初中数学-3160432427.1.3 圆周角备课件-2021-2022学年九年级下册同步备课系列（华东师大版）

华东师大版第27章圆27.1.3圆周角

学习目标理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.

问题1

什么叫圆心角？指出图中的圆心角？

顶点在圆心的角叫圆心角,

∠BOC.问题2

如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点?A

∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点.复习回顾顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.（两个条件必须同时具备，缺一不可）圆周角的定义知识精讲·COAB·COB·COBAA·COAB·COB·COBAA判断：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.（2）（1）（3）（5）（6）顶点不在圆上顶点不在圆上边AC没有和圆相交√√√针对练习如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.测量与猜测知识精讲圆心O在∠BAC的内部圆心O在∠BAC的一边上圆心O在∠BAC的外部推导与论证知识精讲圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）OA=OC∠A=∠C∠BOC=∠A+∠C知识精讲OABCD圆心O在∠BAC的内部知识精讲OABDCOADCOABDCOADOABDCOADOABD圆心O在∠BAC的外部知识精讲圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆心角的一半；圆周角定理知识精讲问题1如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A,D是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由.D∴∠BAC=∠BDC相等知识精讲DABOCEF问题2如图，若∠A与∠B相等吗？相等思考：反过来，若∠A=∠B，那么成立吗？知识精讲圆周角定理的推论同弧或等弧所对的圆周角相等.A1A2A3知识精讲1.如图，点A、B、C、D在☉O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35º.(1)∠BOC=

º，理由是

;(2)∠BDC=

º，理由是

.7035同弧所对的圆周角相等一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半针对练习完成下列填空：

∠1=

.∠2=

.∠3=

.∠5=

.2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.∠4∠8∠6∠7ABCDO1((((((((2345678针对练习如图，线段AB是☉O的直径，点C是☉O上的任意一点（除点A、B外），那么，∠ABC就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角？·OACB解：∵OA=OB=OC，∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.∴∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.又∵∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.知识精讲圆周角和直径的关系圆周角和直径的关系：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.OCAB知识精讲例1如图，AB是☉O的直径，∠A=80°.求∠ABC的大小.OCAB解：∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角等于90°.）∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB

=180°-90°-80°=10°.典例解析例2

如图，分别求出图中∠x的大小.解：(1)∵同弧所对圆周角相等，∴∠x=60°.(2)连接BF，∵同弧所对圆周角相等，∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.典例解析

例3

如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.（1）求DC的长；（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B,

求AB、BC的长．B解：(1)∵AC是直径，∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中，典例解析在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，(2)∵AC是直径,∴∠ABC=90°.∵BD平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.又∵∠ACB=∠ADB,∠BAC=∠BDC

.∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC.B【点睛】解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.典例解析如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(

)A．30°B．45°C．60°D．75°解析：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C.【点睛】在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．C针对练习例4如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点P,∠ACD=60°,∠ADC=70°.求∠APC的度数..OADCPB解:连接BC,则∠ACB=90°,∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°=30°.又∵∠BAD=∠DCB=30°,∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°.典例解析1．(3分)如图，∠APB是圆周角的是()D2．(3分)(浉河区期末)如图，点A，B，C在⊙O上，若∠OAB＝54°，则∠C的度数为()A．54°B．27°C．36°D．46°C3．(3分)(长葛市一模)如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A，B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB＝25°，则∠OCD的度数是()A．45°B．60°C．65°D．70°D4．(3分)(洛宁县期末)如图，已知圆周角∠ACB＝130°，则圆心角∠AOB＝________．100°5．(8分)如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连结CD，AD.求证：DB平分∠ADC.6．(3分)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是()B7．(3分)(内乡县期末)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝65°，∠ABC＝68°，则∠A的度数为()A．112°B．68°C．65°D．52°C8．(4分)(南召县模拟)如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，与BC交于点E，连结AE，若∠D＝72°，则∠BAE＝______．36°9．(10分)如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使得CD＝BD，连结AC交⊙O于点F，连结AE，DE，DF.(1)求证：∠E＝∠C；(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数．解：(1)证明：连结AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C(2)∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD＝180°－∠E.∵∠CFD＝180°－∠AFD，∴∠CFD＝∠E＝55°，由(1)得∠E＝∠C＝55°，∴∠BDF＝∠C＋∠CFD＝55°＋55°＝110°10．(镇平月考)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD∥AC，下列结论错误的是()

A．∠BOD＝∠BACB．∠BOD＝∠CODC．∠BAD＝∠CADD．∠C＝∠DD11．(新蔡县一模)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝40°，则∠BAD为()A．40°B．50°C．60°D．70°B12．(易错点)△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是()A．80°B．100°C．160°D.80°或100°DC

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15．(洛阳三模)如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，连结OD，OE，若∠DOE＝40°，则∠A的度数为_______．70°16．(12分)(洛宁县三模)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上半圆的一个动点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于点D.(1)当点C在⊙O上半圆移动时，点D的位置会变吗？请说明理由；(2