坐标均为极坐标,,),使点、到的距离都为3?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
由复数的除法运算整理已知求得复数z,进而求得其模.【详解】因为,所以故选:C【点睛】本题考查复数的除法运算与求复数的模,属于基础题.2、D【解析】
设,,作为一个基底,表示向量,,,然后再用数量积公式求解.【详解】设,,所以,,,所以.故选:D【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.3、A【解析】
设为、的夹角,根据题意求得,然后建立平面直角坐标系,设,,,根据平面向量数量积的坐标运算得出点的轨迹方程,将和转化为圆上的点到定点距离,利用数形结合思想可得出结果.【详解】由已知可得,则,,,建立平面直角坐标系,设,,,由,可得,即,化简得点的轨迹方程为,则,则转化为圆上的点与点的距离,,,,转化为圆上的点与点的距离,,.故选:A.【点睛】本题考查和向量与差向量模最值的求解,将向量坐标化,将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键,考查化归与转化思想与数形结合思想的应用,属于中等题.4、A【解析】
由题意,可得,,消去得,可得,继而得到,代入即得解【详解】由,,成等差数列,所以,又,,成等比数列,所以,消去得,所以,解得或,因为,,是不相等的非零实数,所以,此时,所以.故选:A【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用,考查了学生概念理解,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.5、B【解析】
利用等差数列的通项公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出.【详解】∵{an}为等差数列,,∴,解得=﹣10,d=3,∴=+4d=﹣10+11=1.故选:B.【点睛】本题考查等差数列通项公式求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.6、D【解析】
画出函数,将方程看作交点个数,运用图象判断根的个数.【详解】画出函数令有两解,则分别有3个,2个解,故方程的实数根的个数是3+2=5个故选:D【点睛】本题综合考查了函数的图象的运用,分类思想的运用,数学结合的思想判断方程的根,难度较大,属于中档题.7、A【解析】
由,平面,可将三棱锥还原成长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而求解.【详解】由题,因为,所以,设,则由,可得,解得,可将三棱锥还原成如图所示的长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为,则,所以,所以外接球的体积.故选:A【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.8、D【解析】
与中间值1比较,可用换底公式化为同底数对数,再比较大小.【详解】,,又,∴,即,∴.故选:D.【点睛】本题考查幂和对数的大小比较,解题时能化为同底的化为同底数幂比较,或化为同底数对数比较,若是不同类型的数,可借助中间值如0,1等比较.9、A【解析】
设坐标,根据向量坐标运算表示出,从而可利用表示出;由坐标运算表示出,代入整理可得所求的轨迹方程.【详解】设,,其中,,即关于轴对称故选:【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解,涉及到平面向量的坐标运算、数量积运算;关键是利用动点坐标表示出变量,根据平面向量数量积的坐标运算可整理得轨迹方程.10、A【解析】
求出抛物线的焦点坐标,得到双曲线的离心率,然后求解a,b关系,即可得到双曲线的渐近线方程.【详解】抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),则p=2,又e=p,所以e2,可得c2=4a2=a2+b2,可得:ba,所以双曲线的渐近线方程为:y=±.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法,涉及抛物线的简单性质的应用.11、C【解析】
由题得,,又,联立解方程组即可得,,进而得出双曲线方程.【详解】由题得①又该双曲线的一条渐近线方程为,且被圆x2+y2﹣2cx=0截得的弦长为2,所以②又③由①②③可得:,,所以双曲线的标准方程为.故选:C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质,圆的方程的有关计算,考查了学生的计算能力.12、C【解析】
根据程序框图的模拟过程,写出每执行一次的运行结果,属于基础题.【详解】初始值,第一次循环:,;第二次循环:,;第三次循环:,;第四次循环:,;第五次循环:,;第六次循环:,;第七次循环:,;第九次循环:,;第十次循环:,;所以输出.故选:C【点睛】本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
求出所有可能,找出符合可能的情况,代入概率计算公式.【详解】解:甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习,每个企业两人,共有种,甲乙在同一个公司有两种可能,故概率为,故答案为.【点睛】本题考查古典概型及其概率计算公式,属于基础题14、1【解析】
本问题转化为曲线交点个数问题,在同一直角坐标系内,画出函数的图象,利用数形结合思想进行求解即可.【详解】问题函数在的零点个数,可以转化为曲线交点个数问题.在同一直角坐标系内,画出函数的图象,如下图所示:由图象可知:当时,两个函数只有一个交点.故答案为:1【点睛】本题考查了求函数的零点个数问题,考查了转化思想和数形结合思想.15、1【解析】
写出茎叶图对应的所有的数,去掉最高分,最低分,再求平均分.【详解】解:所有的数为:77,78,82,84,84,86,88,93,94,共9个数,去掉最高分,最低分,剩下78,82,84,84,86,88,93,共7个数,平均分为,故答案为1.【点睛】本题考查茎叶图及平均数的计算,属于基础题.16、【解析】
由已知利用诱导公式可求,进而根据同角三角函数基本关系即可求解.【详解】∵,∴,,∴.故答案为:.【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】
(1)判断公比不为1,运用等比数列的求和公式,解方程可得公比,进而得到所求通项公式;(2)求得,运用数列的错位相减法求和,以及等比数列的求和公式,计算可得所求和.【详解】解:(1)设公比为正数的等比数列的前项和为,且,,可得时,,不成立;当时,,即,解得(舍去),则;(2),前项和,,两式相减可得,化简可得.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用,考查数列的错位相减法求和,考查方程思想和运算能力,属于中档题.18、(1);(2)【解析】
(1)利用互化公式,将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,得出曲线与极轴所在直线围成的图形是一个半径为1的圆周及一个两直角边分别为1与的直角三角形,即可求出面积;(2)联立方程组,分别求出和的坐标,即可求出.【详解】解:(1)由于的极坐标方程为,根据互化公式得,曲线的直角坐标方程为:当时,,当时,,则曲线与极轴所在直线围成的图形,是一个半径为1的圆周及一个两直角边分别为1与的直角三角形,∴围成图形的面积.(2)由得,其直角坐标为,化直角坐标方程为,化直角坐标方程为,∴,∴.【点睛】本题考查利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程,以及联立方程组求交点坐标,考查计算能力.19、(1);(2).【解析】
(1)根据椭圆的离心率为,得到,根据直线与圆的位置关系,得到原心到直线的距离等于半径,得到,从而求得,进而求得椭圆的方程;(2)分直线的斜率存在是否为0与不存在三种情况讨论,写出直线的方程,与椭圆方程联立,利用韦达定理,向量的数量积,结合已知条件求得结果.【详解】(1)由离心率为,可得,,且以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆的方程为,因与直线相切,则有,即,,,故而椭圆方程为.(2)①当直线l的斜率不存在时,,,由于;②当直线l的斜率为0时,,,则;③当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为,,,由及,得,有,∴,,,,∴,综上所述:.【点睛】该题考查直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,求向量数量积,在解题的过程中,注意对直线方程的分类讨论,属于中档题目.20、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)解法一:作的中点,连接,.利用三角形的中位线证得,利用梯形中位线证得,由此证得平面平面,进而证得平面.解法二:建立空间直角坐标系,通过证明直线的方向向量和平面的法向量垂直,证得平面.(2)利用平面和平面法向量,计算出二面角的余弦值.【详解】(1)法一:作的中点,连接,.又为的中点,∴为的中位线,∴,又为的中点,∴为梯形的中位线,∴,在平面中,,在平面中,,∴平面平面,又平面,∴平面.另解:(法二)∵在长方体中,,,两两互相垂直,建立空间直角坐标系如图所示,则,,,,,,,,,,,.(1)设平面的一个法向量为,则,令,则,.∴,又,∵,,又平面,平面.(2)设平面的一个法向量为,则,令,则,.∴.同理可算得平面的一个法向量为∴,又由图可知二面角的平面角为一个钝角,故二面角的余弦值为.【点睛】本小题考
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