《高等数学》(同济六版)教学课件第1章.函数与极限

《高等数学》(同济六版)教学课件★第1章函数与极限目录CONTENTS函数极限导数连续性01函数CHAPTER函数的定义与性质总结词理解函数的基本定义和性质是学习高等数学的基础。详细描述函数是数学中描述两个数集之间关系的一种方法，它具有单值性、对应性和有界性等基本性质。理解这些性质有助于更好地理解函数的定义和分类。掌握函数的表示方法是学习高等数学的重要环节。函数的表示方法有多种，如解析法、表格法和图象法。这些方法各有优缺点，掌握它们有助于更好地理解和应用函数。函数的表示方法详细描述总结词理解函数的运算性质是学习高等数学的关键。总结词函数的运算性质包括加法、减法、乘法、除法等运算的封闭性、结合律、交换律等性质。理解这些性质有助于更好地掌握函数的运算方法和技巧。详细描述函数的运算性质02极限CHAPTER定义01对于任意给定的正数$varepsilon$，存在一个正整数$N$，使得当$n>N$时，有$|a_n-L|<varepsilon$，则称数列${a_n}$收敛于$L$，记作$lim_{ntoinfty}a_n=L$。性质02收敛数列的有界性、唯一性、稳定性。计算方法03直接代入法、四则运算法、夹逼准则、单调有界定理等。数列的极限函数的极限性质函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性。定义设函数$f(x)$在点$x_0$的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在一个正数$delta$，使得当$0<|x-x_0|<delta$时，有$|f(x)-A|<varepsilon$，则称函数$f(x)$在点$x_0$收敛于$A$，记作$lim_{xtox_0}f(x)=A$。计算方法直接代入法、四则运算法、夹逼准则、单调有界定理等。

无穷小量与无穷大量无穷小量在自变量趋于某点或无穷大的过程中，函数值趋于零的量。无穷大量在自变量趋于某点或无穷大的过程中，函数值趋于无穷大的量。关系无穷小量是无穷大量的一种特殊形式；在同一过程中，等价无穷小量之间可以相互转化；无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量。03导数CHAPTER导数的定义导数描述了函数在某一点处的切线斜率，即函数值随自变量变化的速率。导数的性质导数具有连续性、可加性、可乘性和链式法则等性质，这些性质在导数的计算和应用中具有重要作用。导数的定义与性质VS对于常数、幂函数、指数函数、三角函数等基本初等函数，需要熟记其导数公式。复合函数的导数复合函数的导数可以通过链式法则进行计算，即先求内层函数的导数，再乘以外层函数的导数。基本初等函数的导数导数的计算高阶导数描述了函数值随自变量变化的更高阶的速率，即函数在某一点处的切线更高次的斜率。高阶导数在研究函数的极值、拐点、曲线的弯曲性质等方面具有重要应用。高阶导数的定义高阶导数的应用高阶导数04连续性CHAPTER123如果当x趋近于a时，函数f(x)的极限存在且等于f(a)，则称函数f在点a连续。定义如果函数在某一点连续，则该点的极限值等于函数值。性质考虑函数f(x)=x^2在点x=2的连续性，有f(2)=4，且当x趋近于2时，f(x)的极限为4，因此函数在点2连续。举例函数在一点的连续性定义如果函数在区间内的每一点都连续，则称函数在该区间内连续。性质如果函数在区间内连续，则该区间内的极限值等于函数值。举例考虑函数f(x)=x^3在区间[0,2]的连续性，由于在区间内的每一点上，函数都满足连续性的定义，因此函数在区间[0,2]内连续。函数的连续性最值定理闭区间上的连续函数一定可以取得其定义域内的最大值和最小值。中值定理如果一个闭区间上的连续函数在两点的值分别为M和m(M>m)，则存在至少一个点c在区间内，使得f(