高考数学复习 求递推数列通项公式的几种常见方法

2008高考数学复习求递推数列通项公式的几种常见方法递推公式是给出数列的重要方法，对于递推公式确定的数列的求解，是近几年高考中的热点问题.通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列.本文介绍求递推数列的通项公式的几种常见方法.一、累加相消法利用恒等式求通项公式的方法称为累加相消法.累加相消法是求形如(数列{}的前n项和可求)的递推数列通项公式的基本方法.例1已知中，，求。解：由，得∴………………∴以上各式相加得∴二、累乘相消法利用恒等式求通项公式的方法称为累乘相消法.累乘相消法是求形如(数列的前n项积可求)的递推数列通项公式的基本方法.例2已知中，，且，求数列的通项公式.解：由，得∴，，，，……，，∴以上各式相乘，得∴例3已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1()，则{an}解：由，得()两式相减得：，即()用累乘相消法可得三、迭代法通过对递推关系进行适当变形后，用下标较小的项替代下标较大的项，通过累次运算，最终得出通项公式.例4已知数列的各项都是正数，且满足：.求数列的通项公式an.解：，所以令，则又，所以，即四、转化法通过变换递推关系，将非等差、等比数列转化为与等差、等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法.常用的转化途径有：1．配凑变换——将递推公式(b、c是常数，且c≠1)通过配凑变成。例5已知中，求。解：由，得∴即是首项为2，公比为3的等比数列∴即数列的递推公式是(b、c是常数，且c≠1)，求出其通项.利用待定系数法可得一般解法如下：令，则与比较，得于是，∴数列是等比数列.2．倒数变换——将递推公式(c、d为非零常数)取倒数得.例6在数列中，，求数列的通项公式.解：∵∴，即∴是首项为，公差为的等差数列，∴3．除幂变换——将递推公式(c、d为非零常数，)除以变为.例7已知中，，，求.解：由，得∴是首项为，公差为1的等差数列，∴4．对数变换——将递推公式取对数得.例8已知，，求.解法一：两边取常用对数，得，可变为，则数列是以为首项，2为公比的等比数列，∴，即解法二：(直接用迭代法)5．特征方程法——若数列递推关系是(p、q为非零常数)，可先求二次方程的两根α、β，则数列是以β为公比的等比数列，从而求出原数列的通项公式.我们称这种方法为特征方程法，其中称为递推关系的特征方程.其实质是设-α＝β(-α)，则与比较，得解出α、β∴数列是以β为公比的等比数列.例9已知a1=1，a2=，=-,求数列｛｝的通项公式.解：设α、β是特征方程的两根，则解得：＝1，＝∵a2-a1=∴数列是以为首项和公比的等比数列∴-=∴＝（-）+（-）+┈+（a2-a1）+a1=++┈++1=.五．利用求通项法数列的递推公式是通项与前n项和之间的关系，常利用将递推公式转化为纯粹的项的递推公式的问题解决，但要注意对进行检验.例10已知在正整数数列中，前项和满足，求数列的通项公式.解：∴当时，整理得：∵是正整数数列∴∴∴是首项为2，公差为4的等差数列∴经检验时满足上式，∴该例中用到了对递推关系适当变换，将非等差、等比数列转化为等差、等比数列的另一常用变换——